Thomas Kahle
Claudia Frick
Claudia Frick ist wieder da und hat ein Mathe-TikTok über das Moving Sofa Problem mitgebracht. Darin geht es um das Problem, ein Sofa durch einen Korridor mit einer rechtwinkligen Ecke zu schaffen. Ist das Sofa zu lang oder zu groß, dann kommt es nicht herum. Also wie groß kann denn ein Sofa sein, das gerade noch rum passt? Daran rätselt die Menschheit schon seit mindestens 1966 herum. Vor Kurzem wurde das Problem aber anscheinend gelöst.
Eine Folge über ein praktisches Problem, gestellt in einem SIAM Journal, bekannt aus Friends und Douglas Adams‘ elektrischem Mönch und direkte Lebensrealität von Umziehenden auf der ganzen Welt.
- TikTok von Václav Volheijn
- Mehr Mathe-Tiktoker @andymath.com @dor.fuchs
- Pivot!!! (Friends)
- Leo Mosers Problem und eine erste Einsendung.
- Akustikkoppler
- Hammersleys Sofa bewegt sich um die Ecke
- Conway Biographie von Siobhan Roberts
- Gervers Sofa
- Dan Romiks Moving Sofa Page (mit Numberphile-Video und 3D-Druck Modellen als stl-files)
- Jineon Baeks preprint auf arXiv.org
- Nicht so berühmte Mathe-Probleme die einfach zu verstehen aber ungelöst sind (mathoverflow)
- Der elektrische Mönch
Feedback gerne auf Mastodon @Eigenraum@podcasts.social, an feedback (bei) eigenpod.de oder in die Kommentarspalte auf der Episodenseite.
Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
Thomas Kahle
6, 3, 6, 0, 7, 6, 2, 8.
Herzlich willkommen zurück zum Eigenraum. Heute ist Folge Nummer 45 und Claudia
Frick ist wieder da. Hallo Claudia.
Claudia Frick
Hallo.
Thomas Kahle
Claudia kennt ihr schon von der empirischen Münzwurfforschung.
Ich habe es auch nochmal recherchiert. Das war Nummer 26.
Claudia Frick
Oh, schon so lange her.
Thomas Kahle
Ja, also so schnell mache ich ja Folgen gar nicht. Aber da ist ja auch noch
einiges passiert danach.
Hast du bestimmt mitbekommen, dass die noch den Ig Nobelpreis gewonnen haben, oder?
Claudia Frick
Ja, verdient, sage ich mal, verdient.
Thomas Kahle
Ja, ich würde sagen auch verdient. Genau, und du hast schon wieder ein neues
mathematisches, wie soll ich sagen, Resultat im Internet entdeckt und so kam
es dazu, dass wir heute nochmal eine neue Folge aufnehmen wollen.
Kannst du mal ein bisschen was darüber erzählen?
Claudia Frick
Du weißt, wie es ist. Ich sehe ein interessantes mathematisches Paper und du schickst dir weiter.
Genau, und diesmal habe ich ein, okay, alle festhalten, ich habe ein TikTok gesehen.
Ein Mathematik-TikTok, das ein sehr, sehr spannendes Thema behandelt hat,
nämlich ein Paper zu einem ganz speziellen Problem.
Und ich fand das so spannend, weil ich das Problem zwar schon mal von gehört
hatte, aber jetzt soll es eine Lösung dafür geben.
Genau, und das TikTok ist tatsächlich von, Watzler vollhängen und ich bin mir
nicht sicher, ob man es so ausspricht.
Aber ich nehme an, in den Show Notes kann man es nachlesen.
Thomas Kahle
Genau, das verlinken wir. Mathe auf TikTok, das ist so, ich hatte jetzt einige,
wie soll ich sagen, Diskussionen mit unserer Marketingabteilung von der Uni zum Bereich,
Studienwerbung, also wie interessiert man Leute für ein Mathematikstudium und
die kennen sich da auch besser aus.
Also ich muss sagen, ich habe kein Account auf TikTok und ich verfolge das ab
und zu, kriege ich halt einen Link geschickt, zum Beispiel den von dir.
Und dann sehe ich, dass da ein Kurzvideo ist und schaue mir das auch an.
Aber was mir Leute so erzählen, ist, dass ja mittlerweile für so ein Format
dann irgendwie eine Minute schon eine Maximallänge ist oder so.
Also es ist ja auch ein Bereich der Wissenschaftskommunikation,
wo Kreativität dadurch erzeugt wird, dass das Format sehr eingeschränkt ist. Kann man so sagen?
Claudia Frick
Also zum einen einminütige TikToks gehen besonders gut, aber man kann bis zu
zehnminütige TikToks machen.
Das ist gar kein Problem. Und bei so komplizierten Themen, und das war ja auch
ein kompliziertes Thema, darf es auch mal länger sein.
Aber dass es ein Videoformat ist und dass es hochkant ist und dass man eigentlich
sehr kurz und knackig sein muss, weil das nun mal der Aufmerksamkeitsökonomie von TikTok folgt,
ist schon eine gewisse Herausforderung, um sowas wie ein Mathe-Thema zu platzieren, auf jeden Fall.
Thomas Kahle
Und wahrscheinlich muss man die Leute auch sofort am Anfang abholen.
Ist das nicht auch so ein bisschen so wie Tinder, dass man irgendwie,
also man wird sofort weggeswiped, wenn es nicht am Anfang super interessant ist, oder?
Claudia Frick
Ich fürchte ja, wobei der Algorithmus kennt die Leute ja. Manche haben mehr
Durchhaltevermögen als andere.
Also es kommt darauf an, man erreicht vielleicht andere, wenn man nicht in der
ersten Sekunde was griffig Tolles erzählt.
Aber auf jeden Fall erreicht man Leute auch damit. Aber ja, nicht die breite
Masse dann. Im Gegensatz zu dem TikTok, das hat sehr viele Leute erreicht.
Thomas Kahle
Kann man das irgendwie, kann man das sehen? Kannst du das einschätzen,
wie viele Leute sich jetzt für dieses Mathe-Problem interessiert haben?
Claudia Frick
Also ich kann nicht sehen, wie viele es sich angeschaut haben,
aber ich kann dir sagen, dass 225.000 Menschen das Video gut fanden.
Thomas Kahle
Wow, also Herzchen sozusagen, diese kleine Herzchenzahl, die bei so einem normalen
Mastodon-Post von mir so auf drei steht.
Claudia Frick
Genau, und dann hat der 225.000. Ich würde sagen, das ist mal eine Reichweite
für so eine Mathe-Frage, oder?
Thomas Kahle
Ah, sehr gut. Also es ist ja auch ein wichtiges Problem. Also wollen wir mal
zu dem Problem kommen oder müssen wir doch irgendwas über TikTok?
Also wir verlinken das TikTok auf jeden Fall, da könnt ihr euch das anschauen.
Claudia Frick
Genau, ich kann auch gerne nochmal die besten Mathe-Influencer auf TikTok raussuchen.
Da gibt es nämlich einige, die wirklich tolle Sachen machen.
Die kann ich gerne auch bereitstellen.
Thomas Kahle
Bitte.
Claudia Frick
Für den Einstieg.
Thomas Kahle
Ja, ich weiß nicht, ob ich mir einen Account machen werde. Ich muss zugeben,
ich habe gerade so ein bisschen reduziert. Ich habe nämlich meinen Instagram-Kanal gelöscht.
Also den Eingrahmen Instagram-Kanal, weil es ist ja viel und die Weltlage und
Mark Zuckerberg und so weiter.
Claudia Frick
Ja, genau. Alles vollkommen verständlich.
Thomas Kahle
Und deswegen ist es jetzt meine Motivation, jetzt bei TikTok einzusteigen,
auch aufgrund des Videoformats, was mir jetzt auch nicht so liegt.
Ich habe einfach kein Videogesicht, weißt du.
Also bei mir ist eher sozusagen länger sprechen und dafür nur auf den Ohren.
Dafür kann man es dann beim Fahrradfahren hören. Also TikTok gucken beim Fahrradfahren ist.
Claudia Frick
Glaube ich, nicht empfehlenswert. Don't drive in TikTok.
Thomas Kahle
Genau. Okay, also das verlinken wir.
Und jetzt ein praktisches, richtiges, 250.000 Mal geliketes Mathematikproblem.
Claudia Frick
Ja, das ist ein wichtiges Problem. Ich weiß nicht, bist du schon mal umgezogen?
Thomas Kahle
Ich bin sehr häufig umgezogen, weil ich ja eine wissenschaftliche Karriere zur
Festanstellung in der Wissenschaft gebracht habe.
Und das hat einige Umzüge mit sich gebracht, sagen wir mal so.
Claudia Frick
Dann bist du schon fast Experte auf dem Gebiet, weil ich gehe davon aus,
dass du auch ein Sofa hast.
Thomas Kahle
Ich habe vermieden mit Sofas umzuziehen, meistens, aber ich habe schon,
also in meiner jetzigen Wohnung wurden schon, ich habe schon mehrere Sofas innerhalb
der Wohnung transportiert und hineingebracht.
Claudia Frick
Ja, und dann gibt es da so ein Problem, dass man manchmal so ein Sofa hat und
man muss das um so eine Ecke navigieren.
Weißt du, man hat so einen Flur und dann gibt es dann so einen Rechtenwinkelknick
nach rechts oder so und da muss man so die Couch drumrum schieben.
Ja, das ist jetzt rein physikalisch schon ein bisschen schwierig.
Also wenn man sich so vorstellt, diese Couch da so rumzuschieben,
das ist ja nun mal ein starres, längliches Objekt und dann hat man da so einen
scharfen Winkel und dann ist das ja nicht so einfach, dass man das da so durchkriegt.
Thomas Kahle
Heißt du, eine Aufgabe, die braucht Kraft und Intelligenz? Ja.
So wie Schachboxen oder so.
Claudia Frick
Im Prinzip das. Ich weiß nicht, ob du dich daran noch erinnerst oder ob sich
deine Zuhörenden daran erinnern, aber es gab mal eine Friends-Folge, Friends, diese Serie.
Das war in der, ich habe das nochmal rausgesucht, das war Staffel 5,
Folge 16, das ist natürlich sehr wichtig. Ich kann aber auch noch einen Link
zu der speziellen Szene dann gerne nachliefern.
Die gibt es natürlich auf YouTube, diese Szene, wo genau das passiert.
Also da wird so eine Couch um so eine Ecke soll geschoben werden.
Und es läuft nicht so glatt, sage ich mal.
Und man schreit sich gegenseitig an und sagt jetzt, ja, drehen, drehen, drehen.
Und es hilft halt alles nichts. Und dann steckt die Couch fest.
Thomas Kahle
Geht nicht vor und nicht zurück.
Claudia Frick
Ja, genau. Es endet auch sehr tragisch. Also für die Couch.
Genau, also das ist das Problem. Und jetzt ist das mathematische Problem,
mit dem man sich mal beschäftigen kann, weil das ist natürlich ein schönes, praktisches Problem.
Aber das mathematische Problem dahinter ist ja, also wie kann eigentlich so
eine Couch aussehen oder wie müsste die geformt sein, damit sie maximal groß
sein könnte, um trotzdem noch um diesen rechten Winkel zu kommen?
Thomas Kahle
Genau. Und dieses Problem heißt das Moving Sofa Problem. Also das Sofa-Umzugsproblem.
Und das gibt es schon seit den 60er Jahren.
1966. Und das habe ich mal recherchiert. Da gibt es eine Zeitschrift,
Siam Review. Siam ist die Society for Industrial and Applied Mathematics.
Und die hat so eine Review-Zeitschrift, das ist wie so die, naja,
keine Ahnung, das monatliche Zeitschrift.
Mitgliedschaftsheft oder so. Und da gab es so eine Section, Problems and Solutions.
Also wie so eine Problemecke. Weißt du, so eine wissenschaftliche Zeitschrift,
die hatte so eine Problemecke.
Und da gibt es diese erste Erwähnung, erste schriftliche Erwähnung von diesem
Problem von Leo Moser, einem original österreichischstämmigen Mathematiker,
der aber im Alter von drei Jahren nach Kanada ausgewandert ist.
Also seine Eltern sind nach Kanada ausgewandert, nehme ich mal an.
Claudia Frick
Ja, ja.
Thomas Kahle
Und der hat das da hingeschickt und das können wir auch verlinken.
Also es ist natürlich auch online ist nur ein so ein Absatz,
wo er genau das beschreibt.
Also man hat einen Korridor, der hat eine fixe Breite.
In der Mathematik nimmt man natürlich einfach immer an, dass diese Breite eins ist.
Claudia Frick
Ja, diese Einheitsbreite.
Thomas Kahle
Die Einheitsbreite, genau.
Claudia Frick
Andere haben Einheitsbreite, ihr habt Einheitsbreite.
Thomas Kahle
Jetzt entkommen wir diese ganzen Idealisierungen der Mathematik.
Das ist ja sozusagen, okay, wir machen jetzt erstmal das zweidimensionale Problem.
Das sollten wir vielleicht auch vorher genau sagen.
Also wir haben jetzt in, ich vermute, in dieser Friends-Szene wird auch das
dreidimensionale Problem beschäftigt, wo ja meistens noch irgendwie Treppen
eine Rolle spielen oder so.
Claudia Frick
Ja, exakt, das ist genau richtig. Da hast du voll recht, das ist das dreidimensionale Problem.
Ansonsten würde auch der laute Ausruf Pivot, also dieses Schwenken,
keinen Sinn ergeben in dieser Folge und das ist ein sehr bekannter Ausruf. Pivot!
Thomas Kahle
Pivot. Pivot, woher kenne ich Pivot? Also es gibt irgendwie dieses Pivot to
Video, also wo sozusagen das Ende des Podcasts, weil auf Spotify alle jetzt
Video-Vodcasts hochladen müssen oder so?
Claudia Frick
Nee, das ist schon ein Meme, dieses Pivot ist quasi schon so ein...
Thomas Kahle
Ein Friends-spezifisches Meme oder darüber hinausgehend?
Claudia Frick
Also man kann quasi Pivot sagen und die meisten haben die Assoziation dahin,
wenn man es denn gesehen hat, die Serie.
Aber meistens, wenn jemand Pivot sagt, hat jemand das im Kopf.
Thomas Kahle
Aber aufgrund dieser einen Folge oder kommt es noch mehrmals vor?
Claudia Frick
Nee, das ist nur die eine Folge.
Thomas Kahle
Krass.
Claudia Frick
Aber es ist das Hauptthema der Folge. Ja, diese arme Couch.
Thomas Kahle
Das hat ja echt einen Impact gehabt.
Claudia Frick
Ja, das ist ja auch.
Thomas Kahle
Also ich glaube, in der Realität, so ein Sofa, das ist ja auch so ein bisschen
knautschig an den Seiten oder so, ja, weil das ist ja irgendwie eine Holzkonstruktion.
Und dann könnte das, glaube ich, wirklich stecken bleiben, weil man da irgendwie
so einen Ratschenmechanismus hat irgendwo.
Man drückt was rein und dann, wenn es hinter einer Ecke ist,
schnappt es raus und dann kann es halt einfach nicht mehr zurück.
Aber die mathematische Idealisierung ist natürlich so, dass es,
also alles, was wir jetzt machen, ist in zwei Dimensionen.
Ich stelle mir jetzt so vor wie so eine Draufsicht auf das Problem.
Also wir sehen den Korridor von oben und wir sehen das Sofa von oben.
Und das Sofa ist komplett hart.
Also es ist nicht knautschig. Man kann es nicht zusammendrücken.
Es muss so durch den Korridor passen in absolut unveränderter Form.
Claudia Frick
Ja. Okay, okay. Also man kann schon was raussägen, oder?
Thomas Kahle
Also ja, also man kann die Form einmal vorher festlegen und wenn es dann getestet
wird, kann ich damit umziehen, dann darf man es aber danach nicht mehr.
Claudia Frick
Ja.
Thomas Kahle
Also wenn man es dann nochmal ändert, dann hat man hinterher nur ein kleineres
Sofa oder ein kaputtes Sofa.
Claudia Frick
Das ist korrekt, schon ein kleineres Sofa. Ein kleineres Sofa ist ja nicht das,
worum das Problem sich dreht.
Thomas Kahle
Und das Problem dreht sich darum, was ist das größte Sofa, was jetzt um so eine
Ecke kommen kann, also genau eine 90 Grad Ecke in diesem einheitsbreiten Korridor.
Also der geht halt in Breite 1 lang und macht dann eine Rechtskurve in der Originalformulierung
des Problems 1966, da war auch so eine kleine Skizze dabei, ist es eine Rechtskurve.
Das ist auch ganz wichtig, es ist eben nur eine Rechtskurve.
Man muss dann nicht nur eine Linkskurve machen, da können wir später auch nochmal
drüber reden, was passiert, wenn man jetzt eine Rechtskurve und eine Linkskurve machen wollte.
Claudia Frick
Das Recht ist ja nur eine Seite.
Thomas Kahle
Dadurch ist die Lösung auch angepasst an die Rechtskurve.
Claudia Frick
Korrekt, genau, stimmt. Und was heißt denn, also Größte kann ja jetzt viel heißen.
Also kann ja Längste bedeuten oder?
Thomas Kahle
Sitzfläche.
Claudia Frick
Sitzfläche.
Thomas Kahle
Zum Sitzen nutzbare Fläche. Und in unserer zweidimensionalen Draufsicht ist
das einfach der Flächeninhalt dieses Sofas.
Und wie es in der Mathematik so ist, habe ich gleich mal einen Lösungsvorschlag.
Man kann ja immer erst mal versuchen, die einfachste Lösung zu finden oder irgendwie so Schranken.
Also wir wollen das größte Sofa finden, aber erst mal überhaupt eins zu finden, ist ja ganz gut.
Und ein Sofa, was man nehmen kann, ist einfach ein Quadrat mit der Kantenlänge, diese Einheitslänge.
Das kann man sich ja mal ganz einfach vorstellen. Man schiebt einfach dieses
Quadrat den Korridor entlang.
Es ist genauso breit wie der Korridor, bis es ganz in der Ecke steht.
Und dann schiebt man es einfach nach rechts in die andere Richtung, weil das geht jetzt.
Und also kann so ein Sofa zumindest den Flächeninhalt ein, was auch immer,
eine Einheitslänge ins Quadrat, kann es haben, indem ich dieses quadratische...
Sofa nehme. Das ist also offensichtlich. Das ist jetzt keine mathematische Veröffentlichung.
Da kommen vielleicht alle drauf, die sich 24 Sekunden mit diesem Problem beschäftigen.
Aber erstens sieht es wahrscheinlich nicht cool aus. Es wäre schon so ein seltsames,
also ein genau quadratisches Designobjekt.
Claudia Frick
Ja, aber doch, da gibt es doch diese Sitzblöcke. Weißt du, die sind doch jetzt
doch relativ modern, dass man so diese quadratischen Sitzteile hat. Sehr unbegründlich.
Thomas Kahle
Die werden immer wieder neu arrangiert, die einfach so immer so in der Gegend
rumstehen und dann kann man die ein bisschen verschieben und so.
Claudia Frick
Und dann rutschen die auseinander und man fällt zwischendurch.
Thomas Kahle
Ist nicht toll. Ja, es ist so loungy Gemüse.
Claudia Frick
Danke, ja genau, das ist der Begriff.
Thomas Kahle
Ja, genau. Es ist auch bei unserer mathematischen Idealisierung nicht so,
dass dann noch irgendwelche Menschen links oder rechts von dem Sofa Platz haben
müssen, die das dann schieben.
Das wäre ja in der Realität auch noch ein Problem.
Claudia Frick
Stimmt.
Thomas Kahle
Dass man irgendwie so fast schon magelt mit so einem Traktorstrahl oder so dieses
Sofa einfach in jede Richtung bewegen kann, wo es physikalisch möglich ist.
Aber in der Realität, muss man irgendwo stehen, um die Kraft auf das Sofa wirken zu lassen.
Claudia Frick
In France wurde auch Chandler ziemlich zerdrückt und konnte sich gar nicht mehr bewegen.
Also genau, das ist natürlich praktisch, dass man das im rein mathematischen,
Idealvorstellungsformat nicht berücksichtigen muss.
Thomas Kahle
In dieser 1966 Problemformulierung in Siam Review stand übrigens direkt dahinter
noch so ein Editorial Note zum 3D-Problem und da stand, it seems reasonable
that the 3D-Solution is a cylinder over the 2D-Solution.
Also die haben sich das so vorgestellt, dass man eigentlich nur das 2D-Problem
lösen muss, aber das betrifft eben nur, wenn sich keine Treppe in diesem Korridor befindet.
Also wenn man wirklich sozusagen gleichzeitig hoch und um die Ecke muss,
dann ergeben sich wahrscheinlich nochmal ganz andere Herausforderungen.
Claudia Frick
Ja.
Oh Gott, und dann könnte man das vielleicht noch in zwölf Dimensionen oder so machen.
Thomas Kahle
Ja, ich denke, es gibt noch, wir können nachher über noch Verallgemeinerung
des Sofa-Problems vielleicht noch kurz reden.
Um das nochmal der Vollständigkeit halber, Leo Moser, der das Problem gestellt
hat, hat über die 26 mathematische Nachfahren laut der mathematischen Genealogie,
über die ich hier vor zwei Folgen gesprochen habe.
Er wurde leider nur 48 Jahre alt und sein Bruder Willi Moser war auch Mathematiker.
Na gut. So, jetzt können wir das noch ein bisschen optimieren.
Willst du auch einen Lösungsvorschlag machen oder soll ich weiter optimieren?
Claudia Frick
Also mein allererster Gedanke, als ich das erste Mal von dem Problem gehört
habe, war ja, einfach einen Halbkreis zu nehmen.
Das war so meine erste Vorstellung. Also so ein Halbkreis, der genau den Radius
dieser Einheitsbreite hat.
Thomas Kahle
Also der würde dann diese Kreisfläche, also seine Halbkreislinie in die Ecke
haben, während sein Mittelpunkt an der inneren Ecke ist.
Claudia Frick
Genau an der Kante.
Thomas Kahle
An der rechten Ecke, wenn es rechts rum geht, sozusagen an der rechten inneren Ecke.
Claudia Frick
Ja.
Thomas Kahle
Okay, und den schiebt man dann so rein und dann ist sein Mittelpunkt genau an
dieser inneren Ecke und dann kann man ihn drehen.
Claudia Frick
Exakt, das ist der Drehpunkt, genau so.
Thomas Kahle
Alles genau, weil er sozusagen genau in das, passt halt genau in die Ecke rein.
Dann dreht er sich so rum und dann liegt er andersrum.
Und ist er jetzt größer als mein Quadrat? Also mein Quadrat hatte die Fläche
1 in quadratischen Breiten gemessen.
Und dein Halbkreis hat, wie war das nochmal, Pi. Der Einheitskreis hat den Flächeninhalt
Pi, also hat der Halbkreis Pi halbe.
Also irgendwie so, keine Ahnung, 3,14 halbe, 1,5 irgendwas, 1,571 habe ich mir
sogar aufgeschrieben hier.
Also 1,571 geht.
Okay, so, das sind so einfache Ideen.
Und dann kommt man auf die Idee, also der Halbkreis, der geht ja halt genau so drumrum.
Und das Problem ist, da wo der Mittelpunkt ist, da stößt es ja genau an die Ecke.
Wenn ich da also so wie so eine kleine Ausbuchtung hätte, könnte ich mir vielleicht
noch mehr Fläche erlauben, weil ich dann sozusagen dieses Problem,
dass ich da um die Ecke muss, genau an der lokal an der Stelle eine kleine Veränderung
mache, dann kann ich mir vielleicht ein bisschen größere Länge erlauben.
Claudia Frick
Ah, ja, okay, okay. Weißt du, übrigens, jetzt wäre so ein TikTok gar nicht so
schlecht, weil da hätte man was visuell.
Das ist jetzt so nur übersprachlich.
Müssen wir uns das echt gut vorstellen können, was du da sagst.
Also, du machst in der Mitte dieses Halbkreises, da wo dieses Zentrum ist, machst du was weg.
Dafür kannst du das ein bisschen länger machen. Also breiter rechts und links.
Thomas Kahle
Genau. Ich könnte jetzt so Kapitelbilder verwenden, aber ich weiß immer nicht,
ob die Leute das mögen oder nicht, weil die, die auf dem Fahrrad sind,
die denken dann, blödes Kapitelbild, habe ich jetzt keine Lust,
das Kapitelbild anzugucken.
Und es ist ja auch ein Audioformat. Also es ist immer eine Herausforderung.
Claudia Frick
Ja, stell dir mal vor, du nimmst so einen Donut und schneidest den so halb durch,
also dass du so einen Halbkreis kringeln hast.
Thomas Kahle
Ja.
Claudia Frick
Und dann knautschst du den so ein bisschen zusammen.
Thomas Kahle
Ja.
Claudia Frick
Das ist so ungefähr die Form, die du in deinem Kopf hast, ja?
Thomas Kahle
Ja, genau. Und auf die Idee kam es dann auch schon relativ schnell von einem
Mathematiker namens John Hammersley, ein englischer Mathematiker,
214 Nachfahren in der mathematischen Genealogie, 200 davon aber durch eine einzige
Person, einen bekannten Wahrscheinlichkeitstheoretiker, der sein Doktorand war.
Und der 1968 hat er diese Idee komplett ausgearbeitet.
Also man kann sich das zum Beispiel so vorstellen, man nimmt diesen Halbkreis,
der gut drum passt und zieht den auseinander in zwei Viertelkreise.
Und jetzt baut man in der Mitte noch ein Stück ein.
Claudia Frick
Oh, so eine Verlängerung quasi.
Thomas Kahle
Ja, wie so eine Verlängerung. Und die Verlängerung hat aber diese Ausbuchtung
drin, damit man trotzdem noch um die Ecke kommt.
Claudia Frick
Okay, sieht also quasi so ein bisschen aus, wie so ein Griff an der Schublade, so ein Alter.
Thomas Kahle
Ja.
Claudia Frick
Weißt du, die haben doch auch so ein bisschen breiter an den,
wo sie dran sind an der Schublade und dann so ein schmalerer Teil zum Aufmachen.
Thomas Kahle
Ja, also der übliche Vergleich, den man üblicherweise hört, ist so ein alter Telefonhörer.
Claudia Frick
Ach ja.
Thomas Kahle
Also ich weiß nicht, ob du so gerne Dokus über die Geschichte des Chaos-Computer-Clubs
irgendwie hörst, schaust, meine ich, im Fernsehen.
Da gibt es immer diese Stelle, wo die dann diesen Akustikkoppler benutzen,
um ins Internet zu gehen oder, keine Ahnung, mit Mailboxen sich zu verbinden.
Und da müssen sie immer so einen beigefarbenen Plastik-Telefonhörer auf so Muffen drauf tun.
Hast du diese, hast du schon mal gesehen, irgendeine ZDF-Doku über Computer?
Oder hattest du sowas?
Claudia Frick
Bist du so ins Internet gegangen? Ich wollte gerade sagen, was meinst du mit
Doku gucken? Ich kann mich daran auch erinnern.
Ja, ich kann mich daran erinnern. Ich bin damit zwar nicht ins Internet gegangen,
aber ich kann mich an diesen Telefonhörer absolut perfekt erinnern.
Diese beigen Telefonhörer von diesem komischen.
Ach Gott, dieses Plastik war auch ganz besonders.
Thomas Kahle
Ich glaube, die gab es auch in dunkelgrün. Ja, das hatten wir auch.
Claudia Frick
Dunkelgrün, beige und in dunkelrot.
Thomas Kahle
Ah, schick.
Claudia Frick
Ja, das hatten wir. Wir haben alle drei Farben mal.
Thomas Kahle
Ja, also ich bin ja aus der DDR, ich war DDR-Kind und dann sozusagen,
als ich ins Internet durfte, da gab es dann schon Modem, da war dann schon die
galvanische Kopplung an das Netz der Bundespost erlaubt.
Also so mit Akustikkopplern hatte ich nie zu tun, aber ich habe zumindest Computerprogramme
in BASIC auf so Tonbandkassetten gespeichert.
Claudia Frick
Toll.
Thomas Kahle
Also das war sozusagen, okay, Computergeschichte. Also auf jeden Fall,
um diesen Telefonhörer, also es wurde jetzt optimiert, man zieht die Viertelkreise
auseinander und was dazwischen passt, ist auch ganz witzig,
es ist ein Rechteck, wo die lange Kante 4 durch Pi ist und 4 durch Pi ist ungefähr so 1,273.
Also irgendwie, es ist so ein Optimierungsproblem. Hammerslay hat sich halt
damit beschäftigt und also er baut da jetzt so ein Rechteck ein mit Kantenlänge 4 durch Pi mal 1.
Also die Höhe ist 1, wieder der Korridor.
Und aus diesem Rechteck schneidet er dann noch einen Halbkreis raus mit dem
Radius 2 durch Pi, also einen Halbkreis, der genau als Durchmesser das gesamte Rechteck hat.
Und dann kriegt er also 4 durch Pi mal 1 minus 2 durch Pi,
diesen Flächeninhalt von dem rausgeschnittenen Halbkreis und jedenfalls bleibt
dann noch 2 durch Pi über, was er noch dazu kriegt zu seinem,
also er hat ja schon Pi halbe von den Zweiviertelkreisen und er kriegt noch zwei durch Pi dazu.
Und dann kommt er so auf eine Fläche von 2,2 Einheitsbreitenquadrat.
Zwei Einheitsbrei-Quadrat.
EBQs. Wir nennen es jetzt EBQs, okay.
Einheitsbreitenquadrate. Also er kommt auf 2,2074 EBQs. Standard-Sofa-Einheiten.
Claudia Frick
Ja, ich habe auch gerade Standard-Sofa-Einheit könnte man definieren.
Thomas Kahle
Also er hat ja eine schöne Folge zu Einheiten mit Matthias Magdowski,
der könnte das dann in SI-Einheiten umrechnen.
die Standard-Sufa-Einheiten. Okay, sind irgendwie Quadratmeter wahrscheinlich.
So, also, aber die Formel ist ganz neat. Also Pi halbe plus zwei durch Pi.
Also Pi durch zwei plus zwei durch Pi.
Claudia Frick
Klingt nach einer Lösung, die man rauskriegt im ersten Semester Mathematik.
Thomas Kahle
Ja, in Term der mathematischen Optimierung ist es jetzt also eine untere Schranke.
Also für dieses Problem, die Lösung zu finden, wie bei vielen solchen Optimierungsproblemen,
bedeutet ja immer, durch Angeben von Beispielen eine untere Schranke,
Also so viel ist mindestens möglich. Hier ist ein Beispiel.
Und durch Angeben von oberen Schranken, wenn es größer ist als so,
dann kann es auf keinen Fall funktionieren, eine obere Schranke zu bekommen,
was hier nicht so offensichtlich ist, wie man das machen soll.
Keine Ahnung, ich weiß nicht. Es wird wahrscheinlich nicht so schwer sein,
zu zeigen, dass irgendwie 22 EBUs, nee, wie haben wir jetzt gesagt, nicht möglich sind.
Also irgendwie eine obere Schranke zu bekommen. Und dann ist das Spiel halt
immer die beiden Schranken immer näher aneinander zu bringen.
Und er hatte, glaube ich, auch vermutet, dass seine Lösung optimal ist.
Aber das wurde anscheinend unveröffentlicht. Ziemlich schnell widerlegt.
Ich habe nur so eine Notiz gefunden.
Ankleblich haben Conway, der ja hier auch öfter erwähnt wurde,
der Mathematiker Conway und andere das Problem Ende der 60er bei einer Konferenz
in Kopenhagen diskutiert und dort das Schäffertsche Piano gefunden,
was minimal besser war als Hammerslays Sofa und es blieb aber unveröffentlicht.
Also dann war irgendwie die Konferenz zu Ende und sie hatten irgendwie,
okay, Hammerslays-Lösung ist nicht optimal und man wusste, dass es irgendwie
besser geht, aber es war nur so mal an der Tafel mal kurz anüberlegt und dann ...
Ging es irgendwie nicht weiter. Und hier gab es noch ...
Claudia Frick
Ach, wie schade. Zu sowas möchte man noch mal eingeladen sein oder mal ins Geschichte
so reintauchen, um das zu sehen. Jetzt will ich wissen, wie dieses Piano aussah.
Thomas Kahle
Ja, ich habe das auch versucht zu googeln, aber das Piano habe ich nicht gefunden.
Aber Conway und Guy haben später noch ein Paper geschrieben,
wo sie eine untere Schranke 2,215 schon mal gezeigt haben.
Was also besser ist als vorher, hatten wir mit diesem Pi halbe plus 2 durch Pi war 2,20, also 2,215.
Noch etwas größer. Über Conway, ich habe gerade mir eine schöne Biografie von Conway gekauft.
Habe ich auch so ein bisschen was auf Mastodon dazu gepostet.
Muss ich mal noch weiterlesen.
Also, das ist wirklich ein gutes Buch. Aber ein anderes Thema.
Okay, und dann passiert eine ganze Zeit lang nichts. Also, es gab kein TikTok.
Claudia Frick
Schade.
Thomas Kahle
Es gab keine gute Möglichkeit außer Konferenzen in Kopenhagen,
um so ein Problem weiter zu popularisieren, würde ich mal sagen, oder?
Claudia Frick
Ja, und um mehr Leute darauf aufmerksam zu machen, dass es interessant sein
könnte, sich damit zu beschäftigen, um es zu lösen.
Thomas Kahle
Ja. Also 20 Jahre lang ist nichts passiert. Also erst ist die Berliner Mauer
gefallen, bevor wieder was passiert ist.
Und das nächste müsste dann Gerber gewesen sein, mit einem Paper.
On moving a sofa around a corner. Genau.
Hattest du dich ja auch mal mit so Titeln von mathematischen Arbeiten auseinandergesetzt?
Claudia Frick
Ja, ja, auf jeden Fall mit merkwürdigen, lustigen oder humoristischen Titeln
mit popkulturellen Referenzen, ja, ja, ja.
Thomas Kahle
Also der Titel ist jetzt nicht so lustig, aber für ein Mathematik-Paper ist
es schon irgendwie eine Errungenschaft, oder?
Das ist ein Paper On Moving a Sofa Around the Corner als Titel von meiner Arbeit
in der Zeitschrift Geometrie Dedicata.
Claudia Frick
Ich liebe es, ich finde es toll. Auf jeden Fall, das wird, glaube ich,
auch aufgenommen in meine Sammlung. Ich habe da so eine kleine Sammlung zu.
Thomas Kahle
Also zu Recht, würde ich sagen. Das gefällt mir auch.
Okay, und das ist also jetzt ein richtiges mathematisches Paper mit richtigen
Sätzen, schwierigen Sätzen, 17 Seiten lang.
Und darin gibt es jetzt den ersten Satz, einen echten Satz.
Also er ist ziemlich kompliziert, wenn man den jetzt sich anschaut,
dann versteht man erstmal nicht, worum es da geht.
Der sagt, es existiert eine Fläche, die den maximalen Flächeninhalt hat,
um herumbewegt zu werden mit diesen und jenen Eigenschaften.
Und weiterhin muss jede Fläche, die darum bewegt werden kann,
diese und jene Eigenschaften haben. Also es gibt einem neue Werkzeuge,
um zu prüfen, zum Beispiel, ob eine Fläche maximal ist.
Also Kriterien, die eine Fläche mit maximalen Flächenhinhalt erfüllen muss.
Claudia Frick
Okay.
Thomas Kahle
Und ich glaube, die mathematische Grundidee ist eben, so ein Optimierungsproblem
auf eine solide Grundlage zu stellen.
Also was ist der Vergleich? Also wenn man jetzt ans Mathe-Abi denkt,
also bei meinem Mathe-Abi, weiß nicht, ob das immer noch so ist,
da gibt es immer diese Hochtiefpunkt finden von Funktionen. Also man hat irgendwie
so einen Funktionsgrafen und muss bestimmen, an welcher Stelle nimmt die Funktion
ihr Maximum an oder ihr Minimum.
Gibt es so Aufgaben noch? Naja, irgendwer.
Claudia Frick
Ich weiß es nicht.
Thomas Kahle
Irgendwer wird es wissen.
Claudia Frick
Ja, sag mal.
Thomas Kahle
Wer gerade schreibt zu uns in die Kommis.
Claudia Frick
Aber nicht aus dem Fahrrad aus. Danke.
Thomas Kahle
Engagement bait. So, und da muss man doch immer die Ableitung null setzen.
Weiß nicht, ob du dich daran noch erinnerst.
Claudia Frick
Oh Gott, das war mein liebster Teil an Mathematik.
Thomas Kahle
Die Ableitung null setzen?
Claudia Frick
Ja, ich habe zur Entspannung zwischen dem Vokabellernen früher immer Kurvendiskussionen gemacht.
Thomas Kahle
Genau, Kurvendiskussionen, das war eigentlich eigentlich.
Claudia Frick
Ja, ich bin so ein bisschen, das war meine Addiction, sorry.
Thomas Kahle
Und jetzt, was mit dem Sofa? Das mit dem Sofa ist eigentlich auch Kurvendiskussion
und zwar in doppelter Hinsicht.
Jetzt pass auf, die erste Hinsicht ist, er diskutiert die Kurven, die das Sofa begrenzen.
Also eine Kurvendiskussion, weil er versucht, die Kurven zu finden.
Also bei unseren bisherigen Sofas, die wir bisher konstruiert haben,
waren es immer nur Halbkreise.
Oder Graden. Oder Viertelkreise.
Viertelkreislinien, Graden. Und dann wurde das so zusammengebaut.
Beim Hammersley-Sofa. Aber er nimmt jetzt allgemeinere...
Möglichkeiten für Kurven an. Ja, die werden in der Arbeit nur so näherungsweise beschrieben.
Also man hat wie so eine Schar von Geraden und man muss dann so den Schnitt
über alle Regionen nehmen, die von dieser Schar von Geraden begrenzt werden.
Und dadurch wird so eine ganz feine, als ob man immer weiter feilt an der Ecke
vom Sofa. So kann man sich vielleicht vorstellen.
Claudia Frick
Genau, es sind immer kleinere Teilchen. Ja, ja.
Thomas Kahle
Okay, das ist die eine Kurvendiskussion. Da diskutiert er also die Kurven,
die die Sofa-Fläche begrenzen.
Und die andere Kurvendiskussion ist eben diese Idee, dass wenn man die Ableitung
null setzt, um bei der wirklichen Kurvendiskussion die Minimal und Maximal zu
finden, dann findet man ja erstmal nur die kritischen Punkte.
Man weiß, an jedem Maximum ist die Ableitung null. Aber nicht in die andere Richtung.
Claudia Frick
Ja, natürlich. Das war doch irgendwie notwendige und hinreichende.
Thomas Kahle
Notwendige und hinreichende Bedingungen.
Claudia Frick
Ja.
Thomas Kahle
Und hier in dem Gerwer-Paper ist eben eine notwendige Bedingung.
Also wenn man eine maximale Fläche hat, dann muss sie diese Eigenschaften haben.
Das ist eigentlich die Idee da drin. Und dann gibt er halt auch eine an, die die hat.
Und die ist sehr ähnlich diesem Telefonhörer. Die ist halt so,
der Telefonhörer unten auch so ein bisschen dran rumgefeilt,
dass, also da wo der Halbkreis rausgeschnitten wurde, da entstehen ja wieder so Ecken.
Also da entstehen diese Ecken. Und wenn man diesen ein bisschen abfeilt,
dann kann man es oben noch ein bisschen länger machen oder ein bisschen ausgebeulter.
Und ja, das war also der Stand 1991.
Claudia Frick
Also man hatte so einen Halbkreis mit Verlängerungsdings, an dem rumgefeilt worden ist.
Thomas Kahle
Genau, aber an der anderen Seite, oben an den Ecken, wo die Viertelkreise waren,
da kann man dann noch ein bisschen was da dran machen dafür.
Und man kann mehr dran machen, als man wegfeilt.
Claudia Frick
Ah, okay. Das heißt, also auf der Innenseite nimmt man eine kleine Fläche weg
und bekommt dafür ein bisschen mehr Möglichkeit, mehr Fläche außen anzubauen.
Thomas Kahle
So kann man sich das vorstellen, ja.
Claudia Frick
Okay.
Thomas Kahle
Oder es zumindest ein bisschen länger zu machen. Weiß jetzt nicht genau,
ob auch sozusagen, ich glaube, es wird auch in der Mitte ein bisschen länger möglich dadurch.
Claudia Frick
Okay. Wow. Vielen Dank.
Spannend.
Thomas Kahle
Apropos Videos, also wer das jetzt visualisiert haben möchte,
es gibt natürlich, wie ich jetzt entdeckt habe, ein Numberphile-Video dazu.
Numberphile ist ja dieser YouTube-Mathematik-Kanal mit sehr schönen Videos.
Und da kann man sich das auch alles mal anschauen. Das ist aber aus der Zeit von 2016, das Video.
Und da spricht ein Mathematiker, der heißt Dan Romick von der UC Davis.
Und der hat sich auch eine Weile damit beschäftigt und auch so 3D-Druckmodelle
angefertigt, mit denen man so kleine Experimente machen kann.
Also hat man dann, okay, 3D gedruckt, also man hat so einen Korridor,
der oben offen ist und dann kann man dieses 2D-Problem mit seinem kleinen Modell
so spielerisch erkunden.
Claudia Frick
Boah, das ist perfekt für so eine Experimentierstation in so einem Mitmachmuseum für Technik.
Thomas Kahle
Auf jeden Fall.
Claudia Frick
Ja, bin ich dabei.
Thomas Kahle
Und dann hat er es auch versucht zu lösen, kam aber auch nicht weiter.
Also jetzt passiert wieder jahrzehntelang nichts.
Wann entstand eigentlich TikTok? Wann ging es mit TikTok? so los.
Ich bleibe gar nicht mehr so richtig auf dem Schirm.
Claudia Frick
Oh, das ist jetzt die große Frage. Zählen die Vorgänger denn mit,
Also TikTok basiert ja auf einer App, die Musical.ly hieß. Das heißt,
da gäbe es das schon viel, viel länger.
Thomas Kahle
Ach stimmt, das war doch immer mit diesem Tanzen, wo alle immer das Gleiche
liegt, nochmal nachgetanzt haben oder so.
Claudia Frick
Genau, früher hießen die Musical.ly und da gab es das schon lange.
Weil ich glaube, TikTok an sich gibt es jetzt seit ungefähr knapp zehn Jahren,
acht, neun, zehn Jahre irgendwas um den Dreh.
Aber Musical.ly gab es halt schon früher. Da müsste ich jetzt aber mal überlegen,
wann es die gab. Oh Gott, keine Ahnung.
Thomas Kahle
Ich glaube, frühe Numberphile-Videos sind auch aus den Nullerjahren,
also als es so mit Videoformaten auf YouTube anfing, so seit dein eigener Fernsehsender.
Claudia Frick
Ja, aber ich glaube, so viel ist es nicht. Ich glaube, Musical.ly ist mehr so Anfang 2010er, also so.
Aber das sind jetzt nur meine Erinnerungen. Ihr könnt mich gerne fact-checken.
Thomas Kahle
Na gut, das war ja auch professionell produziert. YouTube war ja eher sozusagen
professionell produziert und da hat man sich auf einem Computer angeschaut,
während Musical.ly, glaube ich, direkt als App war.
Und das iPhone kam noch erst 2008 raus oder so. Ja, also es muss ja auf jeden
Fall danach gewesen sein.
Claudia Frick
Ja, ja.
Thomas Kahle
Okay, also Dan Romig beschäftigt sich aber auch so mit Differenzialgleichungen.
Und dann kommt, glaube ich, eine entscheidende Idee, die einige Jahrzehnte gebraucht
hat, bis sie sich ausgespielt hatte.
Die Randkurven, die das Sofa begrenzen, die sind ja das, was wir jetzt optimieren müssen.
Bei so einer Kurvendiskussion aus dem Abi hat man eine einfache Funktion.
Da hat man eine Funktion f von x gleich y.
Also eine Zahl geht rein, eine Zahl kommt raus. Und hier hat man jetzt eine
super komplizierte Funktion.
Die Funktion, da gehen die ganzen Kurvenstücke rein und der Flächeninhalt kommt raus.
Und die will man jetzt optimieren. Also man will sozusagen systematisch verstehen,
wenn ich die Fläche ein bisschen ändere, also wenn ich die begrenzende Kurve
ein bisschen ändere, wie ändert sich der Flächeninhalt?
Und in diesem Raum, der besteht aus allen möglichen begrenzenden Kurven und
allen begrenzenden Flächen, wo sind da die Grenzen?
Wo kann ich da hingehen? Was ist das Maximum? Was ist der größte Flächeninhalt, den ich kriegen kann?
Unter der Einschränkung, dass ich noch um die Kurve komme.
Claudia Frick
Oh, ja, okay, okay.
Thomas Kahle
Sehr schwierig. Aber das ist eine typische mathematische Vorgehensweise.
Man beschreibt es irgendwie als dann doch wieder ein neues geometrisches Problem.
Man hat den Raum aller Dinge, die um die Kurve gehen. Und darin sucht man einfach
das Maximum. Und fragt sich erst mal, existiert es überhaupt?
Und ist es eindeutig? Und was man da alles für Fragen hat, ja.
Claudia Frick
Das klingt nach so einer richtigen Horroraufgabe, vor der man Angst hatte im
Abitur. Aber zum Glück wird das nicht im Abitur gestellt.
Thomas Kahle
Es ist ja auch witzig, dass man oft so mathematische Probleme gar nicht ansehen
kann, ob sie jetzt super schwer oder super leicht sind.
Claudia Frick
Boah, da hast du so recht. Genau, also man hätte, also für mich hätte das vom
Ansehen her genauso kompliziert sein können wie, weiß ich nicht,
Flächenbestimmung von irgendwas, wo ich so denke, ach, das ist doch,
ja, ja, gar kein Problem.
Thomas Kahle
Elementargeometrie irgendwie, ja, man zeichnet hier eine geschickte Diagonale
ein und dann ist da ein rechter Winkel.
Claudia Frick
Genau, und dann zieht man das noch ab und dann nimmt man Pythagoras und dann ist man fertig.
Genau, und dass das jetzt aber so kompliziert ist, das ist halt faszinierend,
weil man einfach nicht annimmt, dass es jetzt so kompliziert ist.
Da hast du einen sehr guten Punkt.
Aber es gibt wahrscheinlich auch keine, hast du auch nicht den Blick für so,
ah, nee, das ist zu kompliziert, fange ich gar nicht erst an, oder?
Thomas Kahle
Ach, das hat niemand, glaube ich.
Claudia Frick
Okay.
Thomas Kahle
Oder nur sehr wenige.
Claudia Frick
Man merkt erst, wenn man mittendrin steckt und denkt, ach Gott,
jetzt die Promotion da auch hinüber.
Thomas Kahle
Ja, also ich glaube an dem Moment, wo man dieses abgefeilte Görver-Sofa gesehen
hat, was eben als Grenzen so kompliziert beschriebene Flächen hat,
wo in dem Paper nur bewiesen wird, dass es die richtigen Zahlen gibt,
aber keine Formel, nicht mal eine Formel für die Zahlen.
Also diese, wie so die Winkel, mit denen die aufeinandertreffen an diesen Stellen,
wo so mehrere von den Sofa-Flächen aufeinandertreffen, die sind eben nur die
Lösung von irgendwelchen komplizierten Gleichungen, also gibt es nicht mal eine
Formel dafür, die kann man dann mit dem Computer irgendwie ausrechnen,
aber es ist eben auch nicht wirklich sehr explizit beschrieben.
Sondern es ist so ein Satz, es existieren die ganzen Zahlen,
die man braucht, um die Konstruktion auszuführen.
Und für die Zahlen habe ich aber keine Formel. Sondern die Zahlen sind die Lösung
von diesen anderen Gleichungen hier.
Und dann beweise ich, dass man die Gleichung lösen kann. Und dann weiß ich,
dass die Zahlen existieren. Und dann weiß ich, dass das Sofa existiert.
Aber deswegen kann ich es jetzt trotzdem noch nicht bauen.
Ein Computer kann es dann natürlich bauen, weil er die Zahlen ausrechnen kann.
So genau, dass ich auf meiner Zeichnung den Fehler nicht mehr sehe. Aber ...
Claudia Frick
Ja, also ein Computermodell von so einem Sofa, das sich immer um die Ecke schiebt, wäre doch was.
Thomas Kahle
Also ich glaube, es gibt so in Mathematiker, Dan Romick hat glaube ich auf seiner
Seite so Mathematiker-Files, mit denen man auch Animationen sogar machen kann
von Flächen, die man ausprobieren will.
Claudia Frick
Oh, wie cool. Also sowas finde ich immer schön, wenn man es dann auch ausprobieren kann.
Also ich habe nur gesehen, dass es für das Sofa-Problem jede Menge lustige GIFs
gibt. Also wo irgendwelche lustigen Formen um diese Kante geschoben werden.
Da kann man sich auch ein paar anschauen.
Thomas Kahle
Ist irgendwie auch ein Meme-Generator, wo man jetzt irgendwie,
keine Ahnung, irgendwas anderes da durchschiebt.
Claudia Frick
Ja, genau. Man kann einfach mit der Hand so was reinzeichnen und dann versucht
das Programm das irgendwie so durchzuschieben. Ja oder nein. Trinkspiel.
Thomas Kahle
Sehr schön, ja. Okay. So, und dann müssen wir jetzt ins Jahr 2024 springen. Oder?
Claudia Frick
2024. 2024, nämlich in dem Jahr, kam dieses schöne Paper raus,
das wir, was ich auf TikTok gesehen habe und die dann weitergeleitet habe. Und zwar November 2024.
Also es ist noch recht frisch. Und der gute Mensch, haben wir den Namen schon mal gesagt?
Thomas Kahle
Ich glaube nicht.
Claudia Frick
Wir wissen beide nicht genau, wie man es ausspricht. Aber ich versuche es mal. Jinjen Baeke.
Thomas Kahle
Genau, ein koreanischer Mathematiker, wenn ich das richtig sehe.
Claudia Frick
Genau, da hat ein Paper of Archive veröffentlicht und ich sag jetzt Paper,
das ist aber vielleicht die größte Untertreibung die ich lange gemacht habe,
wenn es handelt sich um 119 Seiten.
Das ist mehr so eine Abschlussarbeit Niveau Master.
Thomas Kahle
In Mathe sind die kürzer.
Claudia Frick
Oh, okay, dann Promotion Mathe?
Thomas Kahle
Ja, es gibt Promotionen, die kürzer sind. Es gibt auch Promotionen,
die länger sind, aber ja.
Claudia Frick
Ja, und das heißt ja Optimality of Gervers Sofa.
Und ist quasi auf Archive, das heißt, es hat noch kein Review durchlaufen,
aber ist in erster Version da schon zu sehen, zu lesen.
Und wenn man sich natürlich die Zeit nimmt, diese 119 Seiten zu lesen.
Ich kann aber nur so aus der Perspektive einer Person, die nichts davon versteht,
weil da so viele Formeln sind, dass es so mit den Ohren schlackert,
sagen, dass es sich trotzdem lohnt, mal reinzuschauen.
Der hat nämlich tatsächlich ziemlich gut gearbeitet, dass man eine Verständlichkeit
herstellt, auch für Leute, die sich mathematisch nicht so gut auskennen.
Der hat zum Beispiel wirklich so eine richtig ausgefeilte Struktur.
Am Anfang werden die Definitionen mal genannt und Theoreme.
Und dann hat er die Besonderheit, dass es ein Kapitel, also in Kapitel 1 Unterkapitel
gibt, die die ganzen anderen Kapitel hinten zusammenfassen.
Also es gibt ein ganz langes Kapitel 3 für einen bestimmten Schritt im Beweis,
und das wird dann unter Kapitel 1.4 ganz kurz zusammengefasst und da ist nochmal
ein ganz, ganz kurzer Summary in Form von ein bis zwei Sätzen,
worum es da geht und warum das notwendig ist und was das Ergebnis ist.
Das ist spitzenmäßig gemacht, also ich habe dann zumindest nachvollziehen können,
was das für Schritte sind, die da passieren.
Also nur so viel dazu, warum ich mich dann doch angetraut habe an diesen sehr
langen Text, auch wenn ich sehr viel Angst vor den Vorbildern habe.
Thomas Kahle
Nehmen wir mal, du hast nicht alles Zeile für Zeile nachgeprüft.
Claudia Frick
Nein, ich habe aber durch diese Zusammenfassungskapitel gelesen und habe davon,
sagen wir mal, 50 Prozent verstanden und ich finde das für jemanden mit wenig
Ahnung schon ein hervorragender.
Thomas Kahle
Ja, also ich finde, das ist vielleicht
auch ein bisschen Teil einer guten Publikationskultur in der Mathematik.
Wenn man jetzt was schreibt, was über 100 Seiten lang ist, dass man das wirklich
sehr sauber strukturiert.
Natürlich machen das nicht alle, aber ich würde sagen, eine mathematische Publikation
ist doch noch mehr ein Einzelwerk als so ein,
wie soll ich sagen, ein Werkstück, was immer gleich ist.
Also in eher experimentellen Wissenschaften gibt es ja dann manchmal so etablierte
Formate wie, also das Paper ist immer acht Seiten lang, da gibt es immer eine
Seite Introduction, dann kommen zwei Seiten Methods, dann kommt Ergebnistabellen
und dann kommt irgendwie Conclusion.
Claudia Frick
Ja, es ist immer so eine ganz getaktete Sache, ja.
Thomas Kahle
Und das ist eben bei Mathematik nicht so, sondern es ist jedes Mal neu,
man wählt die Struktur eigentlich immer angepasst an das, was man schreiben
will und den Inhalte auch, ja,
und er ist auch noch ein relativ junger Mathematiker, also er hat gerade promoviert,
aber auch über das Moving Sofa Problem in USA,
in Michigan und ist jetzt Postdoc sozusagen, könnte man sagen.
Und ich fand es auch interessant, also in diesem Acknowledgement ist auch so
interessantes Name-Dropping.
Also ich glaube, wenn man die Einleitung liest oder auch das Acknowledgement,
sieht man schon, da werden auch die Leute, ist ja so ein guter Trick,
da werden eben wichtige Leute erwähnt und so erwähnt, dass einem klar wird,
die Person hat sich auch mit diesen anderen Leuten, die wirklich Ahnung haben
oder die auch sehr viel Ahnung haben, auch unterhalten. Also das wird zumindest behauptet, ja.
Ich danke Jeff Lagarias für intensive Diskussionen oder so.
Das kann nicht jede Person schreiben, dass irgendwie Mathematikerin XYZ Zeit
hätte, sich mit mir zu unterhalten über mein Problem oder so.
Dann muss man schon irgendwie interessante Beiträge geleistet haben.
Ist ja immer so eine Frage, wenn man jetzt einfach als relativ neuer Player
in dem Spiel irgendwie rauskommt und sagt, ich habe das Problem von 1966 gelöst,
was ihr alle auch versucht habt und ihr habt es nicht hinbekommen und hier so geht's.
Dann ist man ja immer erstmal einer gewissen, hat man eine gewisse,
wie sagt man, ist man erstmal ausgesetzt und dann wird es aber gut aufgefangen.
Also ich denke, dieses Paper hat gute Chancen zu bestehen. Das ist jetzt kein
irgendwie so Beweis der Riemann-Vermutung, die man auf dem Archive jeden Tag
findet, sondern so wird eben komplett ernst genommen und ich meine,
kann immer sein, dass da irgendwas noch ist, aber das kann man vielleicht auch beheben oder so.
Und ja, also vielleicht könnte man dieses Problem jetzt als gelöst ansehen.
Claudia Frick
Ja, also das finde ich aber irgendwie, das ist doch mal so ein mathematisches Story.
Es fing vor fast 60 Jahren an und jetzt kommt es zu einer Lösung und sie wurde
gefunden und mehrere Generationen von MathematikerInnen haben gemeinsam daran
gearbeitet, das zu lösen. Das ist faszinierend.
Also was mich, was ich tatsächlich ganz faszinierend noch daran fand,
weil ich habe mir, also ich bin, die habe mir alle Bilder angeguckt.
Kann ich auch empfehlen, irgendwie so das mal zu machen auf Seite 5 und Seite
103 waren meine Favoriten.
Seite 105 insbesondere deshalb, weil das Sofa gleich bleibt und sich die Ecke verschiebt. Ja.
Faszinierend. Aber mich hat auch faszinierend, es ist ja immer alles symmetrisch.
Also logischerweise, Also mein Kopf dachte, es ist logisch, dass das immer symmetrisch
ist, aber darüber musste man ja auch wahrscheinlich erstmal nachdenken, oder?
Thomas Kahle
Also symmetrisch bezüglich in der Mitte durchschneiden. Also wenn man jetzt
sozusagen von dem Sofa eine linke und eine rechte Seite hat,
beim Bewegen durch den Korridor ist es dann quasi die vordere und die hintere Seite.
Und wenn ich da in der Mitte durchschneide, ist es symmetrisch.
Das folgt eigentlich, würde ich sagen, kann ich jetzt begründen aus der Symmetrie dieser Ecke.
Claudia Frick
Hätte ich auch gesagt, genau. Aber dann dachte ich mir so, vielleicht muss man
das auch begründen. Ich denke, das muss man auch begründen.
Na gut. Nichts kann man einfach annehmen. Okay.
Thomas Kahle
Und diese Beweisstrategie, die basierte auf einer Verbesserung von diesem Optimierungsproblem,
also auf der Kurvendiskussion.
Es gab Anfang 2024 auch noch eine Arbeit, die eher so einen numerischen Ansatz hatte und versucht hat,
diese optimale Form als die Lösung
von einem ganz komplizierten Differenzial-Integral-Gleichungsproblem
zu schreiben und dann das Problem numerisch zu lösen.
Und da kam man eben als zusätzliche Motivation auf die gleiche Form,
auf diese, also der Beweis zeigt ja, dass die Gerber-Form, die seit 1991 bekannt
ist, dass die optimal ist.
Also es wird jetzt keine neue Form konstruiert, sondern es wird gezeigt,
dass die, die man 1991 kannte, dass die wirklich optimal ist und besser geht's nicht.
Und da gab es sozusagen auch schon vorher numerische Evidenz.
Und soweit ich das verstehe, ich bin jetzt wirklich, ich kann nicht sagen,
dass ich es sehr verstehe, aber soweit ich es verstanden habe,
ist es jetzt quasi gelungen zu zeigen, dass diese notwendige Bedingung in diesem
Fall auch hinreichend ist.
Also dass das, was diese notwendigen Bedingungen aus Gerbers Arbeit erfüllt,
dass es auch dann das Optimum ist.
Aber es braucht anscheinend sehr viel Zeug.
100 Seiten Zeug.
Claudia Frick
So viele Formeln, so viele Lemmer, Definitionen, Theoreme.
Also wenn man irgendwann mal bei Lämmer 836 angekommen ist, denkt man sich so,
wow, es ist wirklich krass.
Also dass Leute das lesen und verstehen können, finde ich verwundernswert.
Thomas Kahle
Naja, es wird halt immer aufgeteilt, ja. Also man hat eigentlich einen großen Schlachtplan,
der wird auf seine Konsistenz überprüft und dann ist aber innerhalb von einem
Lämmer und seinem Beweis, das ist dann wieder eine lokale Sache,
die man Schritt für Schritt überprüfen kann, sind alle diese Argumente,
die zu diesem Zwischenschritt führen, korrekt, ja.
Dann ist es dann eben einfach viel Arbeit.
Claudia Frick
Ja.
Thomas Kahle
Also ist es ein Problem, was einfach zu formulieren ist?
Eine oder zwei Zeilen in Siam Review 1966 jetzt mit diesen vielen Überlegungen
und 119 Seiten kulminiert.
Claudia Frick
Ah, es ist faszinierend. Ja, manchmal braucht man eben auf eine simpel wirkende
Frage eine sehr, sehr komplexe Antwort.
Thomas Kahle
Es gibt noch mehr so simple Probleme. Es gibt an der Webseite die Math Overflow
heißt. Ich weiß nicht, ob du die kennst.
Das ist eine Variante von dieser Stack Overflow Software eben für mathematische Forschungsprobleme.
Und da gibt es natürlich auch so Diskussionsseiten und so lange Listen,
wo Leute irgendwie sowas auflisten.
Und da gibt es dieses Thema Not especially famous long open problems which anyone can understand.
Also nicht besonders berühmte, aber schon lange offene Fragen,
die jeder Mensch verstehen kann.
Und da ist das auf Platz 1 oder 2. Also es ist ja immer so wie so ein Ranking.
Ah, richtig. Da war es Moving Sofa Problem auf Platz 2.
Direkt darunter war eine Frage, die mich jetzt als diskret orientierten Mathematiker
sofort angesprochen hat, ist, wenn du die Binomialkoeffizienten nimmst,
kennst du das Pascal'sche Dreieck, Binomialkoeffizienten?
wie oft kann da eine Zahl vorkommen als Wert von dem Binomialkuffizien?
An den Seiten stehen immer Einsen, also es kommen unendlich viele Einsen vor.
Aber wie viele Zweien kommen eigentlich vor? Und wie viele Dreien kommen vor?
Und wie viele Vieren kommen vor?
Und der höchste Wert, den eine Zahl vorkommen kann, der bisher bekannt ist, ist 8.
Und zwar die Zahl 3003, die kommt 8 mal im Pascal'schen Dreieck vor.
Und es ist keine Zahl bekannt, die 5 mal vorkommt, keine Zahl bekannt,
die siebenmal vorkommt und keine Zahl bekannt, die mehr als achtmal vorkommt.
Aber es gibt eben diese eine Zahl, die achtmal vorkommt. Und es ist auch ein
offenes Problem, zu bestimmen, was die höchste Anzahl von Werten,
höchste Anzahl von Binomial-Koeffizienten ist, die den gleichen Wert haben können.
Und warum sollte jetzt 3003,
der Gewinner sein.
Warum 3003? Warum nicht 3004?
Claudia Frick
Ja, es klingt wild. Aber 3003 ist ja eine schöne Zahl, aber das kann ja nicht die Begründung sein.
Thomas Kahle
Also für die, die es wissen wollen, 3003 ist 3003 über 1, natürlich ist es auch
78 über 2, 15 über 5 und 14 über 6.
Und dann die reziproken Minimalkoeffizienten kommt man auf 8.
Ja, also das ist auch das nächste Problem, was Herr Baig sich aneignen kann.
Ich weiß nicht, ob er jetzt nochmal Career switchen will oder ob er jetzt seine
Karriere auf dem Moving Sofa Problem und Verallgemeinerung davon aufbauen will.
Claudia Frick
Ja, und dann melde ich mich in zwei Jahren, wenn es auf der nächsten Social
Media Plattform irgendjemand erklärt, das nächste Paper von Herrn Baig.
Thomas Kahle
Ja, es ist natürlich auch so eine Herausforderung. Was macht man danach,
wenn man so früh einen Durchbruch hatte? es ist wie wenn man mit seinem ersten
Roman einen Bestseller schreibt und was kommt dann danach?
Claudia Frick
Oh Gott, ja, gute Frage.
Thomas Kahle
Ich glaube, die besten Romane gehen darum, gehen um dieses Problem.
Was macht man danach? Was ist der zweite Roman? Das ist eigentlich immer ein guter Plot.
Claudia Frick
Was ist der zweite Roman? Da hat man ein Problem, ja.
Thomas Kahle
Also könnte man mal einen Roman schreiben über das zweite Paper.
Der Roman heißt das zweite Millennium Problem oder so.
Claudia Frick
Ja, ja.
Thomas Kahle
Meine Güte.
Claudia Frick
Aber das ist ja auch noch so ein Punkt, dieses Moving Sofa Problem kommt ja
nicht nur bei Friends vor, sondern tatsächlich auch noch in Büchern.
Thomas Kahle
Ja, genau. Das hatten wir dann auf Wikipedia entdeckt, dass es von Douglas Adams,
eben der elektrische Mönch, also Dirk Gently's Holistic Detective Agency,
heißt das glaube ich auf Englisch, vorkommt.
Und ich habe dieses Buch gelesen, als ich, keine Ahnung, im Studio, als ich 20 war oder so.
Und ich habe mich nicht mehr daran erinnert. Ich hatte keine Erinnerung.
Claudia Frick
Dass da ein Sofa drin vorkam.
Thomas Kahle
Ich finde das schockierend. Also ich habe ein paar Erinnerungen an,
natürlich per Anhalter durch die Galaxis.
Also zum Beispiel diesen Alma nach, der erklärt, wie die Grammatik beim Zeitreisen funktioniert.
Und der irgendwie, wo sie dann alle Seiten leer gelassen haben,
weil die sowieso keiner versteht.
haben sie dieses 1000 Seiten Buch, aber nur die ersten 32 waren bedruckt oder so.
Aber dieses Dirk Gently habe ich mich eigentlich überhaupt nicht mehr daran
erinnert und dann habe ich es mir nochmal gekauft und lese es gerade wieder.
Ich bin erst so ungefähr bei der Hälfte. Aber es ist wirklich gut.
Also ich bin begeistert. Ich habe nicht das Gefühl, dass ich es schon mal gelesen habe.
Aber es ist wirklich klasse. Und ich habe mir auch die Stelle rausgeschrieben.
Claudia Frick
Es ist wirklich herausfordernd, übrigens zu lesen. Ich habe es mir angehört.
Und es ist erstaunlich, wie oft,
dieses Sofa darin vorkommt. Deswegen war ich so ganz, ich hab dir dann irgendwann
geschrieben, du kannst dich da wirklich nicht dran erinnern,
weil es so ein zentraler Punkt ist.
Thomas Kahle
Ich konnte mich an nichts erinnern. Also, ich weiß noch, dieses,
also dieser eine Plot, also dieser elektrische Mönch, der ist quasi wie so,
der wird mit so einem Videorekorder verglichen.
Also der Videorekorder ist eine Maschine, die für dich Fernsehen guckt, wenn du keine Zeit hast.
Und der elektrische Mönch, der ist eine Maschine, die für dich Dinge glaubt,
wenn du keine Zeit hast oder irgendwas anderes zu tun, weil jetzt kannst du
nicht an irgendwas glauben.
Und irgendwie, das kam mir noch bekannt vor, aber...
Claudia Frick
Der ganze Hauptteil, der ansonsten drin vorkommt?
Thomas Kahle
Nee, das geht ja auch um Softwareentwicklung. Also es geht ja auch so viel um
Computerprogramme und Entwicklung von Office-Software.
Claudia Frick
Stimmt, und dann dreht sich das Sofa immer auf dem Bildschirm her.
Thomas Kahle
Ja, also der eine Charakter hatte so eine 3D-Modellierung gemacht und es kommt trotzdem nicht raus.
Also ein Sofa steckt fest. Der Hauptcharakter hat genau das Problem.
Er hat sich das Sofa liefern lassen.
und diese Lieferleute, die haben das irgendwie so versucht hochzubringen,
dann sind sie nicht weitergekommen und dann haben sie es versucht zurückzunehmen
und dann sind sie auch nicht weitergekommen und jetzt steckt es da und dann
sagt sein Kumpel irgendwie I've certainly never come across any irreversible
mathematics involving sofas could be a new field,
have you spoken to any spatial geometricians,
und der andere sagt, ja ich hab eigentlich was viel besseres gemacht ich hab
dieses Nachbarkind gefragt, das konnte,
früher mal den Rubik's Würfel in 17 Sekunden lösen Der hat sich jetzt eine Stunde
angestarrt, aber dann kam man darauf, dass es für immer feststeckt und jetzt ist es nur für Mädels.
Claudia Frick
Aber das ist halt, also ich fand es schon, es war wirklich toll.
Das Buch ist ja von 1987, also das war quasi so, ist schon einiges her, es ist so,
näher dran an der Entdeckung des Problems, also an der Frage,
als jetzt an unserer Lösung.
Und dann kommt die Friends-Folge, die ja Jahre später, Jahrzehnte später gedreht wurde.
Und interessanterweise enden beide Sofas aber auf eine sehr ähnliche Weise.
Also bei Friends wird es einfach in der Mitte durchgesägt, Problem gelöst,
dann hat man so zwei quadratische Einheits-Couch-Teile.
Und bei Douglas Animals bleibt dann einfach nur ein Häufchen Sägespäne übrig.
Was damit genauer passiert ist, ob es kleiner geworden ist als halb,
weiß es nicht, aber auf jeden Fall sehr gesperrner.
Gut, hätte man vorher mal geguckt, ob die Fläche größer ist als Gervers Sofa,
dann hätte man wissen können, dass das nicht funktioniert. Ja, gut.
Thomas Kahle
Man sollte es irgendwie vorher planen. Also beim Umzug, Planung ist alles,
sag ich schon. Bevor ich Sofas umgezogen habe, wusste ich schon.
Claudia Frick
Erst mal einen Mathematikerin kontaktieren und noch mal ganz kurz klären,
ob alles gut gehen wird mit diesem Umzug.
Thomas Kahle
Ja, wir sind praktisch ein Problem und Mathematik ist ja immer so eine Sache.
Da hat man am Ende doch ein 3D-Sofa.
So apropos 3D-Sofa. Auf Math Overflow oder auf einer dieser verbundenen Webseiten
habe ich dann auch noch sozusagen das 3D-Problem entdeckt.
Also das 3D-Problem ist natürlich nicht, du gehst um einen dreidimensionalen
Korridor, der einmal rechts um die Ecke geht, sondern der Korridor geht erst
rechts um die Ecke und dann knickt er gerade nach oben ab,
und geht dann auf einer oberen Etage weiter.
Also das Ding muss einmal rechts um die Ecke und wenn es rechts um die Ecke
ist, dann muss es nach oben abbiegen und nachdem es nach oben abgebogen ist,
muss es wieder nach gerade sozusagen wieder in die gleiche Richtung abbiegen.
Und wenn man will, kann man es dann auch nochmal links abbiegen lassen.
Also in jede Richtung einmal, also einmal rechts abbiegen, einmal links abbiegen,
einmal nach oben abbiegen und einmal wieder nach unten, also in die horizontale abbiegen.
Claudia Frick
Oh Gott, die Zerlegung des realen Problems in die vielen kleinen mathematischen
Schritte in Idealform, wunderschön.
Aber Ross hatte eine Skizze. Der Charakter aus Friends hatte eine Skizze.
Ich hätte die gerne mal gesehen, weil laut der hätte es funktionieren müssen.
Thomas Kahle
Denkst du, die wussten von diesem Problem? Oder ist es einfach nur sozusagen
so, man kommt einfach auf diese Idee, einen so versteckt fest,
weil jeder das schon mal irgendwie, schon mal kurz vor diesem Problem war oder
so eine Situation erlebt hat?
Claudia Frick
Ich weiß es nicht, aber bei beidem. Also weder bei Douglas Adams noch bei Friends
weiß man, also wüsste ich es jetzt.
Also ich glaube schon, dass man vielleicht davon mal gehört hat,
aber ich glaube nicht, dass die das jetzt...
mit Absicht, es kommt ja so drauf.
Thomas Kahle
Es gibt einfach diese Grundwahrheit. Wahrscheinlich ist es so,
sowohl das mathematische Problem als auch die Friends-Folge,
als auch die Szene in Holistic Detective Agency kommen alle von einfach der Lebensrealität her.
Das ist einfach, die Menschheit beschäftigt sich mit den Dingen,
die in dem täglichen Leben passieren.
Claudia Frick
Ja, und bietet auch Lösungen an. Also bei der Recherche nach dem Thema bin ich
auch auf eine Firma gestoßen, die tatsächlich, wenn sowas passiert,
einfach kommt und den Stoff vom Sofa abzieht und dann so ein bisschen was raussägt.
Thomas Kahle
Minimal, minimal invasiv das Problem löst, meinst du?
Claudia Frick
Genau, genau. Und dann so Verein bringt und dann wieder zusammenbaut.
Also das ist ein Firmenkonzept. Also man kann darauf auch ein Geschäft machen, wenn man möchte.
Thomas Kahle
Das ist cool. Apropos Geschäft, jetzt müsste es doch eigentlich das geben, das Sofa.
Also jetzt wissen wir ja, das optimale Sofa. Also jetzt müsste sich natürlich
eine Möbelfirma darauf spezialisieren, Mathematikerinnen und Mathematikerin
dieses Sofa zu verkaufen, oder?
Claudia Frick
Absolut, oder? Ich meine, wie gut wäre das, wenn man das so in ein Foyer von
so einem Mathe-Institut stellt.
Thomas Kahle
Oh, das wär's.
Claudia Frick
Also, come on. Ja, also ich, ähm.
Thomas Kahle
Das ist der ultimative Fanartikel.
Claudia Frick
Absolut. Ja, und ich hätt das auch gerne in klein. Also ich hätt das gerne so
als Druck, also, ne, wirklich noch für den 3D-Drucker zu Hause und so.
Thomas Kahle
Na gut, diese 3D-Druckdatei, die such ich mal raus. Also die gibt's ja auf der Homepage.
Claudia Frick
Ja, genau, die musst du mal, musst du auch mitliefern.
Thomas Kahle
Genau.
Claudia Frick
Und dann baue ich mir eine Einheitsbreiten-Flur.
Thomas Kahle
Aber ob das dann bequem ist? Also, wie ist das? Man hat sozusagen,
eigentlich ist es so für zwei Personen ideal, ja?
Also das hat ja in der Mitte diese Beule und dann können die so sitzen und sich unterhalten.
Claudia Frick
Ja, ich glaube, das ist ein Zweiersofa, mehr geht nicht, ja.
Gut. Ja, gut. Guck mal, was man so alles findet im Internet und dann steckt
dahinter so ein wahnsinnig krasses Problem mit so einer wunderschönen Lösung. Andersrum, ne?
Thomas Kahle
Das Internet kann so schön sein. Warum kann es nicht immer so schön sein?
Claudia Frick
Ja, das wäre, ach, ja. Ja, gute andere Frage.
Thomas Kahle
Gut, also wir verlinken ganz viele Sachen und dann danke ich dir sehr schön.
Also vielen Dank, dass du mir dieses TikTok geschickt hast und das auch alles
heute nochmal mit besprochen hast.
Claudia Frick
Sehr gerne. Ich werde weiterhin dafür sorgen, ab und an dir mal was zu schicken,
wenn mir was über die Wege läuft.
Thomas Kahle
Bis zum nächsten interessanten mathematischen Problem. Mach's gut.
Claudia Frick
Bis dann. Tschüss.