Thomas Kahle
Eine Folge über den Rubik’s cube bzw. Zauberwürfel, wie er auf Deutsch so seltsam heißt. Dank der Gruppentheorie und ziemlich viel paralleler Computerberechnung wissen wir, dass man aus jeder der 43,252,003,274,489,856,000 Positionen in nur 20 Drehungen die Ordnung wieder herstellen kann. Trotzdem machen das die Speedcuber nicht so.
- World Cube Association
- Rekorde
- Max Park Rekord 3.13 Sekunden.
- Jessica Fridrich’s speedcubing page
- Feliks Zemdegs Doku auf YouTube
- God’s number is 20
- Spiegel Artikel von 1981
- The man who found God’s number (Geschichte von Tom Rokicki)
- Top 7 weird Rubik’s cubes (YouTube)
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Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
6, 3, 6, 0, 7, 6, 2, 8,
Wenn ihr den Titel der Folge schon gelesen habt, was ihr wahrscheinlich gemacht
habt, dann kommt ja vielleicht schon da drauf, was es für ein Geräusch ist.
Aber hier ist mal das Geräusch.
So, ich hoffe, man konnte das Geräusch hören. Und es wird jetzt nicht von irgendeiner
Geräuschunterdrückung davon optimiert.
Und ihr konntet es hören. Und das war das Geräusch des Rubik's Würfels,
auch auf Deutsch Zauberwürfel genannt. Kennt ihr vielleicht.
Und über den will ich heute mal ein bisschen erzählen. Ich habe nämlich zu Weihnachten
in diesen Feiertagen, um die Feiertage herum, mehrere Rubiks-Dinge,
nicht nur Rubiks-Würfel, geschenkt bekommen.
Und der erste, mit dem es losging, war ein Rubiks-Würfel, der ein bisschen anders war als die normalen.
Oder fangen wir erstmal mit dem normalen Zauberwürfel an.
Den kennen ja wahrscheinlich die meisten. Also es ist ein Würfel und die Seiten
von dem Würfel, die sind drehbar, sodass man dann ein Drittel des Würfels dreht.
Die kann man so frei drehen und das kann man mit rechts, links,
oben, unten, vorne, hinten machen.
Und dadurch ist jede Seite unterteilt in eine Mitte und darum befindliche acht
Teilstücken, von denen dann jeweils drei bei so einer Drehung beteiligt sind.
Und die Seiten, wenn man den kauft, sind die schön sortiert nach Farben.
Es gibt eine weiße Seite, eine gelbe Seite, eine grüne Seite,
eine rote Seite, eine blaue Seite, eine orange Seite.
Und habe ich jetzt genug Seiten? Ich glaube ja. Und wenn man diese Seiten so
herumdreht, dann vermischt sich das alles und man ist mit der Frage konfrontiert,
wie kann ich das wieder sortieren.
Also der Zauberwürfel, ein Puzzle, das in den 70ern aufgekommen ist.
Und dieser Würfel, den ich jetzt geschenkt bekommen habe, der hatte aber diese
kleinen Teile des Würfels, die hatten unterschiedliche Größen,
also die neun Segmente an einer Seite.
Bildet nicht so eine gleichmäßige Unterteilung der Seite, sondern in unterschiedliche,
nicht quadratische Teile.
Und wenn man den dann verdreht, nimmt er so ganz seltsame Formen an.
Und deswegen habe ich dann auch
herausgefunden, dass man den auch Shapeshifter oder Mirror Cube nennt.
Und dann, kurioserweise, habe ich zu dem gleichen Weihnachten auch noch einen
Dodekaeder bekommen, der auch so ähnlich funktioniert.
Also ein Dodekaeder ist ja einer von diesen platonischen Körpern,
kennt ihr sicherlich, der zwölf Seiten hat.
Also braucht man zwölf Farben und jede Seite ist ein Fünfeck und drei Fünfecke
treffen sich immer an einer der Ecken,
von denen es 20 gibt und diese Fünfecke sind dann unterteilt in einen Mittelstein,
fünf Ecken und dann noch fünf Kanten, die zwischen den Ecken liegen.
Also das ist so eine etwas kompliziertere Variante davon.
Es gibt ja eigentlich ganz viele
Varianten von diesem Puzzle und darüber wollte ich heute mal erzählen.
Das ist auch ein beliebtes Werbegeschenk, also es gibt den dann auch so mit Bildern drauf,
dann ist dann das Firmenlogo noch eine von den Seiten oder auf jeder Seite ist
irgendwie ein Fachbereich einer Uni, wenn man eine Uni mit sechs Fachbereichen
hat, kann man das schön als Werbematerial nutzen.
Und ich konnte das irgendwie nie.
Also ich habe das dann im Zuge dieser Geschenke mich ein bisschen damit beschäftigt.
Ich hatte als Kind, glaube ich mal, die Pyramide.
Es gibt auch eine Pyramide davon, die ist ein bisschen einfacher.
Und die hatte ich als Kind. Das konnte ich auch, glaube ich,
lösen, wenn ich mich recht entsinne.
Aber diesen Würfel, ich habe mich nie in der Sicht damit beschäftigt,
bis ich das jetzt mal tun konnte und hier den anders gefunden habe.
Und wenn Leute sowas lösen, das sieht ja irgendwie immer nach höherer Mathematik
aus oder nach total schwierigen Nachdenken.
Man sitzt davor, löst im Kopf komplizierte Gleichungen, um dann rauszukriegen,
wie man jetzt diesen formaleteiten Zauberwürfel wieder sortiert.
Aber das stimmt natürlich nicht. Also da steckt jedenfalls jede Menge Mathematik
drin, aber eigentlich geht man nur mit einer strukturierten Vorgehensweise vor.
Und die Mathematik steckt eigentlich da drin, zu untersuchen,
wie diese Vorgehensweisen funktionieren.
Wie findet man neue Vorgehensweisen? Was sind Möglichkeiten,
möglichst effizient die Farben des Würfels wieder zu sortieren?
So und da ich ja schon ein bisschen älter bin und so oldschool,
bin ich dann erstmal in die Stadtbibliothek und habe versucht Literatur zu finden
zu dem Thema und da gab es auch ein Buch, Speedcubing für Einsteiger.
Das habe ich mir dann mal ausgeliehen.
Glücklicherweise konnte ich es finden, weil es auch verschlagwortet war unter Rubiks Würfel.
Speedcubing ist nämlich der
Fachausdruck für den Sport, den Zauberwürfel möglichst schnell zu lösen.
Das ist so eine richtige Sportart. Da gibt es viele Disziplinen.
Zum Beispiel die verschiedenen Würfel. Also man kann die Pyramide lösen.
Oder es gibt den Würfel auch einfach nur mit zweier Unterteilung.
Also ein Würfel, der einfach 2 mal 2 mal 2 Teile hat. So eine Art Babywürfel.
Oder eben 4 mal 4 mal 4, wo die Kanten dann nochmal aufgeteilt sind.
Und in der Mitte jede Seite in 16 Teile eingeteilt ist. Oder 5 mal 5 mal 5.
Und dann wird es immer größer. Also es geht, glaube ich, bis sieben mal sieben mal sieben Würfel.
Ja, also die kann man dann alle lösen nach Zeit.
Ja, die kann man also alle lösen und dann geht es eben nach Zeit.
Entweder als Einzelversuch oder ich glaube, die üblichste Disziplin ist ein
Durchschnitt über fünf Versuche, wo dann der schlechteste und beste Versuch
auch noch irgendwie gestrichen werden.
Der aktuelle Rekordhalter für den normalen 3x3x3 Würfel ist Max Park.
Das ist ein Amerikaner, der hat letzten Sommer, also Sommer 2023,
in einer Turnhalle in Long Beach, USA, 3,13 Sekunden gebraucht,
um so einen Würfel zu lösen.
Also, das müsst ihr euch jetzt vorstellen, also der nimmt diesen Würfel.
Okay, also bei diesen Wettbewerben, da darf ich den dann so ein bisschen angucken,
ohne ihn zu verdrehen, 15 Sekunden lang.
Und dann legt er seine Hände auf so eine Stoppuhr und wenn er loslässt, fängt die Stoppuhr an.
Und dann hat er drei Sekunden, also eins, zwei, drei. Jetzt ist er fertig.
Und in diesen drei Sekunden machen seine Hände, bewegen sich extrem schnell
und machen irgendwas und dann ist das Ding sortiert.
Das ist schon ziemlich abgefahren, gibt es ein YouTube-Video.
Und natürlich gibt es auch einen Dachverband, die World Cubing Association.
Hoffentlich nicht so korrupt wie andere große Sportverbände,
aber die scheinen mir das irgendwie mit leichter Hand zu nehmen,
haben coolen Merch und verwalten eben die Rekorde und Ergebnisse von allen Turnieren weltweit.
Also es ist wirklich ein Sport, der von Profi bis Breitensport interessant ist
und auch zu was zu der allgemeinen Bildung in der Gesellschaft beiträgt.
Kann man nur unterstützen.
Und das ist jetzt der Kulminationspunkt von eben so einer Sportart gewordenem Hobby.
Können wir mal mit der Geschichte anfangen. Also 1974 wurde der Rubikwürfel,
Rubik ist ein Name von einem ungarischen Architekten, Erno Rubik,
und der hat den erfunden.
Und erstmal gar nicht als Rätselspiel, sondern als so ein Konstruktionsproblem.
Also er wollte einfach wissen, ob das möglich ist, so eine Konstruktion zu machen,
so einen Würfel, wo man die Seiten alle unabhängig drehen kann.
Die Mechanik von dem Ding ist auch ganz interessant. In der Mitte befindet sich
so ein Grundstein, der Öffnungen oder Aufnahmen in alle sechs Richtungen hat.
Also drei Raumrichtungen, jede zweimal für vorwärts, rückwärts.
Und darin befinden sich wie Schrauben oder Stangen, an denen die Mittelsteine befestigt sind.
Dann hat man also so ein Gerüst, wie so ein Koordinatenkreuz aus den Mittelsteinen
der Seiten und einem Zentrumsstein.
Und alle anderen Steine werden jetzt nur da reingesteckt in dieses Gerüst.
Also die sind nicht mechanisch befestigt, sondern mit so kleinen Schienen da
reingeschoben, sodass die sich gegen die Mittelsteine bewegen können,
aber eben nur entlang der Drehrichtung.
Und bei den Ecken muss das sogar so ein bisschen rund gemacht werden.
Das kann man sich mal auf YouTube oder so anschauen, ist eine ganz interessante
Lösung dieses Konstruktionsproblems. Und allerfisch gestellt ist das eigentlich
auch ein ganz witziges Rätselspiel.
Und in den 80ern wurde es dann super populär. Der Spiegel hat ja sein ganzes Archiv online.
Kann ich mal so einen Artikel verlinken aus Anfang der 80er.
Ich glaube Januar 1981, der diesen Hype in Kalifornien und Tokio und so weiter
beschreibt, wie der Rubik's Würfel um die Welt geht.
So und dann gab es auch schnell die ersten Weltmeisterschaften.
Also in den 80ern, Anfang der 80er war dann so eine Minute,
war so eine gute Zeit, um so einen Rubik's Würfel zu lösen und dann wurden immer
weitere Methoden erfunden und das wurde immer schneller und jetzt sind wir bei
drei Sekunden für den Einzelversuch und ich glaube so die besten Durchschnitte
über fünf Würfel, fünf Lösungen ist so fünf Sekunden.
Also es gibt dann Leute, die so konsistent fünf Sekunden erreichen.
Unter Wettkampfbedingungen natürlich. Und in den frühen 1980er Jahren wurden
die ersten sehr effizienten Verfahren dafür entwickelt.
Und eine Entwicklerin ist Jessica Friedrich.
Jetzt ist sie Professorin in den USA, in Binghamton im Bundesstaat New York.
Aber sie kommt eigentlich aus der Tschechoslowakei damals, heutige Tschechische Republik.
Und in den 1980ern war es gar nicht so einfach, im Ostblock so einen Würfel zu bekommen.
Aber sie hat einen bekommen und hat sich damit beschäftigt und hat einige von
den Algorithmen entwickelt. Deswegen gibt es auch jetzt die Friedrich-Methode,
die nach ihr benannt ist.
Und dann gibt es so einige Figuren. Also was Michaela Schifrin für Abfahrtski
ist, ist vielleicht Felix Semdek für Speedcubing.
Das ist ein Australier, der die Szene auch extrem geprägt hat.
Also der war, glaube ich, der Erste, der unter fünf Sekunden war.
Und jetzt sind wir eben bei diesen drei Sekunden.
Es gibt da so ganz verschiedene Disziplinen noch, zum Beispiel auch blind den
lösen oder mit einer Hand,
also es gibt da über 100 verschiedene Rekorde, die man aufstellen kann,
also die verschiedenen Dinge, immer dann kombinatorische Explosionen,
also alle auch blind, alle mit einer Hand oder wenn man noch irgendwie nebenbei
eine Sahnetorte essen muss oder keine Ahnung, kann man sich noch irgendwas ausdenken.
Ich frage mich eigentlich, ob das nicht davon abhängt, was man da für einen Würfel kriegt.
Also natürlich hängt es davon ab, was man da für einen Würfel kriegt.
Also wenn ich mir jetzt mal vorstelle, ich kriege zufällig irgendeinen so verdrehten
Würfel und der ist gar nicht verdreht.
Oder nur einfach einmal eine Seite wurde um 90 Grad gedreht,
dann kann ich natürlich auch ziemlich schnell unter einer Sekunde lösen,
indem ich einfach die Seite wieder zurückdrehe.
Aber mittlerweile bei diesen Wettkampfbedingungen ist es auch so,
dass die Konfigurationen, in denen die Würfel am Anfang sind,
erstens vom Computer erstellt werden. Vielen Dank.
Und untersucht werden auf ihre Schwierigkeit und dann auch speziell eingestellt werden.
Also wenn es dann zum Beispiel ein Duell gibt zwischen zwei von diesen Speedcubern,
dann kriegen die auch die gleichen Probleme.
Also sie kriegen die gleichen fünf Probleme, wenn sie in einem Wettkampf gegeneinander antreten.
Und diese fünf Probleme, die sie kriegen, werden auch noch auf ihre Schwierigkeit
untersucht durch einen Computer.
Also das hat man schon mal rausgenommen. genommen.
Außerdem hat sich natürlich dieser Würfel weiterentwickelt. Also wenn man früher
als Kind, als ich als Kind so einen Rubiks-Würfel hatte, da war das so.
Da hat sich das Geräusch noch irgendwie ganz anders angehört und man konnte
den gar nicht so schnell drehen. Also damit konnte man jetzt keine Rekorde aufstellen.
Das ist wahrscheinlich auch wirklich der einzige Grund, warum ich mich nicht
in diese Speedcubing-Tabellen eingetragen habe, ist, dass der Würfel damals so schlecht war.
Nein, Quatsch. Also und das hat sich auch immer weiterentwickelt.
Also erstmal hat man die Mechanik leicht gängiger gemacht und so weiter.
Aber es gibt jetzt mittlerweile so richtige ausgefeilte Würfel,
die sogar so kleine Magnete drin haben, damit wenn man so eine 90 Grad Drehung
macht, der Würfel dann am Ende wieder in die richtige Position springt.
Und dann gibt's da so Techniken, dass man die mit der einen Drehung schon beginnt,
während die andere noch läuft.
Also der Würfel, den ich jetzt gerade hier vor mir hab, bei dem kann man auch
diese Ecken so ein bisschen rausziehen, die sind wie so an so Federn und das
führt dazu, dass wenn man,
eine Drehung nicht ganz abgeschlossen hat, man mit der nächsten schon beginnen
kann, Weil die Steine eben so ein bisschen an Federn hängen und gegeneinander
bewegt werden können, ohne sich zu verkanten.
Und die Ecken sind nicht ganz eckig, sondern ein bisschen abgerundet und so weiter.
Aber diese Technik hat sich nur so weit weiterentwickelt, dass das Gehirn jetzt
irgendwann nicht mehr...
Mithalten kann. Also ich habe in so einem Interview mit der Präsidentin des
Speedcubing-Clubs der UC Berkeley gesehen und sie sagte, dass es mittlerweile
total gehirnlimitiert ist.
Also die Finger sind schnell genug, aber die Bewegungsplanung im Gehirn,
was will ich eigentlich machen, die ist jetzt mittlerweile zu langsam.
Trotzdem immer ziemlich eindrucksvoll, wenn man das auf YouTube mal sieht,
wie so Speedcubing in der Praxis wirklich aussieht, also wie schnell und präzise
die Bewegungen ausführen können.
Erno Rubik hat übrigens auch noch andere Rätsel erfunden. Es gibt eine Wikipedia-Seite,
wo die alle aufgelistet sind.
Und eins, was, glaube ich, ziemlich populär ist, was ich auch schon lange kenne,
ist so eine Schlange. Also eigentlich kein Rätsel, ist eigentlich so eine Art Spiel.
Ist so eine Schlange, die besteht aus so kleinen Dreiecken, also eine quadratische
Grundfläche und darüber wie so eine Art Dreieckspyramide, wie so ein Dach von
einem Haus, wenn ein Kind das malt.
Und die kann man so gegeneinander drehen um 90 Grad und dann hat man so eine
Schlange, die kann man halt irgendwie ganz lang machen oder man kann die irgendwie
so packen in einen Quadrat oder versuchen so eine kugelförmige Anordnung zu finden und so.
Also das ist anscheinend Rubiks Schlange. Ich versuchte mal in die Kapitelbilder
hier einzubauen, vielleicht könnt ihr sie jetzt sehen, aber es wird ja wieder
eine aufwendige Folge in Sachen Kapitelbilder.
So, aber eigentlich ist es ja hier ein Mathe-Podcast, euer Lieblings-Matte-Podcast
Und deswegen wollen wir auch mal ein bisschen über Mathe reden.
Also erstmal so ein bisschen Basics. Der Rubik's Würfel ist sehr eng mit der
Gruppentheorie verbunden.
Also die Gruppentheorie ist ja die mathematische Theorie, die sich beschäftigt
mit Mengen, die eine Rechenoperation haben, eine sogenannte Verknüpfung.
Und diese Verknüpfung ist immer reversibel. Jedes, was man machen kann,
kann man auch wieder rückwärts machen.
Und hier ist es so, dass man eine mathematische Gruppe hat, die besteht aus
den verschiedenen Positionen, in denen sich der Würfel befinden kann.
Und was für Operationen kann man darauf jetzt machen? Man kann jeweils die Seiten
um 90 Grad drehen. Also wenn man sie vor sich hat, kann man die rechte Seite
90 Grad drehen, man kann sie vielleicht auch noch im Uhrzeigersinn oder gegen
den Uhrzeigersinn drehen, links, oben, unten, vorn, hinten.
Und alle Positionen des Rubik's-Würfels, die man damit erreichen kann,
die bilden diese Rubik's-Würfel-Gruppe.
Das kann man auch mit Grafentheorie beschreiben, also eine gute Methode,
dieses Objekt, die Konfigurationen, in denen sich der Würfel befinden kann,
zu beschreiben, ist als ein Graph, in dem die...
Ecken oder die Positionen, die Anordnungen des Würfels sind und die Bewegungen,
die ich eben gerade beschrieben habe, also eine Seite 90 Grad drehen oder wieder
zurück, sind die Kanten in diesem Graphen.
Und so eine mathematische Beschreibung ermöglicht einem dann verschiedene Analysen.
Also man möchte ja zum Beispiel wissen, wie viele Positionen gibt es überhaupt?
Wie viele verschiedenen Anordnungen kann sich der Rubik's-Würfel befinden?
Da könnte man zum Beispiel erstmal durchzählen, wie viele von diesen kleinen
Teilen gibt es überhaupt.
Also wenn ich jetzt den Würfel vor mir sehe, dann kann ich mir die Mittelteile
jeder Seite, die bezeichnen wir auch die Seitenfarben,
also durch das Mittelteil der Seite wird die Farbe der Seite festgelegt und
an denen mache ich jetzt erstmal nichts weiter.
Also die stelle ich mir als fix vor, die legen fest, wie ich meinen Würfel jetzt
halte. Sagen wir mal, also den Würfel, den ich jetzt wirklich vor mir habe,
der zeigt jetzt gerade blau nach vorne.
Also um das blaue Stück, was bei mir nach vorne zeigt, sind acht andere Stücken
angeordnet auf der vorderen Seite.
Und dann eben acht Farben, acht farbige Stücke rechts, links,
oben, unten, hinten, komme ich auf 48, 6x8, Stücke, die ich irgendwie bewegen kann.
So, jetzt könnte man das mathematisch einbetten in die Permutationsgruppe in
alle möglichen Vertauschungen von diesen 48 Stück.
Das ist aber viel zu viel, also da hätte man erstmal so eine obere Schranke,
diese Vertauschung von 48 Dingen, das sind 48 Fakultätmöglichkeiten,
das habe ich für euch mal ausgerechnet, das sind ungefähr 10 hoch 61,
merkt euch das mal, 10 hoch 61.
Das ist aber viel zu viel, denn eigentlich ist es weniger,
also das ist jetzt so die Vorstellung, wenn ich die Aufkleber von den Dingern
abmachen würde und einfach in irgendeiner anderen Anordnung wieder draufkleben
würde, dann hätte ich eben diese 48 Fakultätmöglichkeiten, die Aufkleber wieder drauf zu machen.
Aber da nehme ich ja die Aufkleber ab und benutze nicht die wirkliche Physik des Würfels.
Also man kann nicht jede mögliche Anordnung, die ich durch abmachende Aufkleber
und wieder dranmachende Aufkleber erreichen kann, auch wirklich mit Hilfe von
Drehung des echten physikalischen Würfels erreichen.
Also eine, die man zum Beispiel nicht erreichen kann, ist die Konfiguration,
wo der ganze Würfel sortiert ist und nur an einer Ecke sind zwei Farben vertauscht.
Also diese Konfiguration, die kann man nur erreichen durch abmachende Aufkleber
und wieder anders dran machen.
So, das ist jetzt aber ein gutes mathematisches Modell, um sowas im Computer zu implementieren.
Also man sagt dann, dass man es als Untergruppe dieser Permutationsgruppe implementiert,
weil die Elemente von dieser Permutationsgruppe, die kann man einfach abspeichern
als 48 Zahlen zwischen 1 und 48, die man hintereinander schreibt.
Und das ist zum Beispiel ein Modell, mit dem man dann mit dieser Rubik's-Würfel-Gruppe,
die da drin sitzt, die besteht aus solchen Vertauschungen von 48 Dingen,
aber eben nur wenigen davon.
Aber das kann man eben als Modell zur Berechnung nutzen.
So, und jetzt möchte man gern die Anzahl Positionen vom Rubik's-Würfel wissen.
Das ist also die Größe dieser Gruppe oder die Größe des Graphen.
Und da kann man eben Gruppentheorie benutzen, um sich das Problem ein bisschen
aufzuspalten. Und das kann ich mal an einer anderen Gruppe so ein bisschen symbolisieren.
Also eine Gruppe, hatte ich ja schon kurz erwähnt, ist eine Menge mit irgendeiner
Operation darauf und das Wichtigste ist, dass die Operation reversibel ist.
Und ein ganz einfaches Beispiel, an dem man das mal illustrieren kann,
sind die Symmetrieoperationen eines Quadrats.
Also wenn man sich so ein Quadrat vorstellt, ganz normales Quadrat in der Ebene,
dann hat das verschiedene Symmetrieoperationen. Zum Beispiel,
wenn ich das um 90 Grad drehe, nach links rum im Uhrzeigersinn oder rechts rum,
dann ist das wieder das gleiche Quadrat. Wenn ich es 180 Grad drehe auch und
dann gibt es da noch Spiegelungen.
Spiegelungen durch die Diagonalen und Spiegelungen durch so Seitenhalbierende.
Insgesamt hat das Ding acht Symmetrieoperationen und die bilden eine Gruppe.
In dem Sinne, dass jede von diesen Symmetrie-Operationen reversibel ist.
Wenn ich spiegle, kann ich einfach nochmal spiegeln, dann habe ich nichts getan.
Und außerdem gibt es noch eine
Symmetrie-Operation, eine triviale Symmetrie-Operation, die nichts macht.
Also das ist immer in der Mathematik und Gruppentheorie so, dass man einfach
nichts tun, auch als Symmetrie-Operation auffasst.
Und da bildet sich eben diese Struktur der Gruppe. Und in dieser Gruppe,
Da haben wir eine sogenannte Untergruppe. Wenn ich mich auf bestimmte von den
Symmetrie-Operationen einschränke, zum Beispiel nur die Rotationen,
dann bilden die selbst wieder eine Gruppe.
Also ich lasse jetzt die Spiegelungen außen vor und nehme nur die Rotationen.
Rotationen um 90 Grad im Uhrzeigersinn, 180 Grad, 270 Grad und ganz rum.
Und da bekomme ich eben eine Gruppe, die besteht nur aus vier Elementen.
Nichts drehen, 90 Grad drehen, 180 Grad drehen, 270 Grad drehen.
Und die bilden eine Untergruppe. Das sind alles Symmetrie-Operationen und wenn
ich Drehungen hintereinander ausführe, kriege ich immer wieder Drehungen.
So, jetzt habe ich diese vier Drehungen. Wie hilft mir das rauszufinden,
wie viele Symmetrie-Operationen vom Quadrat es gibt?
Ich habe dazu noch eine Spiegelung. Ich nehme jetzt mal noch eine Spiegelung
dazu und es stellt sich heraus, dass wenn ich eine Spiegelung noch dazunehme
und die mit den Drehungen kombiniere,
das genügt, um alle Symmetrie-Operationen herzustellen.
Also als kleine Übungsaufgabe, ob ihr das verstanden habt, könnt ihr ja mal
ausprobieren, wenn ihr nur die Spiegelung entlang einer vertikalen Achse habt,
also die links und rechts vertauscht und die ganzen Drehungen,
wie ihr dann aus denen, durch Hintereinanderausführung, die Spiegelung an einer
Diagonalen implementiert.
Und Tipp, es ist eine Kombination aus eurer einen Spiegelung und einer Drehung.
Und ihr müsst nur herausfinden, welche Drehung.
Und so kann man eben die ganze Gruppe aufbauen aus einer Spiegelung und sogar
einer 90 Grad Drehung, indem man die entsprechend oft hintereinander ausführt.
Und gleichzeitig gibt es dann aus der Gruppentheorie so Formeln,
die einem sagen, sagen, weil die Rotationsgruppe vier Elemente hat und diese
Spiegelung zwei Elemente, gespiegelt und nicht gespiegelt, ergibt sich die Gesamtzahl
der Symmetrien des Quadrats als das Produkt, als 8.
Und das ist natürlich jetzt ein bisschen vereinfacht, aber so ähnlich will man
bei der Rubik's-Würfelgruppe auch vorgehen.
Man teilt den Würfel auf oder die Positionen des Würfels, diese ganze Gruppe
oder den Graphen, in eine Untergruppe, die besteht nur aus Orientierungsänderungen der Steine.
Also Kombinationen von Drehungen der Seiten, die dazu führen,
dass sich nur die Orientierung, aber nicht die Positionen der Steine ändern.
Ja, sowas wie an einer Ecke die Orientierung ändern, ohne den Eckstein in eine
andere Position zu bewegen. Das ist eine Untergruppe und dann gibt es eine zweite
Untergruppe, die die Orientierung immer alle gleich lässt und nur die Positionen der Steine ändert.
Und letztendlich versucht man sich dann so durch Zerlegung der Gruppe eine Formel
herzuleiten, die die Anzahl aller Gruppenelemente als ein bestimmtes Produkt
oder ein Quotienten dann ergibt.
Das ist natürlich alles ein bisschen komplizierter, kann man sich auf Wikipedia
durchlesen, man ist es auch nicht unendlich schwer zu verstehen,
aber im Prinzip hilft einem die Gruppentheorie, die Zerlegung der Gruppe in
Untergruppen, dann eine Formel für die Anzahl der Elemente zu finden.
So, lange Rede, kurzer Sinn.
Es kommt heraus, dass es 43.252.3.274.489.856.000 verschiedene Positionen gibt,
des echten physikalischen Rubik's Würfels.
Jetzt fragt ihr euch, ist es denn viel weniger als 48 Fakultät? Und die Antwort ist ja.
Das ist nur verschwindend geringe 4,3 mal 10 hoch 19.
Also deutlich weniger. Deutlich weniger als die Anzahl der Elektronen im Universum,
deutlich weniger als 48 Fakultät, was ungefähr 10 hoch 61 war.
Also ungefähr 4 mal 10 hoch 19. Und was ist da jetzt ein guter Vergleich?
Also hier die Anzahl der Sandkörner auf der Erde soll ungefähr 7,5 mal 10 hoch 17 nur sein.
Also da hat man doch mal einen handlichen Vergleich. Kann man sich das gleich vorstellen.
So, das sind ja schon erstmal ziemlich viele Positionen. Und verdeutlicht einem
vielleicht auch die Komplexität dieses Puzzles.
Also ich frage mich, wie viele Leute auf der Welt so ein Ding in die Hand bekommen
und ohne YouTube sich wirklich selbst überlegen, wie man das löst.
Also für mich ist es jetzt nicht mehr möglich, mir diese Frage zu stellen,
wie lange ich brauchen würde, um den einfach zu lösen, weil ich eben das Buch
aus der Bibliothek gelesen habe.
Und dann habe ich eine Methode gelernt.
Aber wenn ihr noch nicht so einen Würfel in der Hand hattet,
ist es vielleicht interessant, euch selbst damit zu beschäftigen,
ohne YouTube-Tutorials und ohne Bücher aus der Bibliothek.
Also von diesen 43 Trillionen Blablabla-Positionen gibt es trotzdem immer einen
Weg zur Lösung, der nur 26...
Viertel Drehungen braucht. Also egal in welcher von diesen Positionen ihr euch
befindet, ihr könnt immer durch nur 26 mal eine Seite um eine Viertel Drehung
drehen, wieder zu der Ausgangsstellung, wo alle Farben sortiert sind, kommen.
Wenn ihr auch noch 180 Grad Drehung zulasst und in beide Richtungen,
dann braucht ihr sogar nur 20 Drehungen.
Also wenn ihr 20 mal eine Seite beliebig drehen könnt, könnt ihr jede Position
wieder in das Original bringen. Das nennt man God's Number.
Ist so ein bisschen, naja, ein bisschen hochgegriffen, God's Number.
Aber das war ein offenes mathematisches Problem, zu bestimmen, was diese Zahl ist.
Also wie ist die Geschichte dieses Problems? Wenn man jetzt so einen Anfängeralgorithmus
für den Würfel lernt, dann dreht man viel mehr als 20 Mal.
Also man geht Schritt für Schritt vor und bei diesem Schritt für Schritt vorgehen
dreht man viel öfter als nur 20 Mal irgendwelche Seiten,
weil man sich eben entlang von bekannten Positionen oder erkennbaren Positionen,
sowas wie ich habe schon eine Ebene sortiert,
ich habe schon zwei Ebenen sortiert, ich habe von der oberen Ebene das Kreuz,
bestehend aus der Mitte und den Kanten, Kanten sortiert, entlang von solchen
Positionen weiterhangelt und dann Bewegungen macht,
die das, was man schon sortiert haben, nicht mehr ändern.
Und um solche Algorithmen anzuwenden, die etwas, was man schon sortiert hat,
nicht mehr ändern, macht man eben einen sehr großen Umweg und benutzt nicht
diese optimale Anzahl von 20 Zügen.
So, und dann war eben diese Spekulation, es gibt irgendwie den perfekten Algorithmus,
Gods Algorithm, der immer genau weiß, was man tun muss, um am schnellsten vorwärts zu kommen.
Und die Frage war, wie viele Züge ist das Maximum?
Also in den frühen 80ern gab es irgendwie einen Beweis, dass 52 Züge immer ausreichen,
wobei jetzt ein Zug bedeutet, dass man eine Seite beliebig dreht.
Also auch 180 Grad gegen Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn 90.
Und 52 war so in den 80ern und das war eine ziemlich mühsame Analyse mit Gruppentheorie,
also nicht ein konkreter Lösungsalgorithmus, sondern schon Mathematik. So und ca.
Mitte der 90er kannte man dann einige Positionen, von denen man beweisen konnte,
dass es für diese Positionen wirklich 20 Züge braucht. braucht.
Eine interessante solche Position ist die Superflip-Position.
Das ist übrigens auch noch gute Rätsel für Leute, denen das zu langweilig ist,
ist bestimmte Positionen herzustellen.
Also den Würfel nicht zu lösen, sondern zum Beispiel diese Superflip-Position herzustellen.
Die Superflip-Position ist, ihr stellt euch vor, ihr habt den Würfel korrekt
gelöst, also alles ist richtig.
Und jetzt jeder von den Kantensteinen.
Er soll geflippt werden, sodass die Farben genau falschrum sind.
Also es gibt jetzt eine Kante, die zwischen der grünen und der roten Seite liegt.
Es gibt den grün-roten Kantenstein und der grün-rote Kantenstein sitzt zwischen
der grünen Seite und der roten Seite auf der Kante.
Und der soll jetzt andersrum sein, sodass sein rotes Teil auf der grünen Seite
ist und sein grünes Teil auf der roten Seite. Und das soll bei allen Kantensteinen sein.
Also die Superflip-Position ist, alle Kantensteine sind an der richtigen Position, aber geflippt.
Und von der kann man zeigen, dass sie wirklich 20 Züge braucht.
Und damit hatte man eine untere Schranke für diese God's Number,
wie weit kann eine Position.
Und der Beweis, dass 20 auch eine obere Schranke ist, ist keine smarte Gruppentheorie
oder so, das ist ein Computerbeweis.
Also der gelang durch Enumeration, Ausnutzen von Symmetrie,
ungefähr 2010 wurde der abgeschlossen, durch vollständiges Durchgehen,
vollständiges Lösen aller 43 Trillionen und so weiter Positionen.
Der leitende Forscher, der das angeführt hat, ist Tom Rokicki,
ein amerikanischer Mathematiker oder Informatiker, der sein Gehör Schritt für
Schritt verloren hatte während des Studiums.
Und je besser seine Techniken wurden mit dem Lösen dieses Rubik's-Würfels mit
dem Computer, desto schlechter wurde sein Gehör.
Und er verlor sein Gehör und konnte aber 2008 durch Cochlear-Implantate sein
Gehör wieder herstellen.
Das ist eine sehr interessante Parallelität zwischen seinen Fortschritten bei
der Lösung dieses Rubik's-Würfels mit dem Computer und der Entwicklung oder
Erfindung dieser Cochlear-Implantate, die ja fast auf magische Art und Weise
Leute wieder hören lassen können oder erstmalig hören lassen können.
Da gibt es auch einen Artikel drüber, den ich euch mal verlinke.
Er ist auch ein interessanter Typ. Also er ist zum Beispiel einer von den wenigen,
die sich den Rubik's-Würfel selbst überlegt haben. Also er hat auch ohne fremde Hilfe.
So ein Lösungsalgorithmus gefunden, also eine von diesen simplen Methoden,
die darauf basiert, dass man es so Schritt für Schritt sortiert,
also Ebene für Ebene, also erst die unterste Ebene, dann die mittlere Ebene
und dann die oberste Ebene und dann beim Sortieren der obersten Ebene eben aufpasst
man nur Bewegungen macht,
die die untere Ebene nicht wieder zerstören.
Also Folgen von Bewegungen, die etwas erreichen und dabei nur zeitweise das,
was man schon erreicht hat, wieder durcheinander bringen und so hangelt man sich dann vorwärts.
So, also, wenn man sich jetzt diesen Rubik's-Würfel als Grafen vorstellt,
jede Position ist eine Ecke in dem Grafen und jede Bewegung eine Kante,
dann ist das Problem, den zu lösen, eben eine Navigation in diesem Grafen.
Und die Navigation in diesem Grafen ist sehr komisch. Also, wie stellt man sich den vor?
Also, ich stehe jetzt an einer Position, ich stelle mir jetzt wirklich wie so
eine Wanderung vor und habe meinen Rubik's-Würfel vor mir. Und ich habe jetzt
zur Auswahl, ich kann rechts drehen, links drehen, oben drehen,
unten drehen, in Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn.
Und das Problem ist, es gibt keine Landkarte und es gibt keine guten Entfernungsmessungen.
Also ich weiß auch nicht, wie weit entfernt ich von meinem Ziel bin.
Und deswegen arbeitet man sich eben vor, man versucht zu Positionen zu kommen,
an denen man weiß, wie es weitergeht. Oder an denen man weiß,
dass man ein bestimmtes Zwischenergebnis erreicht hat.
Aber dabei gibt es halt sehr viele Navigationshindernisse, zum Beispiel gibt
es viele Schleifen auf dieser Wanderung.
Das einfachste Beispiel ist, wenn ich die gleiche Seite nehme und dreimal 90
Grad im Uhrzeigersinn drehe, ist es das gleiche wie einmal gegen den Uhrzeigersinn
drehen oder viermal im Uhrzeigersinn drehen, macht einfach nichts,
dann bin ich wieder da, wo ich am Anfang war.
Aber die Navigation in diesem Graphen ist sehr tricky, weil man keine Entfernungsangaben
hat und irgendwie die Wegweiser fehlen.
Es gibt viele Kreise, dreht man viermal an der gleichen Seite in die gleiche
Richtung, ist man wieder da, wo man war und man kommt halt nicht so richtig
vorwärts. Aber der Durchmesser dieses Graphen ist nun jedenfalls bekannt. Er ist 20.
Egal, wo ich an dem Graphen bin, egal, wo ich hin will, mit 20 Schritten kann
ich immer dort ankommen.
Das liegt an der Gruppenstruktur, also wenn man von jedem in 20 Zügen zur Gruppe kommt.
Geordneten Positionen kommt, denkt man, man bräuchte vielleicht 40,
um von einem Beliebigen zu einem Beliebigen zu kommen, aber das ist wegen der
speziellen Struktur, dass es sich um eine Gruppe handelt, nicht so.
Die meisten Pfade sind übrigens von Länge 18. Es gibt jetzt mittlerweile eine
Tabelle, wie viele von den Konfigurationen, in denen der Würfel sich befindet,
brauchen wie viele Züge, um zur sortierten Konfiguration zu kommen.
Und 18 ist die häufigste Anzahl Züge, die man bräuchte.
20 ist eben das Maximum und dazwischen gibt es diese ganzen Zahlen.
So, dann kann man jetzt so daraus vielleicht was ableiten.
Also wenn man jetzt an diesen Sport Speedcubing denkt, kann man ja mal messen,
was Speedcuber so für eine Anzahl von Zügen pro Sekunde schaffen.
Da kommen wir ungefähr auf 10.
Also die besten Speedcuber machen 10 Züge pro Sekunde.
Also hat man so theoretische Limits für die Rekorde.
Es gibt auch einen Roboter am MIT, glaube ich, der immer den kürzesten Weg nimmt.
Also der analysiert den Würfel, berechnet den kürzesten Weg.
Das ist mittlerweile, das dauert 0 Sekunden, den kürzesten Weg wirklich zu berechnen.
Wurde im Rahmen dieser Parallelisierung und Komplettlösung natürlich bis zum Ende durchoptimiert.
Und dann ist der auch physikalisch so gebaut, dieser Roboter,
dass der nie mehr als eine Sekunde braucht, um diesen perfekten Weg auch wirklich auszuführen.
Also der macht mehr als 10 Drehungen pro Sekunde. Bei den Menschen ist es aber
üblicherweise so, dass die nicht den optimalen Weg nehmen.
Also die finden den optimalen Weg nicht. Das ist ein Problem.
Und dann könnte der optimale Weg auch für einen Menschen ziemlich schwierig
auszuführen sein, weil man eben die Geometrie der Hand beachten muss.
Also nach welcher Drehung stehen die Hände wie und was für eine Drehung kann
man dann als nächstes gut ausführen.
Also da gibt es sehr viele Ergonomie-Optimierungen, die noch eine Rolle spielen.
Und deswegen ist das Speedcubing eben auch so ein Sport, wo es im Prinzip immer
noch Innovationen gibt, weil diese parallele Optimierung hat.
Also immer kompliziertere Sequenzen von Bewegungen zu finden,
die einen schneller zum Ziel bringen.
Das kombiniert mit, wie ergonomisch sind die, kann mein Gehirn die ausrechnen,
kann mein Gehirn sich die merken, kann mein Gehirn die an der richtigen Stelle
anwenden und das ist eben der Spaß an diesem Speedcubing.
So, also üblicherweise Anfänger wie ich navigieren sich durch diesen Graphen
entlang von Positionen, die man irgendwie erkennen kann.
Also ich tue etwas, das bringt mich in eine Stellung. Ich fange an,
ich mache die weiße Seite nach unten, dann füge ich die Kanten ein,
die dazu passen, um so ein Kreuz herzustellen.
Dann füge ich die Ecken ein, habe ich die unterste Ebene sortiert,
dann sortiere ich die zweite Ebene, füge da die Kanten ein und so weiter.
Genau, und bei den Werbegeschenkwürfeln muss man jetzt noch aufpassen,
wenn da ein Foto drauf gedruckt ist oder das Fakultätslogo, Dann kann es auch
sein, dass die Mittelteile eine falsche Orientierung haben.
Also das kann man auch in Mathematik abbilden. Also bei den ganzen Zahlen,
die ich jetzt gesagt habe, ist es nicht mit beachtet.
Also da gehen wir davon aus, dass das Mittelteil von jeder Seite einfach nur einfarbig ist.
Und ob das jetzt 180 Grad gedreht ist, nur das Mittelteil, spielt keine Rolle.
Wenn sich jetzt aber auf der Seite ein Foto befindet oder ein Firmenlogo,
dann soll das ja schön erkennbar sein.
Und dann braucht man noch einen speziellen Zug, der die Mittelteile dreht.
Findet man aber auch im Netz und kann man auch in die Analyse mit einbauen.
Ändert jetzt konzeptionell nichts daran.
Es gibt auch Varianten vom Rubik's Würfel oder sozusagen solche mechanischen
Puzzle, Drehpuzzle, die sich nicht mit Gruppentheorie abbilden lassen.
Das liegt dann daran, dass man nicht alle Bewegungen zu jeder Zeit ausführen
kann. Also ich versuche da mal was zu verlinken.
Stellt euch vor, ihr habt so einen Rubik's-Würfel, der, wenn man eine Seite
statt ein Viertel ein Achtel gedreht hat und eine andere Seite auch noch ein
Achtel, dann ergibt sich plötzlich eine neue Drehebene, die vorher nicht möglich war.
Also in bestimmten Zwischenpositionen gibt es wieder andere Drehungen.
Und dann ist diese naive gruppentheoretische Beschreibung, man hat diese Erzeuger,
die sind hier sechs mögliche Bewegungen, so nicht mehr anwendbar,
weil man eben nicht zu jedem Zeitpunkt alles zur Verfügung hat.
Ja, also was kann man hier als Fazit sagen?
Wie viel Mathematik steckt im Rubik's Würfel? Die Mathematik kann einem helfen
und hat geholfen, zu verstehen, was hier eigentlich vor sich geht.
Das Ding wurde erfunden und gebaut ohne Mathematik im Sinn, auch ohne Rätsel im Sinn.
Und Mathematik hilft einem abzuzählen, Mathematik hilft einem Optimierungsprobleme
zu lösen, aber die konkreten Speedcuber, die die Rekorde aufstellen,
die nutzen von dieser Mathematik eben nur einen Teil und kombinieren die Mathematik
mit rein menschlichen Leistungen, mit Ergonomieüberlegungen,
mit täglichem Training und eben auch ganz viel Erfahrung.
Und so ein bisschen Erfahrung werde ich jetzt vielleicht auch mal sammeln.
Denn für den Dodekaeder habe ich nämlich noch gar nicht mir die Lösung angeschaut.
Da bin ich jetzt noch quasi noch völlig jungfräulich und kann versuchen,
den mit meinen Fähigkeiten, die ich bisher nur vom Würfel habe, mal zu lösen.
Und das werde ich jetzt mal versuchen. suchen.
Also Rubiks Würfel und Dodeka-Ederlösen ist keine höhere Mathematik.
Es ist Übung und ich werde jetzt mal ein bisschen weiter üben.
Und wenn ihr mich trefft, dann macht man Wettkampf. Ich bin nicht gut.
Also wenn ihr mich trefft, könnt ihr mich besiegen mit ein bisschen Übung.
Und ja, schickt mir eure Rekorde auf Mastodon.
Findet ihr den Eigenraum. Und dann hören wir uns beim nächsten Mal. Macht's gut. Tschüss.