Thomas Kahle
Viele Eigenschaften von Größe oder Stärke, die wir kennen, sind transitiv. D.h. falls A stärker ist als B und B stärker als C, dann ist logischerweise A stärker als C. Beim Würfeln ist das aber ziemlich wahrscheinlich nicht der Fall, es könne sich Stein-Schere-Papier Würfelmatches ergeben.
Ein analytisches Ergebnis mit echten Wahrscheinlichkeiten wurde dazu durch eine Online-Kooperation fast anonymer Autor:innen in WordPress-Kommentaren erzielt.
- Quanta: „Mathematicians roll dice…“
- DHJ Polymath: „The probability that a random triple of dice is transitive“.
- How Warren Buffet tried to trick Bill Gates (YouTube) / 4 Würfel
- Polymath 13 Blogpost
- DHJ Polymath auf Google Scholar
- Cornacchia, Hązła: Asymmetrie für 4 Würfel (arXiv).
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Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
Ja, hallo zusammen, hier ist wieder der Eigenraum.
Mein Name ist Thomas, ich begrüße euch.
Ihr hört richtig, ihr habt richtig eingeschaltet,
um ein bisschen Mathe zu hören.
Und meine heutige kleine Erzählung hier
beginnt mit einer Story über Bill Gates,
wie sie von Warren Buffett erzählt wird.
Das sind so Typen aus den 90ern,
also als ich klein war.
Bill Gates war so ein bisschen der Erzschurke
für uns Linux-Nerds,
also der Typ, der mit Windows
eine furchtbare Welt von Computerprogrammen durchgesetzt hat
gegen die besseren Interessen der Nutzerinnen und Nutzer.
Aber heutzutage wird er ja eher so als smarter Entrepreneur
und großer Spender für wohltige Zwecke gesehen.
Das ist vielleicht ganz interessant,
was aus so Tech-Supermilliardären irgendwie wird.
Ich weiß nicht, ob Zuckerberg und Musk auf dem gleichen Weg sind.
Aber darum geht es ja heute gar nicht.
Also eigentlich geht es um eine Story,
die Bill Gates irgendwo erzählt hat.
Ich glaube, in einem Interview oder einer Biografie oder so.
Und die geht so, dass Warren Buffett eines Tages zu ihm kam.
Also Warren Buffett ist so ein Star-Investor,
auch so ein unendlich reicher Typ,
der sein Geld an der Börse gemacht hat
durch cleveres Investieren.
Und die beiden, also ich glaube,
die stehen jetzt einfach für smarte Typen.
Die treffen sich irgendwie
und Warren Buffett schlägt folgendes Spiel vor.
Er hat vier Würfel dabei.
Und das sind so sechsseitige Würfel, wie man die so kennt.
Aber die Augenzahlen da drauf,
die sind eben nicht 1, 2, 3, 4, 5, 6,
so wie man das beim normalen Würfel kennt,
sondern die sind ein bisschen anders.
Einer der Würfel hat nur 3 drauf.
Der andere Würfel hat zwei leere Seiten,
also 0 und 4 Vieren.
Ein Würfel hat 3 Einsen und 3 Fünfen.
Und ein Würfel hat 4 Zweien und 2 Sechsen.
Und jetzt schlägt er das Spiel vor.
Jeder sucht sich einen Würfel aus.
Und dann nehmen sie jeder ihren Würfel
und würfeln da gegeneinander eine ganze Menge Mal,
also dass das nicht so von dem einen Würfelwurf abhängt.
Das soll ja nicht so ein Glücksspiel sein.
Dann würfeln sie eine Weide lang
und schreiben sich auf,
wer wie oft eine höhere Zahl würfelt als der andere.
Und wer öfter eine höhere Zahl gewürfelt hat,
nach einer Weile, der gewinnt dann.
Und Warren Buffett schlägt vor,
dass Bill Gates sich zuerst einen Würfel aussuchen darf.
Und Bill Gates schaut sich diese Würfel an,
überlegt ein bisschen und sagt dann,
nee, Warren Buffett soll zuerst einen Würfel aussuchen.
Und das ist ja erstmal ein bisschen kurios.
Man würde ja denken, dass es besser ist,
sich zuerst einen von den Würfeln auszusuchen, oder?
Also die Sache, die Bill Gates durchschaut hat,
ist, dass es in dem Spiel mit diesen 4 Würfeln
schlechter ist, sich zuerst einen Würfel auszusuchen,
weil Warren Buffett, der dann als zweites aussucht,
sich einen Würfel aussuchen kann,
nachdem er gesehen hat, welchen Bill Gates genommen hat,
der den von Bill Gates schlagen wird.
Und das liegt daran, dass diese Würfel
sich so im Kreis schlagen können.
Also wir hatten einen Würfel,
der hatte alle Seiten dreien.
Wenn der ausgewählt werden würde,
dann würde der andere, Warren Buffett in dem Fall,
den Würfel wählen, der zwei Nullen hat
und vier Vieren.
Wenn die jetzt eine ganze Weile lang würfeln,
dann kann man sich vielleicht vorstellen,
dass bei sechs Dreien der Würfel mit den zwei Nullen
und vier Vieren häufiger gewinnt,
weil er eben vier Seiten größer hat als der andere
und zwei Seiten kleiner.
Da wird er schon häufiger gewinnen.
Und das kann man sich einfach vergegenwärtigen.
Natürlich gibt es irgendwie 36 mögliche Paare,
aber wenn man diese Würfel-Würfel-Seiten so anordnet,
sieht man es eigentlich direkt.
Dann sagt der Bill Gates vielleicht,
naja, dann nehme ich vielleicht diesen mit den zwei Nullen
und den vier Vieren.
Aber Warren Buffett hatte noch einen.
Da waren drei Einsen und drei Fünfen drauf.
Und die drei Einsen und drei Fünfen
schlagen den mit zwei Nullen und vier Vieren,
denn die zwei Einsen sind besser als die zwei Nullen.
Okay, bei vier gegen eins würde vielleicht
der ursprüngliche Würfel gewinnen,
aber dann die drei Fünfen sind auch noch mal besser
als drei von den Vieren.
So gewinnt der wieder.
Dann könnte der Bill Gates vielleicht sagen,
dann nehme ich den, der mit drei Einsen und drei Fünfen.
Aber dagegen kann Warren Buffett dann einnehmen,
der hat vier Zweien und zwei Sechsen,
was auch besser ist.
Bisher ist noch nichts Verblüffendes passiert,
aber jetzt ist es eben so,
dass dieser mit den vier Zweien und zwei Sechsen,
der letzte,
dass der wieder schlechter ist als der erste,
der nur Dreien hatte.
Die zwei Sechsen,
die würden vielleicht gegen die Dreien gewinnen,
aber da da vier Zweien stehen
und der andere nur Dreien hatte,
kann er sich, der erste,
wieder gegen den letzten durchsetzen.
Also hat man so eine Schlange,
die sich so im Kreis dreht
von Würfel A ist besser als Würfel B,
Würfel B ist besser als Würfel C,
Würfel C ist besser als Würfel D
und Würfel D ist wieder besser als Würfel A.
Und das ist irgendwie nicht intuitiv.
Aber warum ist es eigentlich nicht intuitiv?
Das liegt daran,
dass wir eine mathematische Eigenschaft,
die sich Transitivität nennt,
gewohnt sind.
Zum Beispiel von allen möglichen Größen
oder Stärken vergleichen,
sind wir es schon gewohnt,
wenn irgendwie A größer ist als B,
irgendeine numerische Größe,
und Größe B ist größer als Größe C,
dann ist auf jeden Fall
Größe A auch größer als Größe C.
Das nennt man die Transitivität
und zum Beispiel bei so einer
größeren Relation,
einer sogenannten Ordnungsrelation,
ist das eine der Voraussetzungen.
Allerdings kennen wir natürlich auch
viele intransitive Eigenschaften.
Zum Beispiel Dein Schere Papier spielen
basiert auf dem Prinzip der Intransitivität.
Jeder schlägt den Nächsten
und jeder von den Dreien wird von einem
geschlagen und schlägt einen anderen.
Und dadurch hat man eben
diese Komponente des Spiels,
die man in der Technologie oder
Zufall basiert.
Genauso ähnlich ist es bei der
Ähnlichkeit von Socken.
Also wenn man drei Socken hat
und die erste Socke ist irgendwie
ähnlich zu der zweiten Socke
und die zweite Socke ist irgendwie
ähnlich zu der dritten Socke,
heißt das nicht, dass die erste
Socke ähnlich zur dritten Socke ist.
Also Transitivität ist uns vertraut
von Begriffen der Stärke
und des Gewinnens oder der Größe.
Man denkt irgendwie, dass ein Würfel,
der gegen einen anderen Würfel gewinnt,
dass er irgendwie besser ist oder stärker.
Aber so einfach ist es eben nicht.
Diese vier Würfel wurden übrigens
von Bradley Ephron,
einem berühmten Statistiker, entdeckt.
Also es hat schon irgendwas mit
Wahrscheinlichkeitstheorie zu tun
und was man so hört, ist Warren Buffett
einfach auch ein großer Fan von solchen
intransitiven Würfeln,
wie man das nun nennt.
Man kann es übrigens auch mit drei Würfeln
bauen.
Da tue ich euch mal so ein schönes Bild
rein, was ihr jetzt,
wenn ihr einen guten Podcastplayer
habt, auf eurem Podcastplayer
angezeigt bekommt. Da seht ihr die drei Würfel
und dann könnt ihr das mal
ausknobeln, ob das auch für diese drei Würfel
so ist, dass die intransitiv sind.
Und wie analysiert man
dieses Problem? Naja, wenn man
so drei Würfel, sagen wir mal drei,
hat, dann schaut man sich eben
Paare von diesen Würfeln an
und man sagt, ein Würfel schlägt
den nächsten Würfel, wenn von
diesen 36 möglichen
Kombinationen von Paaren,
also beide Würfeln mit ihrem Würfel
und dann bekomme ich eine von
36 Möglichkeiten, von den
sechs Seiten des einen Würfels eine, von den sechs
Seiten des anderen Würfels eine und ich würfle
einfach, das heißt, die Würfel sind
auch in dem Sinne fair, dass die
jede Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
hervorbringen. Da habe ich 36
Kombinationen und bei denen schaue ich einfach,
wer gewinnt wie oft und
ein Würfel schlägt einen anderen,
wenn mehr als 18
für den einen Würfel ausgehen
und bei genau 18 würde ich vielleicht unentschieden
sagen. Und das ist eigentlich ein interessantes
mathematisches Phänomen, also
mich zum Beispiel als computerinteressierten
Mathematiker würde das sofort reizen,
das zu implementieren und damit irgendwie
rumzuexperimentieren, was passiert mit
vier Würfeln, was passiert mit fünf
Würfeln und
was passiert, wenn die Würfel
solche komischen anderen Seitenzahlen
haben, also wenn man sich jetzt mal Würfel denken würde
mit sieben Seiten, acht Seiten, neun Seiten
oder 219 Seiten
oder was passiert, wenn man verschiedene
Zahlen auf die Würfelseiten
schreibt. Und genau solche
Experimente, die wurden auch gemacht.
Also wenn man
zum Beispiel einfach mal drei Würfel
nimmt und man
nimmt jetzt an, dass die Würfel
n Seiten haben,
statt 6, ein beliebiges n
Und
vielleicht will man auch noch
annehmen, dass die Würfel irgendwie
immer das gleiche Gewicht haben,
also dass nicht ein Würfel sich dadurch
durchsetzen kann, dass der einfach
immer Sechsen hat und der andere
immer Einsen. Wie
kann man das verhindern? Man könnte
ja zum Beispiel verlangen,
dass wenn ich die Zahlen
aufsummiere, die
auf den Seiten sind,
dass dann immer die gleiche Summe rauskommt.
Und wenn ich mir eine Summe aussuchen muss,
dann nehme ich halt eben die Summe
der ersten n natürlichen Zahlen.
Dann kann ich zwar dort
andere Zahlen draufschreiben oder auch mal eine
Zahl wiederholen, aber die Summe
der Würfelseiten soll
die gleiche sein, wie die Summe,
wenn die Zahlen von 1 bis n auf den
Würfelseiten stehen würden.
Und das ist eben genau n mal n plus
1 halber, wie wir
glaube ich auch in einer vorherigen Folge schon mal
ausgerechnet oder behauptet haben.
Die Würfel von Bill Gates und Warren Buffett
haben die Eigenschaft übrigens nicht.
Also jetzt machen wir das Ganze mal ein bisschen fairer.
Also wir machen gerade
ein Computerexperiment. Wir betrachten
drei solche normalen
Würfel, die aber n Seiten haben
und das Gesamtgewicht, also
die Summe der Augenzahlen auf den Seiten
ist überall gleich.
Und
diese Experimente, die Leute damit gemacht
haben mit dem Computer,
zum Beispiel zufällige
Würfel zu erzeugen und dann zu schauen,
schlägt Würfel A Würfel B,
schlägt Würfel B Würfel C, schlägt Würfel C
wieder Würfel A und so weiter,
haben ergeben, dass
wenn Würfel A
Würfel B schlägt
und Würfel B
Würfel C schlägt,
dass dann man keine
Aussage treffen kann,
ob Würfel A Würfel C schlägt
oder Würfel C Würfel A schlägt.
Beide erscheinen
gleich wahrscheinlich,
gleich häufig.
Also unter der Annahme, dass man diese drei
Würfel mit n Seiten
so zufällig erzeugt,
dass die Seitensumme
immer gleich ist, kann man eigentlich
überhaupt keine Aussage machen,
ob dann, wenn A
B schlägt, B C schlägt, ob dann
A C schlägt oder C A schlägt.
Also ob so eine Transitivität oder eine
Intransitivität vorliegt.
Und das ist auch eigentlich eine kuriose
Beobachtung, die man hier
datengetrieben gemacht hat.
Und das ging dann so ein bisschen
Weißchen vor sich hin,
bis dann irgendwann
Timothy Gowers darauf aufmerksam wurde.
Das ist ein sehr bekannter
Kombinatoriker und Wahrscheinlichkeitstheoretiker
und überhaupt vielseitig
interessierter Mathematiker aus England,
der auch eine Fields-Medaille gewonnen hat.
Und der
hat eine Serie von Projekten, die nennen sich
Polymath.
Und in diesen Projekten benutzt er seinen Blog,
um gewisse mathematische,
kombinatorische Probleme populär zu machen
und Leute einzuladen,
einfach mal in einer Art
Internet-Brainstorming-Session
einfach alles auf den Tisch zu legen, was ihnen
dazu zu so einem Problem einfach so einfällt.
Und die Hoffnung ist, dass durch dieses
Zusammenschmeißen der Ideen
neue kreative Lösungen
für alte mathematische Probleme entstehen.
Und dieses Projekt
mit den intransitiven Würfeln,
das ist das Polymath 13-Projekt,
was er in 2017 vorgestellt hat.
Und in einer
Reihe von Blog-Posts und
Kommentaren, und das ist
wirklich ein WordPress-Blog,
also ich weiß nicht, wer von euch schon mal
Kommentare in einen WordPress-Blog geschrieben hat.
Es ist nicht das tollste User-Interface,
aber im Prinzip
durch WordPress-Kommentare
der Leserschaft zu seinen
Blog-Artikeln ist eine
Lösung für diese
Vermutung, die
wir gerade beschrieben haben, entstanden.
Und das wurde dann so aufgearbeitet
und veröffentlicht.
Das ist jetzt auf dem Archive erschienen,
da gibt es ein Paper, und der
Autor von dem Paper, oder die Autorin,
ist DHJ Polymath.
DHJ Polymath ist jetzt so
eine Kunstfigur, die
Artikel veröffentlicht,
die aus solchen Polymath-Projekten
entstanden sind.
Und DHJ Polymath hat
schon ein Google Scholar-Profil
und hat auch schon eine ansehnliche Anzahl von 431
Zitaten gesammelt
und unter anderem schon ein
Annals of Mathematics Paper auch, also
mehr als euer Podcast-
Host hier,
der null Paper
in Annals of Mathematics veröffentlicht hat.
Aber dafür habe ich wenigstens mein Profilbild
aktualisiert auf Google Scholar
und DHJ Polymath hatte noch nicht mal
seine E-Mail-Adresse hinzugefügt.
Naja, wie dem auch sei. Also dieses Ergebnis
ist, dass
wirklich es gilt, das was man experimentell
beobachtet hat, dass wenn man drei solche
Würfel zufällig zieht, die
wie gesagt dieses Gesamtgewicht konstant
haben, dass dann die Transitivität
in der Hälfte der Fälle gilt
und in der anderen Hälfte der Fälle
nicht gilt. Ein kurioses
Ergebnis, was kollaborativ
im Internet erschienen
ist. Und interessanterweise
ist das so eine, diese Symmetrie
spielt eine wichtige Rolle.
Also dass man dort drei Würfel hat
ist wichtig. Denn schon
vorher, also dieses Polymath Paper
das ist 2022
ich glaube Ende des Jahres
November, Dezember erschienen
und für vier Würfel
wusste man schon vorher,
dass es nicht korrekt ist.
Das heißt für vier Würfel
das Ergebnis ist immer noch etwas
kurios, aber angenommen man
erzeugt vier Würfel
mit N Seiten, die wieder diese gewichtete
Seitensumme haben und
bedingt auf das Ereignis
A ist besser
als B, B
ist besser als C, C
schlägt D, dann gibt es
tatsächlich eine 52% Chance
dass A auch D schlägt.
Also eine etwas erhöhte
nicht mehr dieses Fifty-Fifty-Verhalten
dass man nichts aussagen kann,
sondern eine etwas erhöhte Chance
dass dann A auch wirklich
besser ist als D. Also wenn A B schlägt
B schlägt C, C schlägt D
gibt es eine 52% Chance
dass A auch D schlägt.
Und dieser Effekt scheint extremer
zu werden, je länger
man diese Kette macht. Also wenn man
wirklich eine lange Kette von Würfeln hat
die führt dazu
dass es da dann doch
Abhängigkeiten gibt. Und
der Fall von drei Würfeln ist eben speziell.
Eine andere Variation
die man noch machen könnte ist, dass man die
Seitensummen einfach beliebig sein lässt
und es ist
vermutet, aber nicht endgültig
bewiesen, dass dann das
natürliche Verhalten eintritt.
Das heißt, ein Würfel
der einen zweiten Würfel schlägt
so dass der zweite Würfel einen dritten Würfel schlägt
und der dritte Würfel schlägt einen vierten Würfel
schlägt dann auch mit hoher Wahrscheinlichkeit
und immer höher werdender Wahrscheinlichkeit
der Erste den Letzten und das ist auch bei
drei Würfeln so. Also das kuriose Phänomen
tritt ein durch die Symmetrie.
Hier hat man also wieder so einen Effekt
für genau drei Würfel
eine Symmetrie entsteht
ein kurioser Effekt
eintritt, dass das Unerwartete
das Normale ist, das was häufig
auftritt und erst für
größere Anzahlen von Würfeln
sich die Situation wieder der
Intuition angleicht.
Naja und das Fazit
ist, dass man hier vielleicht so ein
Abbild von dem hat, was man auch aus dem Fußball
kennt. Wenn Bayern Dortmund schlägt
und Dortmund St. Pauli schlägt, heißt das noch lange
nicht, dass Bayern auch
St. Pauli schlägt.
Okay, ich hoffe ihr verzeiht mir diese
kleine Fußballmetapher
und schaltet auch beim
nächsten Mal wieder ein, hier beim
Eigenraum. Ich sag tschüss
und bis dann.
Tolle Sendungen von dir! Liebs! Für mich als okayen bis guten und rein hobbymäßigen Mathefreund genau das richtige Level, um viel zu verstehen, einiges nicht zu verstehen, um mich dann ranzusetzen, zu recherchieren und die Wissenslücke zu schließen! 🙂 Weiter so. Liebe Grüße Flavio