EIG062 Mathe evolviert

Thomas Kahle

In dieser Folge werfen wir einen Blick auf AlphaEvolve, eine ausgefeilte Optimierungssoftware, die von Google DeepMind letztes Jahr vorgestellt wurde. Damit kann man, wie früher beim genetic programming Programme evolvieren. Das Ziel hierbei ist aber nicht die Ausführungszeit, sondern, dass ein möglichst gutes mathematische Objekte vom Programm ausgegeben wird. Damit konnten verschiedene mathematische Konstruktionen wie z.B. eine untere Schranke für die 11-dimensionale Kissing number verbessert werden.

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Fediverse-Reaktionen

Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)

So, hallo zusammen. Ich begrüße euch beim Eigenraum.

Wir sind bei Folge 62 angekommen und sind jetzt mal wieder hier auf Sendung.

Es ist Mai 2026, schon eher Richtung Ende Mai. Sorry, sorry,

war schon wieder ziemlich lang keine Folge.

Aber ihr kennt ja vielleicht unsere neue Tagline, die ich jetzt auf Social Media

verbreite. Also Eigenraum hat mehrmals jährlich neue Folgen.

Und mehrmals jährlich neue Folgen, das kann ich wenigstens liefern.

So, heute geht es mal wieder um KI und Computer.

Und da passiert ja immer einiges. Also will ich mich dem Thema auch nochmal

wieder annehmen, auch wenn es schwierig ist.

Und man ja immer so ein bisschen das Problem hat, dass man der Aktualität ziemlich

schnell hinterher rennt.

Am 20.05.2026 hat OpenAI zum Beispiel verkündet, dass sie ein Millennium-Problem gelöst haben.

Nee, haben sie nicht. So ganz krass

war es doch noch nicht. Es war das Unit-Distance-Problem von Erdösch.

Das war aber auch schon 80 Jahre offen. Und da haben schon einige Leute dran gearbeitet.

Und darum soll es aber heute hier nicht gehen.

Ich hatte ehrlich gesagt von dem Problem vorher noch nie was gehört.

Aber als Timothy Gowers, ein Fields-Millenist, ist zum Beispiel ziemlich komisch.

Begeistert. Bei solchen Ankündigungen bin ich ja immer etwas vorsichtig,

weil letztendlich sind das auch immer Werbekampagnen, wo die Logik irgendwie so sein soll,

ja, wenn die KI jetzt dies und das Mathe-Problem lösen kann,

dann kann sie bestimmt auch XYZ, so ein Übersprungsgedanke, auch irgendwie ganz

viele andere Sachen und damit wird Mathe dann so zum Werbemaskottchen,

weil die Firmen dann ganz viel Geld damit verdienen wollen und alle ihre Aktien

kaufen sollen und die brauchen jetzt ganz viel Geld.

Und später machen sie dann bestimmt auch mal irgendwie Gewinn.

Das soll man sich dann alles denken, nur weil sie jetzt ein Mathe-Problem gelöst haben.

Ganz ehrlich und versprochen wird das bestimmt irgendwann profitabel werden.

Naja, das ist ja kein Finanzpodcast und keine Anlageberatung.

Deswegen hört auf keinen Fall auf mich in solchen Finanzthemen.

Trotzdem kommt man irgendwie um das Thema KI gar nicht drum rum.

Also die KI-Firmen haben sich jetzt Mathe ausgesucht, um ihre Werbekampagnen zu machen.

Und das hat ja auch Auswirkungen auf Mathematik, Weil jetzt auf einmal lauter Sachen passieren hier.

Zum Beispiel gab es ja im Februar des Jahres dieses First Proof Experiment,

da muss ich vielleicht auch nochmal ein bisschen drauf zurückkommen,

in Folge 59 wurde davon berichtet,

zehn Mathematikerinnen und Mathematiker der ersten Güteklasse,

wenn ich das mal so sagen darf,

haben ja da ihre offenen Probleme oder zumindest offene Probleme,

die sie in ihrer Forschung hatten, formuliert und mit den dazugehörigen Beweisen veröffentlicht.

Aber die Beweise verschlüsselt für eine Woche lang und in der Woche durfte dann

jeder seine Lösung einschicken mit KI,

so wie die Enhanced Games, also jedes Doping war erlaubt und nach dieser Woche

wurden dann die Schlüssel veröffentlicht und dann konnte man sehen,

wer jetzt was rausbekommen hatte.

Da gab es noch einen Zulip-Chat, den habe ich auch ein bisschen mitverfolgt,

aber ja, war eben recht unübersichtlich.

Viele der Diskussionen passieren ja auch irgendwie weiterhin in dem Höllenloch

X, was ich auch irgendwie erstaunlich finde.

Naja, 2012, also das ist ja noch gar nicht so lange her, da gab es noch diesen

Cost of Knowledge Boykott, der auch von der Mathematik ausging,

wo der wissenschaftliche Verlag Elsevier wegen zu hoher Abogebühren irgendwie

komplett boykottiert wurde.

Neutzutage kann man nicht mal den Schritt machen, seine Inhalte nicht auf der

Plattform zu betreiben, wo die Chefs oder der Besitzer jede noch so kleine Gelegenheit

nutzt, um irgendwie eine Referenz auf Hitlers Geburtstag einzubauen. Naja, okay.

So, zurück zu First Proof. Es gab Einreichungen, es gab Einreichungen von allen

möglichen KI-Firmen, auch von OpenAI und irgendwie hieß es dann zwischendurch

mal so, sie hätten so sechs von zehn Problemen gelöst.

Und da wurde aber dann so ein typisches Problem mit diesen KI-Outputs klar,

niemand will sich das ja durchlesen.

Also diese KI-Texte, die da rauskommen, also bei diesem First Proof Experiment

ging es ja darum, so wie Paper zu schreiben, dass die KI ein Paper schreibt,

das dann Menschen lesen sollen, dass es in einem Journal erscheinen konnte.

Aber die KI ist ja immer super überzeugend in ihren Aussagen und eigentlich

so der beste Lügner, den es gibt, wenn sie denn lügt.

Und dann wurde da schnell dieser euphemistische Begriff des Reviewing Bottlenecks

eingeführt. Also es ist ja jetzt super leicht, Zeug zu produzieren und niemand

will sich das dann durchlesen.

Also tausende Einsendungen von irgendwelchen anonymen Internetaccounts bis OpenAI.

Und die Originalautoren der Probleme hatten ja auch schon gesagt,

dass sie das nicht prüfen wollen.

Also wir wussten das natürlich schon vorher, dass sie da jetzt nicht ihren Namen

hergeben wollen, dafür zu sagen, ich habe mir das jetzt durchgelesen.

Und ich stehe jetzt mit meinem Namen dafür gerade, dass das jetzt korrekt ist.

So ein Dokument, was aus der KI gekommen ist, die halt einfach super überzeugend

und vielleicht geschickt da irgendwelche Fehler einbauen kann,

sodass man sie nicht findet.

Ja, so richtig haben wir uns das überhaupt noch nicht überlegt,

was wir als Gesellschaft mit Mathematik machen, die korrekt ist,

ausgegangen davon, sie könnte korrekt sein oder sie ist korrekt,

aber furchtbar aufgeschrieben.

Also in den letzten Wochen gibt es da einige Diskussionen dazu so im Internet,

also Terry Tao, der Feeds-Metalist, der ja auch auf Social Media ziemlich aktiv

ist, auf Mastodon übrigens, hat

in den letzten Wochen da so eine Analogie entwickelt und zwar mit Essen.

Er sieht da so eine Zeitenwende hin von einer Kultur, in der die Beweise super

schwer zu finden sind, zu einer, in der die Beweise einfach im Überfluss vorhanden sind.

Und das vergleicht ja mit der Schwierigkeit der Nahrungsbeschaffung in der Steinzeit.

Also in der Steinzeit war es super schwer, was zu essen zu finden.

Alles, was man Essbares gefunden hat, hat man sich sofort reingeschoben, egal wie es schmeckt.

Und in der Neuzeit, zumindest in unserer westlichen Welt, haben wir einfach

einen Überfluss an Essen und an Auswahl.

Und deswegen gibt es irgendwie die feine Küche und YouTube-Kochkanäle.

Und so wird es irgendwie für Mathematik vielleicht auch sein.

Also die Beweise, wir waren in so einer Jäger- und Sammlerzeit,

wo die Beweise zu irgendwelchen Aussagen kaum zu finden waren.

Und man könnte sich ja jetzt denken, dass wenn die Beweise im Überfluss einfach

durch die Maschine erzeugt werden können, dass es dann darauf ankommt,

dass wir die zubereiten, dass wir die so für die menschliche Konsumtion irgendwie

schön machen und das ist dann der Bottleneck.

Also heutzutage ist irgendwie was Essbares zu finden, ist in unserer Gesellschaft

nicht so schwer, aber was, was gut schmeckt zu finden, das ist eben das Schwierige.

Das ist vielleicht jetzt eine goldene Zeit für den Eigenraum,

dachte ich dann gleich, weil eigentlich bin ich ja so eine Art Kochsendung für Mathe.

Ich bereite das ja für euch zu,

die Mathematik, sodass ihr die so quasi ohrgerecht präsentiert bekommt.

Okay, so, dann ist natürlich auch bei First Proof war es ja auch so,

dass die Lösungen autonom sein sollen.

Also das stellte sich dann auch raus, dass man irgendwie dieses,

was ist hier autonom und was hat die KI gemacht und was hat der Mensch gemacht,

dass man das auch nicht trennscharf irgendwie auseinanderbehalten bekommt.

Weil ja schon an diesen Prompts, da steckt ja schon der menschliche Text drin.

Also das ist ja zum Teil sensitiv dazu, wie man das Problem formuliert und dann

macht man 20 Mal das Problem,

steckt man da rein oder wenn eine Lösung rauskommt, dann ist vielleicht ein

Mensch, der die verschiedenen Lösungen vergleicht und dann die beste raussucht

und nur die sieht man in dem Submission zu First Proof.

Und also autonom ist das, glaube ich, auch noch nicht wirklich.

Überhaupt, das ist ja so ein generelles Problem bei Benchmarks.

Also immer, wenn man die LLMs testen will, da hat man ja immer einen Prompt.

Und der Prompt, der ist irgendwie konstruiert mit einem Kontext.

Und in diesem Kontext steckt ja schon die ganze Vorbereitung, das Kochen sozusagen,

steckt ja da in dem Kontext schon drin, also das ist ja schon vorbereitet,

als wenn man jetzt sozusagen so, manchmal wenn ich mit meinen Kindern koche,

dann suche ich ja auch genau den Arbeitsschritt heraus, den das Kind jetzt machen kann,

um sich da super einzubringen in den Kochprozess.

Das heißt, ich schäle die Möhren und dann schneide das Kind in dicke Scheiben

und später schneide ich nochmal die dicken Scheiben in dünne Scheiben.

Und dann hat man dünne Möhrenscheiben, die man braucht oder so.

Aber das halt eben für Mathe.

Also irgendwie ist die Mathematik aber auch so ein bisschen in ihrer eigenen

Überheblichkeit gefangen, dass jede mathematische Forschung immer irgendwie

so ein Geistesblitz ist und vielleicht ist die KI auch so gut, weil sie diese Sachen,

die nicht so Geistesblitze sind, wie gründliches Recherchieren,

Abwandeln von existierenden Methoden auf eine neue Situation,

solche Sachen irgendwie automatisiert.

Also ich sehe da auch irgendwie eine Chance drin, dass wir vielleicht so die

langweiligen Teile der Mathematik so ein bisschen auslagern können.

Ja, ich denke da immer so an so Fallunterscheidungen mit 17 Fällen,

wo man in dem Beweis klassischerweise immer geschrieben hätte,

ja, ich mache jetzt mal die ersten zwei und die anderen, die gehen bestimmt genauso.

Und dann kann die KI vielleicht die anderen Fälle ausarbeiten,

weil die ja dann irgendwie so genauso gehen.

Aber irgendwie müssen wir mit der Mathematik wahrscheinlich auch ehrlich zu uns sein.

Es gibt einfach auch viel mathematische Forschungsarbeit, die gar kein Geistesblitz

ist, sondern einfach harte Arbeit.

Techniken auf eine neue Situation anwenden, verschiedene Sachen ausprobieren

und so weiter. Und das hat man ja schon immer mit dem Computer automatisiert.

Also das ist vielleicht nur der nächste Schritt in dieser Automatisierung von langweiligen Sachen.

Nur, dass diese Automatisierung sich jetzt auch Texte durchliest und umformuliert

und dadurch irgendwie super überzeugend ist und einen auch reinlegen kann, was ein bisschen nervt.

Also mit diesem ganzen LLM-Anwenden auf Mathematik, ich sehe da auch irgendwie eine positive Zukunft.

Also wenn man das Programmieren, ist ja dem Mathemachen in gewisser Weise ähnlich,

diese Analogie habe ich ja hier auch schon betrieben,

in dem Sinne, dass Mathematik ja auch in so einer formalisierten Sprache wie

eine Programmiersprache aufgeschrieben wird.

Und es gibt die zwei großen KI-Firmen Anthropic und OpenAI.

Und Anthropic konzentriert sich irgendwie so aufs Programmieren und OpenAI anscheinend

so ein bisschen auf Mathematik.

Und das sind genau die zwei Gebiete, wo die KI irgendwie, ja,

zumindest Achtungserfolge erzielt. Und, naja, das Programmieren ist vielleicht

sogar schon ein bisschen weiter, hat sich schon sehr stark verändert durch die Existenz von KI.

Okay, kann man jetzt auch viel drüber reden, aber zumindest einen positiven

Aspekt, den man jetzt auch sehen kann, also wenn ich jetzt ein Python-Programm

heutzutage schreiben will,

dann ist es ja auch irgendwie letztendlich Recherche von Gazillionen von Paketen,

weil irgendwie gibt es immer ein Python-Paket, was das, was ich machen will,

irgendwie schon super cool implementiert hat.

Und ja, viel Programmieren ist

heutzutage eben auch Recherchieren von irgendwelchen Frameworks und APIs.

Und vielleicht ist es in der Mathematik auch ein bisschen so.

Man arbeitet in diesen riesigen Frameworks, in diesem ganzen,

man steht auf der Schulter der Giganten der Vergangenheit.

Und viel der Arbeit ist eben das Verstehen und das Recherchieren in diesen Frameworks

und APIs der Mathematik, also den Interfaces.

Wie benutzt man Methoden? Ja, vielleicht kann man das ein bisschen automatisieren

und sich dann wirklich auf die Kernalgorithmen oder die Kernideen konzentrieren.

Natürlich kann man auch Mist machen und sich selbst in den Fuß schießen,

aber wer es wirklich einfach wissen will,

der muss halt eben das ausprobieren und naja, das mache ich auch,

aber eigentlich gilt das gleiche wie immer, die Technologie beschleunigt und

empowert uns Menschen und es ist jetzt unsere Aufgabe, irgendwas Gutes daraus zu machen.

So, in meiner Geschichte, die ich euch heute erzählen will, kommen LLMs zwar

auch vor, aber eigentlich so ein bisschen eher am Rande.

Also eine gute Sache, die mit LLMs gemacht wurde, aber auch mit vielen guten

menschlichen Einfällen, ist dieses Programm Alpha Evolve, was von Google diesmal erfunden wurde.

Genauer gesagt von DeepMind, so einer KI-Forschungsabteilung von Google.

Und es geht um das Paper Mathematical Exploration and Discovery at Scale.

Das ist im November 2025 auf dem Archive erschienen.

Meiner Kenntnis nach ist das noch nicht veröffentlicht, jetzt im Mai.

Ich weiß auch nicht, wo das eingereicht wurde, wenn überhaupt.

Und die Autoren dieses Papers sind Bogdan Georgiev und Adam Wagner von DeepMind

Und Javier Gomez-Serrano und Terry Tao, also zwei akademische Mathematiker 50-50,

Academia und Business haben sich zusammengetan und meiner Einschätzung nach

haben sie in dem Paper so eine Art Aufwärmen der klassischen Idee des Genetic Programming gemacht.

Genetic Programming ist eine alte, aber irgendwie finde ich ziemlich faszinierende

Idee. Also das erste Mal davon gehört habe, dachte ich, wow, das klingt echt super.

Man bringt da irgendwie Computerprogramme und Evolution zusammen.

Es geht zurück auf einen Forscher in Stanford Anfang der 1990er Jahre, John Cosa.

Und sein Standardwerk ist so ein Buch, das heißt Genetic Programming und das ist 1992 erschienen.

Im Prinzip hatte solche Ideen aber auch schon Alan Turing und das taucht in

der Literatur immer mal wieder auf.

In den 90ern wurde es dann irgendwie richtig groß.

Und zwar ging es da auch um Lisp, die Programmiersprache mit den vielen Klammern.

Also Lisp ist so eine funktionale Programmiersprache und es war eigentlich die

Programmiersprache der KI in der frühen Zeit. Also bevor KI,

jetzt haben wir ja diese große KI-Welle, aber es gab davor auch schon KI-Wellen

in den 90ern zum Beispiel.

Und mir als altem Emacs-Fan geht dann natürlich das Herz auf,

wenn ich höre, dass es hier um Lisp ging. Okay, also es war jedenfalls die Programmiersprache

der künstlichen Intelligenz, in der man sowas, Genetic Programming zum Beispiel, implementiert hat.

Und bei diesem genetischen Programmieren geht es darum, Programme irgendwie

besser zu machen mit Prinzipien der Evolution.

Also man hat irgendein Problem, das man lösen will und vielleicht hat man schon

verschiedene Implementierungen des gleichen Algorithmus oder sogar verschiedene

Algorithmen für ein Problem.

Und dann braucht man noch irgendwie eine Bewertung, wie gut verschiedene Programme sind.

Aber das hat man ja meistens, wenn man irgendwie Programme vergleichen will,

weiß man ja, welches besser ist, also irgendwo bewertet man das.

Das könnte zum Beispiel einfach die Laufzeit sein. Also man will ein schnelleres Programm finden.

Und natürlich, ob das Programm korrekt ist.

Und in Anlehnung an die Evolution, da nimmt man jetzt einfach alle Begriffe

aus der Evolution, nennt man das die Fitness des Programms.

Und was man jetzt macht, ist das, was die Evolution macht, man macht einfach

kleine zufällige Veränderungen an seiner Population von Programmen.

Und rekombiniert irgendwie so Programmstückchen, die man schon hatte,

um fittere, also bessere Programme zu erzeugen.

Und manchmal baut man auch einfach so zufällige Mutationen ein oder nimmt irgendwie

so Stücken aus so einer Bibliothek, die man irgendwie noch einbauen kann.

Das klingt also irgendwie ziemlich crazy, weil, also wenn ihr schon mal programmiert

habt mit Hand, also jetzt nicht mit Cloud-Code oder so, sondern einfach mit

Hand, so mit Programmtext eingeben, ist ja die erste Erfahrung,

die man immer macht, man hat irgendwie eine Klammer vergessen oder ein Semikolon

vergessen oder die Einrückung stimmt nicht, dann hat man einen Syntax-Fehler.

Also wenn man so einen Source-Code von einem Programm einfach an einer Stelle

abändert, dann ist es ja normalerweise kein gültiges Programm mehr.

Aber das kann man schon irgendwie so hinklöppeln, indem man diese Veränderung

jetzt nicht so auf so Einzelzeichenebene macht, sondern wie so kleine Programmbausteine,

einzelne Module oder Funktionen ausbaut.

Da hat man sowas, was so ähnlich wie biologische Evolution funktionieren könnte

und in den 90ern und 2000ern hat man damit einige interessante Sachen gemacht.

Ein Projekt, was ungefähr 2009 ziemlich bekannt wurde, ist das Eureka-System

von Schmidt und Lebsen, das aus den Bewegungsdaten eines Pendels.

Selbstständig physikalische Gesetze oder genauer gesagt Erhaltungsgrößen,

wie zum Beispiel die Energie rausdestilliert, also irgendwie gelernt hat.

Eureka war eines dieser, also Eureka ist so, das steht für Heureka,

Heureka, dieser Ausruf, weiß gar nicht woher, der kommt wahrscheinlich irgendwie

aus dem Griechischen oder so, den man macht, wenn man so einen wissenschaftlichen Einblick hat.

Okay, und das war so, das wurde damals dann gleich so als Machine Scientist

bezeichnet. Also sowas wie automatisierte Forschung.

Und das haben sie dann in der Seitschrift Science veröffentlicht.

Und da gab es dann dieses Paper Distilling Free Form Natural Laws from Experimental Data.

Also das Destillieren von Freiform Naturgesetzen aus experimenteller Daten.

Und die Idee war damals schon so eine Art Modellierung ohne Modell.

Also man versucht so ein Naturgesetz zu finden, ohne vorher eine Modellklasse

vorzugeben, in der gefittet werden soll.

Also man sagt jetzt nicht, das Gravitationsgesetz soll irgendwie eine quadratische

Funktion sein, das weiß ich schon, habe ich mir schon überlegt,

dass eine quadratische Funktion gut wäre und ich will jetzt die Parameter bestimmen,

sondern man lässt sozusagen völlig frei, was es für eine Funktion ist.

So ganz frei ist es auch nicht, aber sagen wir mal so.

Und man sucht nach der kompletten symbolischen Gleichung, die irgendwie die Daten erklärt.

Und gibt die Struktur nicht vor. Dieses System darf also irgendwie aus variablen,

konstanten Operationen, Plus, Mal, Sinus, Cosinus, was auch immer es sich einfallen

lassen kann, darf es evolutionär nach einem Kandidaten suchen.

Und die Formel, die da rauskommt, die wird dann als physikalische Theorie interpretiert.

Dann wird das alles so komplett mit Bedeutung aufgeladen und schon hat man ein Science Paper.

So, als Fitness oder Bewertung gibt es aber hier zwei konkurrierende Ziele.

Das erste ist natürlich, dass die Daten gut erklärt werden sollen.

Also ein System, was die Physik erklärt, soll ja jetzt die Daten erklären.

Das zweite Prinzip, was aber auch sehr wichtig ist und was auch Menschen anwenden,

wenn sie zum Beispiel physikalische Gesetzmäßigkeiten finden wollen,

ist, dass sie eine möglichst einfache Formel haben. Das ist dieses Prinzip des Occam's Razor.

Also wenn wir verschiedene Erklärungen haben, die das gleiche erklären,

dann wollen wir lieber die einfachere nehmen. Und das ist in dieses maschinelle

Lernen, wenn ich das mal so sagen will, einfach immer eingebaut.

Also man hat immer das Problem, dass beim Fitting, wenn man irgendwas an Daten

anpasst, hat man auch immer ein Overfitting.

Overfitting heißt, das System ist so mächtig, dass es die Daten einfach abspeichern

kann und dem Fitting gegenüber steht die Generalisierung,

also man muss immer so einen Gegendruck entwickeln gegen das Anpassen der Daten,

dass man auch das System so trainiert, dass es dann auch auf neue Daten angewendet werden kann,

also auf neue Erkenntnisse produzieren

kann und nicht nur genau die Daten abspeichern und reproduziert.

Ohne diesen Einfachheitsdruck würde das System einfach nur super komplizierte

Ausdrücke erzeugen, die die Messwerte interpolieren.

Kann man sich ja vorstellen, wenn man bediebig komplizierte Formeln hat,

kann man die halt eben sehr gut an die Messwerte anpassen.

Okay, und die Idee war jetzt, dass sie nicht nur nach den Gleichungen suchen,

sondern nach Invarianten, also irgendwelchen Ausdrücken, die entlang von diesen

physikalischen gemessenen Bewegungen konstant bleiben.

Und das ist eine Idee, die in der theoretischen Physik eigentlich sehr natürlich

ist. Also für ein Pendel zum Beispiel könnte man dann die Energieerhaltung finden.

Also beim Pendel wird da die ganze Zeit die kinetische Bewegungsenergie in die

potenzielle Energie umgewandelt, wenn das Pendel nach oben sich bewegt.

An seinem höchsten Punkt hat es dann seine gesamte Energie in potenzieller Energie

gespeichert und dann wird die potenzielle Energie wieder in kinetische Energie umgewandelt.

Am tiefsten Punkt ist es am schnellsten und hat keine potenzielle Energie mehr

oder keine, die jetzt hier wirksam wird.

Und dann wird die kinetische Energie wieder in potenzielle Energie umgewandelt auf dem Weg nach oben.

Und die Summe von kinetischer und potenzieller Energie, die bleibt gleich.

Die Energie wird immer nur umgewandelt, das ist eine Erhaltungsgröße.

Und dieses Eureka-System hatte eben solche Erhaltungsgrößen für physikalische

Systeme gefunden und das war dann ziemlich aufregend in der Zeit.

Also das reicht dann für eine Science-Veröffentlichung.

Übrigens, trotzdem kam damals niemand auf die Idee, das jetzt allgemeine künstliche

Intelligenz zu nennen oder zu sagen,

okay, das ist jetzt der entscheidende Baustelle und jetzt haben wir AGI in drei

Monaten und jetzt bitte hier mal eine Trilliarde Wagniskapital sofort zu mir.

Ein Naturgesetz ist eben auch keine wahre Physik, sondern es ist einfach ein

Ausdruck, ein Modell, der abstrahiert, was wir sehen und weitere Vorhersagen erlaubt.

Teil der theoretischen Physik ist also auch irgendwie so ein Fitting-Problem

oder ein Optimierungsproblem, nur eben über Ausdrücke oder mögliche Gesetze oder so.

In der konkreten Implementierung brauchte das System natürlich dann irgendwie

so ein Alphabet von Operationen, einen gut gestellten Suchraum,

also die Konstruktion davon war auch nicht ganz einfach.

Irgendwann ist dieses Genetic Programming auch wieder aus der Mode gekommen

und der Grund ist eigentlich nicht so überraschend, denn diese Zufallsmutation

ist eben auch sehr, sehr dumm und nicht sehr zielschrittrebig.

Also ja, wenn man in so einem Programm, habe ich ja vorhin schon gesagt,

wenn man da einfach nur so eine Variable umbenennt oder die Klammerung irgendwie

anders macht, jetzt immer nach jeder geschlossenen Klammer noch einen Zeilenumbruch einfügt.

Dann ändert sich an dem Programm nichts und man sucht irgendwie in so einem

riesigen Raum mit haufenweise Veränderungen, die eigentlich überhaupt nichts

machen und das skaliert eben nicht sehr gut.

Und außerdem haben sie dann noch so ein eigenartiges Phänomen entdeckt beim

Genetic Programming, das ist eigentlich auch ziemlich faszinierend,

dass die evolvierten Programme sowas wie so Junk-DNA entwickeln,

also so wie Teile des Programms, die eigentlich keine funktionale Wirkung haben.

Also stell dich mal vor, das Programm soll jetzt irgendwie so eine Funktion

finden, vielleicht einfach eine quadratische Funktion f von x gleich x² und

dann mutiert das da irgendwie so rum und evolviert und am Ende kommt es halt

irgendwie mit der optimalen Funktion raus,

f von x ist x², aber noch plus 0 mal Sinus x plus 0 mal x hoch 17 minus 0 mal 42.

Und diese restlichen, diese Nulltherme da, die haben ja überhaupt keine Wirkung

auf den Output, weil die ja mit Null modifiziert werden.

Der Sinn oder der Grund, dass solche Therme auftreten, ist, weil die diese Mutationen abfangen können.

Und deswegen haben die in diesem Genetic Programming diesen Code dann auch so,

so inaktiven Code in ihren Programmen auch so Introns genannt,

also wie im Genetic Code.

Und diese Introns, die sammeln sich an und die Programme werden immer riesiger,

ohne dabei besser zu werden.

Und das ist eben kein Zufall, sondern das ist so eine Art Schutzfunktion des Programms.

Also das Programm kann seine Fitness verbessern, indem es sozusagen mehr Mutationen

überlebt, weil wenn die Mutationen in diesem sinnlosen Code passieren,

wird die Fitness zumindest schon mal nicht schlechter.

Und das sind sozusagen die neutralen Regionen, große neutrale Regionen zu haben,

bietet eben Schutz gegen diesen Mutationsdruck.

Und die Selektion auf robuste Reproduktion, also auf zumindest nicht schlechter

werdende Fitness, bringt dann dadurch diese aufgeblähten und undurchsichtigen

Programme hervor und nicht kurze und verständliche Programme,

die man eigentlich haben will.

Das war also so ein Problem an dem Genetic Programming, warum das auch wieder aus der Mode kam.

So und jetzt kommen wir eben zu diesem Alpha Evolve von DeepMind.

Also jetzt machen wir den Sprung 20 Jahre oder fast 20 Jahre später nach Eureka

in die aktuelle Zeit 2025 und jetzt haben wir ja diese LLMs.

Und warum sollen wir, wenn wir LLMs haben, noch irgendwie zufällige Mutationen

machen, wenn wir ja auch intelligente, ich mache jetzt hier die Scarecodes in

der Luft, ihr könnt das nicht sehen,

aber wenn wir intelligente Mutationen mit LLMs machen können.

Also nennen wir es mal statistisch plausible Mutationen und Kombinationen.

Also als Mutationsoperator im Genetic Programming nehmen wir jetzt mal ein LLM

und sagen der Maschine, ja, hier guck dir mal diese fünf Programme an und mach

einfach daraus mal ein neues, was irgendwie besser sein soll.

Und dann machen wir irgendwelche Code-Vorschläge oder sagen wir mal total kreativ

und das verschiebt dann die Trefferquote,

weil man eben nicht mehr 99% der Rechenzeit auf irgendwelchen offensichtlichen

Unsinn verschwendet und die ganze restliche Pipeline drumherum,

also man hat seine Population von Programmen und Fitness und Selektion und sowas,

das kann man alles so lassen wie vor 35 Jahren.

Und das hört sich erstmal so an, als ob es für Programmieren ganz gut sein konnte.

Aber die Leute von DeepMind, die haben das eben jetzt auf Mathematik angewendet.

Auf Optimierungsprobleme und Konstruktionen in der Mathematik.

Und ein gutes Beispiel, das man sich mal vorstellen kann, ist dieses Moving-Sofa-Problem,

was wir ja in Folge 45 mit Claudia besprochen haben.

Da ging es ja darum, eine zweidimensionale Form zu konstruieren,

die möglichst großen Flächeninhalt hat, aber die man noch ohne Verformung um

so eine Ecke in dem Korridor bewegen kann.

Also dadurch kann die nicht zu lang sein, weil dann bleibt sie da stecken,

und nicht so dick, weil dann kommt es nicht um die Ecke oder passt gar nicht durch den Korridor.

Und also man hat so ein Optimierungsproblem, aber die größte Form finden,

die irgendwas löst, also die noch irgendwas erfüllt.

Und da würden DS mit ihrem neuen Ansatz, würden jetzt Computerprogramme evolvieren,

weil Genetic Programming arbeitet irgendwie mit Computerprogrammen,

Computerprogramme evolvieren, die solche Vorschlagsformen produzieren.

Okay, die genaue Formulierung des Problems ist auch immer noch ein bisschen

Teil des Problems, Teil der Mathematik, die man da machen muss,

aber erstmal kann man sich das so vorstellen.

Also man hat ein Programm, anstatt direkt die Datenstruktur zu lernen oder zu

evolvieren, weil die jedes Mal anders ist, arbeitet man immer mit Programmcode

und der Programmcode wird dann mit Genetic Programming evolviert,

daraufhin eine gute Konstruktion zu machen.

Man hat einfach jetzt noch so einen Schritt, dass man Source-Code für die Lösungsvorschläge einbaut.

Und das Ganze nennen sie Alpha Evolve. Also in ihrer Alpha-Reihe,

die ja da bei Google DeepMind entwickelt wurde, gab es ja AlphaGo,

AlphaTensor, AlphaFold und jetzt eben Alpha Evolve und gibt noch andere Alphas.

AlphaMath irgendwann. Und das ist so ein Framework. Es ist noch kein Open-Source-Tool,

aber es gibt Leute, die das nachgebaut haben.

Es gibt auch irgendwie ein Open-Evolve, das könnt ihr dann auf GitHub finden,

wo diese Ideen auch in Open-Source-Software implementiert wurden.

Und ja, so Offenheit, also DeepMind arbeitet manchmal mit Leuten zusammen,

aber so richtig Open Science ist es jetzt auch nicht gerade,

also irgendwie so frei drauf zugreifen kann man auf dieses System nicht,

man kann es nicht alleine ausführen mit seinem eigenen LLM und die Betriebskosten

sind nicht bekannt und man muss dann wahrscheinlich ein NDA unterschreiben,

wenn man mit denen arbeitet.

Aber wir haben eben ein Paper von denen und ihre Ergebnisse,

also irgendwelche Mathematiker-Notebooks oder so, die da noch eine Rolle gespielt

haben, haben sie auch veröffentlicht.

Also wie so ein Laborbuch haben sie auf Microsoft und GitHub veröffentlicht.

Okay und die Ahnenreihe von diesem Alpha Evolve ist so ein bisschen so,

also das erste, was in der Mathematik angewendet wurde, war dieses Alpha Tensor 2022,

das war ein Reinforcement Learning

System, was Algorithmen für schnelle Matrix-Multiplikation finden konnte,

sehr klare Zielfunktion, also da gab es dann schon, glaube ich,

eine Nature-Veröffentlichung, das ist ja immer diese großen Ankündigungen,

die haben ja dann natürlich auch die PR-Power dahinter, um daraus was Großes zu machen.

Dann gab es irgendwie Alpha Dev, das war eher so praktische Informatik,

da wurden Sortier- und Hashing-Algorithmen optimiert, weil natürlich sowas,

also Google führt ja in den eigenen Rechenzentren auch viele solche Algorithmen

aus, also da können sie auch immer gleich ihre Baseline verbessern,

wenn sie Programme verbessern.

Also sowohl Matrix-Multifikation als auch Sortier- und Hash-Algorithmen werden

wahrscheinlich oft ausgeführt und wenn man das effizienter machen kann,

dann kann man vielleicht auch ein bisschen Strom sparen.

Dann kam Ende 2023 FunSearch heraus, was eigentlich für FunctionSearch steht,

aber was ich auch einen coolen Namen finde.

Und da kam dann zum ersten Mal ein LLM ins Spiel. Also die beiden Sachen davor,

die waren noch nicht mit dem LLM.

Und die Idee da war, dass das Sprachmodell so kleine Funktionen vorschlägt und

dann so eine evolutionäre Schleife schon darauf angewendet wird.

Aber das war eher so für so einzelne Funktionen in einem Programm.

Und Alpha Evolve ist jetzt der Versuch, so ein ganzes Programm damit zu evolvieren.

Also es ist jetzt kein LLM, Alpha Evolve, sondern es ist dieses Genetic Programming

Framework, in dem in der Mitte bei dem Mutationsschritt irgendwie ein LLM drinsteht.

Also es ist auch kein Optimierer im klassischen Sinne, der ein Solverläufen

lässt, sondern diese evolutionäre Programmsuche.

Und dass sie jetzt nicht die mathematischen Objekte direkt suchen,

sondern Programme, die diese Objekte erzeugen, ist auch wieder so ein bisschen

die Idee von diesem Eureka-System.

Sie wollen eigentlich sowas wie Erhaltungsgrößen finden in der Mathematik.

Also die Idee ist, eine gute mathematische Konstruktion hat ja meistens irgendwie eine Idee...

Eine kompakte Struktur, die diese Idee kodiert, also es ist irgendwie diese

Idee der Kolmogorov-Komplexität,

dass eben ein auch kompliziert aussehendes endgültiges Objekt eventuell eine

kurze, einfache Programmbeschreibung haben könnte, wenn darunter eine bestimmte

Invariante oder eine Idee steckt.

Und das Optimierungstool soll eben nicht die komplexe Output-Struktur finden,

sondern die Symmetrien oder die wiederkehrenden Muster.

Und die können wir in Programmcode eben sehr gut ausdrücken.

Und eine witzige Sache, die sie auch noch in ihrem Bericht schreiben,

ist, dass es nicht immer gut ist, das beste LLM zu nehmen.

Jetzt denkt man natürlich, okay, ja, Google, die haben wieder die krassesten

Ressourcen und irgendwelche geheimen LLMs können die da reinstecken und was weiß ich.

Aber sie schreiben auch, dass sie eher so eine Mischung aus billigeren und teureren

Modellen benutzt haben.

Und die billigen, die bringen dann irgendwie mehr Varianz rein in diesen Mutationsprozess.

Ich stelle mir jetzt vor, wie irgendein Dude, der dann noch so mit an der Tafel

steht, wenn man Mathe macht.

Und der produziert dann irgendwie die ganze Zeit so naive Vorschläge,

wo alle immer abwinken, bis zu dem einen Tag, wo der mal so aus Versehen so

sagt irgendwas, wo alle sagen, wait a minute.

Und dann haben sie irgendwie eine neue Idee. Es bringt so ein bisschen evolutionären

Pfeffer in die Sache, auch nochmal so ein Schrott-LLM da mitmachen zu lassen. Fand ich ganz witzig.

So, also was haben sie jetzt gemacht?

Das Paper untersucht irgendwie 43 Problemklassen aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik.

Also dieses Paper sieht super lang aus, aber eigentlich gibt es in neun Seiten

so allgemeines Zeug und dann etwa 60

Seiten, auf denen diese verschiedenen Problemklassen beschrieben werden.

Und dann gibt es auch ein GitHub-Repository dazu und dem werden 67 konkrete Probleme aufgeführt.

Terry Tao hat auch noch einen Blogpost dazu und darin schreibt er,

dass für ungefähr drei Viertel der Probleme die beste bekannte menschliche Lösung wiederentdeckt wurde.

Und in 20 Prozent der Probleme, also fast dem ganzen Rest, sogar eine bekannte,

beste Konstruktion noch mal verbessert wurde.

Also eine Schranke optimiert oder eine Konstruktion irgendwie optimiert.

Ich kann nochmal ein Highlight, ist die sogenannte Kissing-Number, also die Kusszahl.

Und das ist die Frage, wenn man sich eine Kugel vorstellt, sagen wir mal in drei Dimensionen,

Und dann einfache zwei Dimensionen. Stellen wir uns mal einen Kreis vor.

Und jetzt macht man um den Kreis noch andere Kreise der gleichen Größe,

die den mittleren in einem Punkt berühren. Also legt man einfach so Kreise dran.

Und dann ist die Frage, wie viele Kreise kann man da dranlegen?

Das kann man sich in zwei Dimensionen ziemlich leicht überlegen,

dass man sechs Kreise dranlegen kann.

Und dann passen keine weiteren Kreise mehr. Die Kreise berühren sich auch alle

und das Beste ist irgendwie sechs.

Und die Mittelpunkte bilden dann so einen Hexagon und so weiter.

Und in drei Dimensionen ist es schon ziemlich schwierig.

Und Newton hat schon dieses Problem diskutiert. Es gibt irgendwie so eine Briefkorrespondenz

zwischen Newton und Gregory, wo die dieses Problem schon diskutieren.

Und je höher die Dimensionen werden, wird es irgendwie irre kompliziert.

Also in D gleich 4 weiß man, also in 4 Dimensionen, man hat eine 4-dimensionale

Kugel und macht das jetzt außen dran, weitere 4-dimensionale Kugeln der gleichen

Größe, die sich nicht überlappen dürfen.

Also wir müssen sich so wie echte Kugeln arrangieren.

Und da kann man 24 dranlegen und besser geht's nicht. So und jetzt kommt's.

In Dimension 5 ist unbekannt, wie viele geht.

Also man weiß, 40 gehen und man weiß, mehr als 44 geht nicht.

Aber es könnte sein, dass die optimale Zahl 40, 41, 42, 43 oder 44 ist.

Wie viele Kugeln kann man an eine fünftimensionale Kugel so dran bappen,

dass sie sich in einem Punkt mit der mittleren Kugel berühren und.

40, 41, 42, 43 oder 44. Weiß man nicht.

In D gleich 8 und in D gleich 24 weiß man diese Kissing-Number auch noch genau.

Okay, und dieses Alpha Evolve hat jetzt jedenfalls in 11 Dimensionen,

in D gleich 11, eine neue Lösung gefunden mit 593 11-dimensionalen Kugeln.

Also hat man jetzt eine neue untere Schranke, also auch in D gleich 11 weiß

man nichts genaues, aber man weiß, dass es mindestens 593 Kugeln gehen,

weil es eine Konstruktion gefunden wurde.

Also ein Arrangement von diesen elfdimensionalen Kugeln. Die alte Schranke,

die die Menschen vorher gefunden hatten, war übrigens 592.

Es wurde um eine Kugel verbessert.

Ja, die Matrix-Multiplikation, die Sie bei Alpha-Tensor schon mal optimiert

hatten, wurde auch nochmal optimiert.

Also zwei komplexe 4-4-Matrizen kann man jetzt multiplizieren und zwar braucht

man dafür nur 48 Skalarmultiplikationen, also Multiplikationen von komplexen Zahlen.

Vorher brauchte man 49, auch eine um 1 verbessert.

Und dann noch kurz zum Moving Sofa Problem. Das Moving Sofa Problem ist ja so,

da wissen wir ja die optimale Lösung seit kurzem.

Also der Eigenraum berichtete ja über Gervas Sofa, das optimale Sofa.

Also hat Alpha Evolve da auch keine Verbesserung gefunden, geht ja nicht.

Aber bei Varianten des Problems, zum Beispiel in 3D oder so,

da ist ja die Lösung noch nicht bekannt oder nicht bekannt, dass die beste Lösung

die optimale Lösung ist.

Und der Aufbau bei Alpha Evolve war ungefähr so, Alpha Evolve schlägt nicht direkt ein Sofa vor.

Sondern Alpha Evolve schlägt den Weg vor, den das Sofa gehen soll.

Also man legt so einen Mittelpunkt des Sofas fest und dann konstruiert man einen

Pfad durch den Korridor, also eine Folge von kleinen Verschiebungen und Drehungen

und wie man das Ding durch diesen Korridor schiebt.

Und zu diesem Weg rechnet man dann mit Numerik das größte Sofa aus,

das diesen Weg überlebt,

indem man dann einfach bei jeder Kurve aus, man fängt mit einem Block an und

dann bei jeder Kurve fräst man das heraus, was jetzt gerade nicht passt.

Also am Anfang füllt das Sofa erstmal den ganzen Korridor aus und dann schabt

mal immer alles weg, was bei irgendeiner Bewegung aus dem Korridor herausragen würde.

Und was dann am Ende vom Korridor übrig bleibt, ist ein Sofa,

was genau durchpasst und das kann man dann optimieren.

Ich dachte gerade, dass es irgendwie so eine ziemliche Avantgarde-Methode wäre, um Sofas zu designen.

Also man gibt der Sofa-Design-Firma erstmal sozusagen so ein 3D-Modell von seinem

Flur und dann konstruieren die einem das größte Sofa, was da durchpasst.

Und ob das dann cool aussieht, ist natürlich noch eine Frage,

aber man hat zumindest ob es cool ist, weiß man nicht, aber es ist jedenfalls optimal.

Okay, was sie aber dann bemerkt haben, wenn man daraus, also sie haben das zum

Beispiel in 3D gemacht, also für so 3D-Korridore mit irgendwie mehreren Ecken,

und wenn man daraus eine Schranke für Fläche oder Volumen machen,

dann muss man diesen numerischen Code, der diese Berechnung macht,

wie sieht das Sofa dann aus, den muss man sehr gut überprüfen.

Mit Fehlergarantien und so weiter Und da sind sie eben darauf gekommen,

dass sie so Standardbibliotheken für Polytope und Meshs einfach Bugs haben oder

einfach nicht praktikabel sind.

Zu langsam sammeln sich Fehler an, die man mathematisch kaum kontrolliert bekommt.

Und der Teufel steckt dann wieder komplett im Detail. Die Optimierungsmaschine

Alpha Evolve kann man irgendwie in dieser Pipeline einsetzen,

aber dann fängt die Arbeit erst an, weil man...

Alle anderen Tools eventuell auch noch verbessern muss. Also hat man so ein

Auto, man hat seinen alten Opel Kadett und dann baut man irgendwie einen super

8-Zylinder-Motor ein, dann fährt es trotzdem nicht schneller,

weil alles einfach abfällt, wenn man aufs Gas drückt. Gut.

Okay, so was bringt das jetzt für die Mathematik? Also alle diese Probleme,

die mit Alpha Evolve bearbeitet wurden, sind alle von der Art,

wo eine Kandidatenlösung einfach beschrieben werden kann, durch einen Pfad,

durch einen Graphen oder durch ein kurzes Programm letztendlich und vor allem,

wo die Qualität einer Lösung schnell bewertet werden kann,

auch wenn man sie vielleicht nur sehr schwer finden kann.

Das ist natürlich nicht die ganze Mathematik, das ist auch nicht alle Optimierungsprobleme,

das sind eigentlich solche Konstruktionsaufgaben wie Packungsprobleme,

Graphen mit bestimmten Eigenschaften oder Konstanten in Ungleichung.

Und dann ist es auch so, dass diese Zahl, die die berichten,

von 75% wiederentdeckten optimalen Schranken und 20% neuen Konstruktionen,

das muss man natürlich auch superkritisch sehen, weil die eingesetzten LLM hatten

in ihren Trainingsdaten natürlich das optimale Sofa auch schon mal gesehen.

Das kann natürlich auch alles irgendwie wieder aktiviert werden.

Also dass da jetzt ein Programm rauskommt, was irgendwie dieses mit dem optimalen,

bekannten optimalen Sofa schon was zu tun hatte, ist vielleicht auch keine so

eine große Überraschung. Dann haben sie natürlich auch diese Self-Selection.

Eigentlich hat die Zahl ja überhaupt keine Bedeutung, da sie sich die Probleme

selbst ausgesucht haben.

Also wenn sie jetzt einfach alle weglassen würden aus ihrer Veröffentlichung,

wo sie keine Verbesserung gefunden haben, dann könnten sie ja auch auf 100%

Verbesserung in ihrem Paper kommen.

Also sehe jetzt nicht an, dass irgendwo diese Studie vor der Durchführung registriert wurde oder so.

Also das entspricht jetzt auch nicht den üblichen Standards an irgendwelche

Statistiken. So, und weiteres Engineering-Problem, was ganz interessant ist.

Sind so Exploits, also LLMs und Optimierung.

Tao sagt direkt in seinem Blogpost,

Alpha Evolve sucht eben nicht nach der mathematisch besten Lösung.

Sondern es gibt ja immer dieses deterministische Programm, den sogenannten Verifier,

der eine vorgestellte Lösung nach ihrer Fitness bewerten muss.

Und wenn dieser Verifier einen Bug hat, dann kann man den ausnutzen.

Oder wenn dieser Verifier eben numerische Schwierigkeiten hat, kann man die ausnutzen.

Und irgendwie wird das LLM oder das Alpha Evolve versucht halt irgendwie die

besten Scores zu bekommen. Und ja, weil es eben sehr gut in der Suche ist,

wird es auch dann eher einen Exploit finden, als das, was die Mathematikerinnen

und Mathematiker eigentlich wollten.

Also man könnte sagen, Alpha Evolve will nicht der Beste sein,

sondern der am besten Bewertete.

Und das ist ja irgendwie dieses Gotthard's Law, oder? Also, ihr kennt ja das,

when a measure becomes a target, it teaches to be a good measure,

sagt man so, das ist so ein Prinzip in der Bildungsforschung, ja.

Und wenn man die Schulen, sagen wir mal so, wenn man Schulen danach bewertet,

wie ihre Mathenoten sind,

dann werden die eine Lösung finden, die Mathenoten zu optimieren,

ohne das zu optimieren, was die Mathenoten eigentlich messen sollten,

nämlich die mathematischen Fähigkeiten der Kinder.

Wenn man so eine Geldzuteilung nach den durchschnittlichen Mathe-Noten arrangieren würde.

Und also hier bei diesem Alpha-Evo, jetzt haben sie zahlreiche Exploits gefunden.

Also die Maschine kann manchmal so zum Beispiel unterhalb der numerischen Genauigkeit operieren,

sie will irgendwelche Punkte berechnen und sie sind fast auf demselben Ort und

ein Teil des Programms denkt, das ist der gleiche Punkt und ein anderer Teil

des Programms sagt, das sind zwei unterschiedliche Punkte.

Und das kann sie dann ausnutzen. Dann natürlich der ganze Bereich Rundungsfehler,

also so bei Approximationsformeln oder so kann man Rundungsfehler ausnutzen

und auch so numerisch eben so Clipping-Artefakte, also als sie bei diesem Korridor

mit dem Moving Sofa optimiert haben,

da hatten sie einfach diese Berechnung, was ist hier noch im Korridor und was

nicht, die hat da eben auch so Rundungsartefakte,

und die hat das Ding auch gnadenlos ausgenutzt.

Also philosophisch könnte man sagen, Alpha Evolve ist ein mächtiges Werkzeug,

Aber es hat einfach keinen inneren Bezug zum mathematischen Problem.

Es spielt einfach nur ein Spiel, es optimiert. Und wenn die Spielregeln nicht

lückenlos sind, dann werden die Lücken gefunden und ausoptimiert.

Und die Optimierung selbst wurde hier quasi nochmal optimiert.

Okay, was lernen wir jetzt daraus? Also ich finde das Projekt sehr cool,

ich bin ziemlich begeistert davon,

aber wir lernen vielleicht auch daraus, dass wir, wenn wir Menschen nicht durch

KI ersetzt werden wollen, dann sollten wir vielleicht uns nicht auf dieses Spiel

einlassen, einfach nur das Spiel zu spielen.

Also wenn wir selbst nur Optimierungsmaschinen sind, dann werden wir wegoptimiert,

sondern wir müssen uns mit unseren menschlichen Fähigkeiten den Problem witten,

weil wir einfach eine innere Motivation haben, die Mathematik zu erkunden.

Also wir sollten uns fragen, was will ich denn eigentlich wissen?

Was will ich wissen? Und nicht immer optimieren, nicht immer auf das Ziel,

sondern auf das Innere, auf uns selbst, uns besinnen, was wir von der Mathematik

eigentlich wollen. Und am Ende wollen wir was verstehen.

Wir wollen was lernen und was durchblicken. Und das ist dann immer ein schöner

Moment, wenn man was durchblickt oder lernt.

Okay, ja, mit diesem etwas nachdenklich-philosophischen Ausblick entlasse ich

euch mal in euren weiteren Tag oder die weitere Nacht.

Freut mich, dass ihr wieder eingeschaltet habt. Ich hoffe, ihr tut es auch beim nächsten Mal wieder.

Ich weiß auch schon, dass es

bis zur nächsten Folge nicht so lange dauern wird, wie bis zu dieser hier.

Und deswegen sage ich euch jetzt mal, macht's gut.

Tschüss und bis bald auf diesem Kanal.

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