Thomas Kahle
Mit dem Eigenraum geht ein neuer Mathepodcast an den Start. Hier mache ich mir Gedanken zur Mathematik und teile sie. In der ersten Folge geht es neben Podcasts allgemein um die gute alte quadratische Gleichung x^2 + px + q = 0 und wie man mit Hilfe von nur p und q ausdrückt, dass sie eine reelle Lösung hat. Dahinter steckt das mächtige Prinzip der Quantoreneliminiation.
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Ja, hallo zusammen an den Empfangsgeräten. Hier ist der Eigenraum, ein neuer Mathe-Podcast
mit mir, Thomas Kahle. Hallo, ich bin Mathematiker und ich denke, es gibt nicht genug Mathe-Podcasts,
deswegen jetzt hier der Eigenraum. Ich möchte euch in dem Eigenraum ein paar neue Ideen
geben, die mit Mathematik zu tun haben. Assoziationen von Leben mit Mathematik, Assoziationen von
Mathematik mit Leben, Gedanken, die ich mir mache und lustige und interessante Geschichten
aus der Mathematik erzählen. Also, wenn ihr gesagt habt, in Mathe war ich immer gut und
euch für Mathematisches im Leben interessiert und meine Assoziationen hier anhören wollt,
um vielleicht auf andere Gedanken zu kommen oder neue Gedanken zu bekommen, dann ist das
vielleicht genau das Richtige für euch. Und vielleicht erzähle ich auch einfach nur gerne
Geschichten und ich weiß noch nicht so genau, wo das hinführen wird. Am Anfang einer Reise
weiß man ja vielleicht, wo man irgendwann mal hin will, aber man weiß nicht, wo man
hinkommt und deswegen machen wir jetzt erstmal los hier. So, ich habe es ein bisschen hin
und her überlegt, ob das vielleicht irgendwie so täglich sein könnte, wie die Tagesschau,
aber eben für Mathe, die Mathe-Schau. Aber die Tagesschau ist natürlich, ich glaube,
die haben mehr Budget und Personal aus als ich und die kondensiert irgendwie eine Riesenmenge
von Sachen, die passieren, aber so viele Sachen passieren vielleicht gar nicht mathematisch oder
jedenfalls nicht so viele, von denen man erzählen müsste. Dann dachte ich vielleicht sowas wie die
Sendung mit der Maus, aber irgendwie ohne Maus, dafür mit einer Formel oder so, die Sendung mit
Mathe, aber da fiel mir nicht so ein richtiger Sympathieträger ein. Also, dass sie diese Maus
als Sympathieträger für alles Mögliche genommen haben, ist natürlich auch eine ziemlich coole
Sache. Da habe ich überlegt, so Podcasten alleine, wenn man einfach sowas erzählt, wie hört sich das
denn eigentlich an? Und dann bin ich auf diesen Einschlafen-Podcast gekommen von Tobi Beyer. Das
sind ja Monologe, Monologe, die einen von den eigenen Gedanken ablenken sollen, um auf andere
Gedanken zu kommen, aber mit dem Ziel, dass man dann einschläft. Aber das ist jetzt nicht so mein
Plan, dass ihr einschlaft, sondern ihr könnt euch so einen Monolog anhören, dem geht es auch
um Mathe, aber vielleicht habt ihr dann irgendwann eine Idee und dann hört ihr vielleicht auf zu
hören, weil ihr die Idee weiterverfolgen wollt oder irgendwas anderes machen wollt und es euch
auf eine Idee gebracht hätte. Das wäre so meine Vorstellung. Das gefällt mir dann irgendwie
eigentlich ziemlich gut. Man hört sich das an und kommt irgendwie auf Ideen, also Assoziationen,
die irgendwie Ideen bringen. Mir bringt Mathe ständig irgendwelche Ideen. Man muss das schon
so ein bisschen bremsen, dass man, wenn man über Mathematik nachdenkt, das öffnet sich immer,
dass man immer noch mehr Ideen hat und es geht immer noch weiter auf und dass man fokussiert
bleibt auf eine Sache, der man eigentlich auf der Spur ist. Aber wer hört sich Mathe-Podcasts
eigentlich an? Also, wenn man jetzt so ein Mathe-Paper nimmt oder ein Mathe-Buch, kann
man sich ja manchmal wenigstens noch die schönen Bilder angucken, wenn da welche drin sind und man
die Beweise nicht lesen will. Dann habe ich das mal so ein bisschen über das Publikum nachgedacht.
Aber im Podcast weiß man eh nie, wer das hört, weil die Hörerinnen eigentlich nicht so getrackt
werden. Also vielleicht die IP-Adresse, wenn ihr das runterladet, obwohl die auch meistens dann
schnell wieder gelöscht wird. Aber wenn ihr jetzt Online-Shopping macht oder so, da weiß der
Online-Shop ja hinterher die Geschmacksrichtung eurer Zahnpasta und das ist aber im Podcast nicht
so. Also ich versuche irgendwie so ein Programm zu machen für Leute, die sagen, ja, Mathe war ich
eigentlich immer ganz gut, fand ich auch ganz interessant, aber hab das irgendwie nicht weiter
verfolgt. Oder welche, die es dann irgendwie doch weiter verfolgt haben und jetzt irgendwas
studieren zum Beispiel, wo auch Mathe drin ist, aber nicht Mathe der Fokus ist oder vielleicht doch
Mathe der Fokus ist. Ich denke, es steckt in so vielen Sachen Mathe drin, dass man das auch noch
mal ein bisschen aufdecken und verstehen kann. Und ich möchte auch selbst gerne neue Sachen lernen
und neue Sachen verstehen. Und wenn man daran jemanden teilhaben lassen kann, also euch in
diesem Fall, dann wäre das ja ganz prima. Kann natürlich auch passieren, dass es irgendwie
Expertinnen und Experten hören, also so irgendwie Profs oder so, die sind natürlich auch eingeladen,
sich das anzuhören. Aber dann, das macht mir ein bisschen Angst. Also man ist natürlich nicht
immer hundertprozentig korrekt und das Audioformat gibt es vielleicht auch nicht her, dass man es
perfektioniert hat, bevor man darüber spricht. Und dann stellt man das einfach so ins Netz und
dann hören sich das Leute an und denken, das ist ja gar nicht so, ist ja eigentlich ganz anders.
Und manchmal kennen die sich ja auch richtig aus und das ist dann natürlich ein Problem. Aber das
ist bei mir eingepreist, denn man kann sich so vorstellen, dass die meisten Sachen, die ich
erzähle, ich die selber erst gerade irgendwie erfahren habe, spannend fand und dann so ein
bisschen weiter verbreiten möchte. Und damit das jetzt nicht völlig inhaltsleer bleibt, habe ich
mir auch ein mathematisches Thema ausgedacht, was irgendwie am Anfang steht. Und am Anfang steht
der Existenzquantor. Der Existenzquantor. Vielleicht müsste ich hier noch mal so ein
bisschen mit Hall-Effekten irgendwie arbeiten. Das kommt dann in der Nachbearbeitung. Das ist
überhaupt interessant, wenn man überlegt, welcher Podcast so nur eine Person spricht. Es gibt
eigentlich einen Haufen Podcasts, wo sich zwei Leute unterhalten. Das ist eigentlich so, würde
ich sagen, das Standardformat des Podcasts. Und dann gibt es, wenn man im amerikanischen Raum so
ein bisschen rumhört, gibt es eben diese Storytelling-Podcasts. Und dann habe ich überlegt,
ob ich so einen Storytelling-Podcast für Mathematik irgendwie machen könnte. Das ist schon so ein
bisschen, wie ich darüber denke. So eine mathematische Geschichte erzählen, die kann man
ja auch erzählen. Aber was mir dann aufgefallen ist, dass diese Storytelling-Podcasts, die haben
halt meistens ein richtig gutes Drehbuch und die haben eine Crew dahinter und die haben Produktion
und die haben dann Kommentare, also nicht Kommentare, so Einspieler, nenne ich das mal so,
wo man irgendwie einen Effekt kriegt. Dahinter ist Musik und es ist eben eine Audioshow. Und
scheint mir irgendwie ziemlich aufwendig zu produzieren zu sein. Und dann kommen am Ende
auch immer die Credits. Ja, das Drehbuch ist von dem und die Show-Effekte sind die und noch
zusätzliche Recherche hier und da. Ja, keine Ahnung. Ich glaube nicht, dass ich da mal hinkomme.
Aber vielleicht will ja die ARD meinen Podcast mit übernehmen und naja, müssen wir erst mal
anfangen, bevor die ARD den übernimmt und den dann auf ARD-Standard produziert. Oder,
jetzt macht ja jeder Podcast. Ja, die Süddeutsche Zeitung hat einen Podcast,
und die ARD hat eine eigene Podcast-Player-App und so weiter. Naja, aber eigentlich wollte ich
ja über die Existenz reden. Jetzt existiert ja dieser Podcast und deswegen können wir mal über
die Existenz in der Mathematik reden. Es gibt viele Aussagen in der Mathematik, die einfach nur
behaupten, dass irgendwas existiert. Und das ist dann schon eine mathematische Einsicht. Oder halt
irgendwas nicht existiert. Vielleicht ist es sogar häufiger Nicht-Existenz. Es gibt kein Gegenbeispiel,
zum Beispiel. Könnte man fast sagen, jede mathematische Aussage, die allgemeingültig
ist, also irgendwie für alle Dinge gilt, sagt eigentlich, dass irgendwas nicht existiert,
nämlich das Gegenbeispiel. Das sind dann die gefeierten Sätze. Und in unserer Fachsprache
nutzen wir dafür Quantoren. Quant klingt irgendwie schon so nach Anzahl. Allerdings
ist es richtige Zählen in der Logik. Erst mal so ein bisschen außen vor. Das muss man erst mal
aufbauen, die Zahlen. Und mit so Quantoren, mit den zwei Quantoren, über die ich jetzt gerade rede,
kann man nur ausdrücken eins oder alle. Der Existenzquantor, der sagt, es gibt ein. Und
der Allquantor, der sagt, für alle gilt irgendwas. Und daraus kann man eben bestimmte Konstruktionen
machen, logische Konstruktionen. Aber erst mal ist der Existenzquantor nur eine Kurzschreibweise
für es existiert ein. Und da hat man sich so lustige Symbole, wenn man im Studium irgendwie
Mathe macht, höhere Mathematik, dann lernt man auch ganz viele lustige Symbole. Und dieser
Existenzquantor, das ist so ein E, großes E, also aber gespiegelt an dem Rücken des E's. Also man
macht eine Linie von oben nach unten, die durch den Rücken des E's geht und spiegelt das E da dran.
Also gehen die Striche auf einmal nach links statt nach rechts. Und das wird ausgesprochen,
es existiert ein. In der Mathematik ist es natürlich immer so, dass es es existiert ein,
kann es existiert ein oder zwei oder noch mehr, aber mindestens eins. Es existiert ein heißt,
es existiert mindestens eins. Das benutzt man dann zum Beispiel in irgendwelchen Aussagen.
Mal eine ganz einfache Aussage. Für alle geraden Zahlen gibt es, also wenn ich eine gerade Zahl n
habe, dann ist sie ja durch zwei teilbar. Also gibt es eine andere Zahl m, sodass wenn ich die
Zahl m mit zwei multipliziere, kriege ich meine erste Zahl n raus. Es sind genau die geraden
Zahlen eben die, die durch zwei teilbar sind, für die dieser Teiler existiert, dieses m. Und
das ist so eine Existenzaussage. Also kann man jetzt in der Definition der geraden Zahlen einbauen.
Für alle geraden Zahlen existiert so ein Teiler. Und der andere Quantor ist eben der Für-All-Quantor.
Den habe ich jetzt auch schon einfach benutzt, als ich gesagt habe, für alle geraden Zahlen.
Lustigerweise nimmt man da so ein gespiegeltes a in der Schreibweise. Also man nimmt das Großbuchstaben
a und man macht eine Linie, diesmal eine horizontale Linie, durch den Querbalken von
dem a und spiegelt dann so, dass die Spitze von dem a unten ist und die Beine so nach oben zeigen.
Und das nennt man den All-Quantor. Das ist eine Kurzschreibweise für diese Aussage für alle.
Und die beiden haben auch was miteinander zu tun. Wenn man noch die Negation dazunimmt,
sprachlich auch ziemlich eingängig, dass man eigentlich, wenn man die Logik aufbaut, braucht
man nur einen von diesen. Man braucht nur für alle oder es existiert einen. Und das andere kann man
sich damit zusammenbauen. Zum Beispiel, wenn man so eine Aussage hat, es existiert irgendein x,
welches p von x erfüllt. p von x ist jetzt irgendeine Eigenschaft, die von x abhängt.
Also ein Prädikat, würde man vielleicht sagen, in der Logik. Und wenn ein x existiert, welches p von
x erfüllt, dann heißt das, nicht für alle x gilt nicht p von x. In meinem zweiten Satz,
ich sag ihn nochmal, nicht für alle x gilt nicht p von x. Kommen zwei Nichts vor und eben dieses
für alle. Also aus meinem einen, es existiert ein x, was p von x erfüllt, sind zwei Nichts und ein
für alle geworden. Ein Nicht steht vor dem für alle, ein Nicht steht hinter dem für alle. Und
vielleicht, wenn man genau darüber nachdenkt, merkt man, dass das das Gleiche ist. Also es
existiert eins, ein x, welches p von x erfüllt, welches die Eigenschaft hat. Wir können es auch
blau nennen. Es existiert ein blaues x. Und das ist genau dann der Fall, wenn nicht für alle x gilt,
sie sind nicht blau. Das ist äquivalent. Und so kann man mit Hilfe von dem Nicht und dieser
logischen Negation die Existenzaussage auf so eine Für-alle-Aussage zurückführen. Und man
könnte es auch andersrum machen. Also eigentlich, wenn man die Logik aufbaut, braucht man nur einen
von den Quantoren. Aber diese ganzen Nichts sind ganz schön verwirrend, deswegen hat man lieber
beide. Und es war so, in der Mitte bis zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts war das ein großer
Schritt in die einfache Logik, die nur mit Aussagen arbeitet, noch so Variablen einzubauen. So wie ich
es eben mit meinem x gemacht habe. Man hat ja erstmal, kennt man ja vielleicht so diese
Aussagenlogik, die einfach nur Aussagen unterstützt. Und jede Aussage, die ist entweder
wahr oder falsch. Das ist ja sogar die Definition von einer Aussage. Also eine mathematische Aussage
ist irgendwie ein sprachliches Konstrukt, so ein Satz oder so, und die ist entweder wahr oder falsch.
Kriegt man immer diese griechischen Beispiele, weil das irgendwie auf die griechische Schule
zurückgeht. So wie Sokrates ist ein Grieche. Das ist irgendwie eine Aussage und die hat den
Wahrheitswert wahr. Und Werder Bremen ist deutscher Meister, ist auch eine Aussage, die hat aber den
Wahrheitswert falsch. Beides ist möglich, aber das Charakterisierende bei so einer Aussage ist eben,
dass sie einen von diesen beiden Wahrheitswerten hat. Wahr oder falsch und nichts anderes. Man kann
sich auch Aussagen überlegen, die sprachlich, also es sind keine Aussagen in diesem mathematischen
Sinne, die sprachlich zwar irgendwas bedeuten, aber eben nicht diesen Wahrheitswert eindeutig
zugeordnet haben. Sowas wie, mir ist ziemlich kalt. Mir ist ziemlich kalt, ist was, was ich sagen kann,
aber ob das jetzt wahr ist oder falsch oder es ist ziemlich kalt, ist noch besser. Mir ist ja so
subjektiv, aber wenn ich eine objektive Aussage mache, die aber nicht wohl definiert im logischen
Sinne ist, dann ist es eben keine mathematische Aussage. Wie, es ist ziemlich kalt. So, damit kann
man diese Aussagen nehmen und irgendwie verknüpfen mit und und oder und Negationen und so, aber man
kommt noch nicht so richtig weit. Und richtig weit kommt man, wenn man Variablen noch einführen
will, einführen kann. Zum Beispiel könnte man eine Variable x einführen und dann so eine Aussage
bilden, die von x abhängt. So was wie, machen wir mal ein mathematisches Beispiel, x ist durch 3 teilbar.
x ist durch 3 teilbar, ist eine Aussage, die hängt eben davon ab, was das x ist. Wenn x 9 ist, dann ist es wahr und wenn x 5 ist,
ist es eben nicht wahr. Und ich meine damit jetzt glatt teilbar im Sinne von ganzen Zahlen. Und so was
nennt man ein Prädikat. Und das Prädikat ist wie so eine Aussage mit einer Variable drin. Und wenn ich
die Variable bestimme, also festlege, was die sein soll, mit irgendwelchen Werten, also da gibt es
vorher bestimmten Wertebereich, in diesem Fall habe ich jetzt einfach natürliche Zahlen mal
angenommen, dann kommt da eben was raus. So, in der Mathematik sind viele Aussagen sind von der Form,
sind eigentlich so Prädikate, man nennt das dann zwar Aussagen, aber eigentlich in Wirklichkeit sind
solche Prädikate, also so Aussagen, die von irgendwas abhängen. Und wovon die abhängen,
das sind meistens Mengen, weil ja in der Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist. Und mit Hilfe von
diesen Quantoren, über die ich da vorgeredet habe, also der Existenzquantor und der Allquantor,
kann ich aus diesen Prädikaten aber wieder Aussagen machen. Also nehmen wir mal unser Prädikat, was wir
eben hatten, x ist durch drei teilbar. Jetzt schreibe ich da entweder, es existiert ein x oder
für alle x davor. Und dann ändere ich die Grammatik noch mal so ein bisschen, damit da
deutsche Sätze daraus werden. Aber ich kann daraus jetzt zwei Aussagen machen aus dem Prädikat. Die
erste Aussage ist mit dem Existenzquantor. Es existiert ein x, welches durch drei teilbar ist.
Das ist jetzt eine Aussage, in der das x nicht mehr variabel ist, weil ich ja schon dieses
es existiert ein davor geschrieben habe. In diesem Gesamtkonstrukt ist das x nicht mehr variabel,
sondern ist jetzt gebunden. Und die Aussage ist wahr, es existiert eben eine Zahl, die durch drei
teilbar ist, zum Beispiel 3 oder 6 oder 9. Wir können die auch alle angeben, aber das ist dem
Existenzquantor egal. Der will nur, dass das existiert. Man kann auch den für alle Quantor
davor schreiben, denn es ist auch gebunden. Da würde man sagen, für alle x gilt, x ist durch drei
teilbar oder kurz alle x sind durch drei teilbar. Und wenn x jetzt irgendeine natürliche Zahl ist,
dann ist es nicht richtig. Es ist eben eine falsche Aussage, aber es ist trotzdem eine Aussage. Daher
kann man den eindeutigen Wahrheitswert zuordnen. Also ein Prädikat zu bilden, ist eine Aussage zu
nehmen und daraus so eine Art Funktion zu machen. Eine Funktion, die von Variablen abhängt. Und die
Quantoren sind das Umgekehrte. Die machen aus diesen freien Variablen die Binden, die wir machen
Aussagen. Und wenn man jetzt zu der Aussagenlogik von den Griechen noch die Quantoren hinzunimmt,
enthält man diese Prädikatenlogik erster Stufe. Erste Stufe klingt, als ob es da noch mehr Stufen
gibt. Die erste Stufe liegt daran, dass man die Quantoren auch wieder einschränkt. Die dürfen eben
nur über die Variablen der Theorie quantifizieren, aber nicht über Prädikate selbst. Also in der
zweiten Stufe, in der höheren Stufe, sind die Quantoren mächtiger. Was ich zum Beispiel in
der ersten Stufe nicht sagen kann, ist, es gibt ein Prädikat, es existiert ein Prädikat, das für
alle n oder alle x wahr ist, die durch 3 teilbar sind. Okay? Also da habe ich gesagt, es existiert
ein Prädikat. Und da quantifiziere ich über, da steht der Existenzquantum über Prädikate. Das
wäre dann nicht mehr erster Stufe, sondern zweiter Stufe. Und naja, jetzt kann man, das ist so eine
Gedankenübung, was jetzt vielleicht die nächste Stufe sein könnte. Und die machen wir jetzt aber
nicht. Denn die Prädikatenlogik erster Stufe, das ist so die Standardtheorie. Das ist so wie
so die Drosophila, die Fruchtfliege der Mathematik oder der Logik. Ja, also da,
alle arbeiten eigentlich mit der Prädikatenlogik erster Stufe. Deswegen lernt man die auch in der
ersten Woche von einer Mathevorlesung, lernt man damit umzugehen, mit diesen Existenzquantoren und
mit diesen Aussagen, die von irgendwas abhängen, also Prädikaten eigentlich. So, jetzt können wir
den Existenzquantor. Und jetzt kommt noch ein Prädikat, was vielleicht Leute kennen aus ihrer
Schulausbildung oder weil sie irgendwie mal Mathe machen mussten. Und dann geht es um die
quadratische Gleichung. Nehmen wir mal zwei Zahlen, zwei reelle Zahlen jetzt, p und q. p und q sind
irgendwelche reellen Zahlen, so wie 17 oder 15,259. Obwohl das ja ziemlich spezielle reelle Zahlen sind,
aber sagen wir mal so zwei reelle Zahlen, p und q. Und jetzt mein Prädikat, Achtung, aufgepasst, jetzt
kommt ein Prädikat, also eine Aussage, die von einem x abhängt. Und das x ist jetzt auch eine
reelle Zahl. Jetzt kommt noch eine dritte reelle Zahl, die heißt x, die ist unbekannt. x wie unbekannt. Und mein
Prädikat ist, es existiert eine reelle Zahl x, also ein Existenzquantor ist dabei. Es existiert
eine reelle Zahl x, sodass x² plus px plus q Null ergibt. Okay, was habe ich gesagt? x² plus px plus q
gleich Null. Das ist doch die quadratische Gleichung, wie wir sie in der Schule kennengelernt haben. Weiß
nicht, welche Klasse, vielleicht Sechste oder so oder kenne mich nicht so aus mit dem Lehrplan. Und
also was ich eigentlich gesagt habe, mein Prädikat ist eigentlich, es existiert eine reelle Zahl x,
die die quadratische Gleichung löst, wobei die Koeffizienten p und q sind. Und die sind jetzt
einfach irgendwie vorgegeben. Macht das abhängig von diesen Koeffizienten. Und wir kennen ja die
Lösungsformel. Also wir fragen jetzt, existiert eine reelle Lösung für die quadratische Gleichung?
Wenn man sich jetzt an die Schule zurückerinnert und man da aufgepasst hat, der weiß, dass es da
eine Lösungsformel gibt. Und die heißt in Norddeutschland, heißt die glaube ich pq-Formel,
in Bayern heißt die Mitternachtsformel und das kann regional verschieden sein, wie die heißt,
aber man sollte sie wahrscheinlich wissen. Und wenn das x² plus px plus q lautet, dann ist die
Formel, dass die beiden Wurzeln dieser Gleichung, minus p halbe plus minus und dann eine große
Wurzel. Und die Wurzel ist p² viertel minus q. Und dieses plus minus bedeutet also, eine Lösung ist,
wenn ich da diesen Ausdruck der Wurzel dazu addiere und einen kriege ich, wenn ich das abziehe. Jetzt
war mein Existenzquanto, da hat er gefragt, ob es eine reelle Lösung gibt. Okay, es existiert eine
reelle Zahl x, die die quadratische Gleichung löst. Wenn jetzt unter der Wurzel ein negativer Ausdruck
steht, dann muss ich eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Da strecke ich entweder die Füße von
mir, weil ich es noch nicht gelernt habe, oder ich weiß, dass es eine komplexe Zahl, eine imaginäre
Zahl ergibt. Also jedenfalls, wenn der Ausdruck unter der Wurzel p² viertel minus q, wenn er negativ
ist, dann komme ich hier nicht weiter, habe ich auch keine reelle Lösung. Wenn er aber nicht negativ
ist, also 0 oder positiv, dann habe ich eine reelle Lösung oder sogar zwei reelle Lösungen, je nachdem,
ob er 0 ist oder größer. Es ist nämlich die Diskriminante, unter der Wurzel steht die Diskriminante. Aber
damit können wir unser Prädikat lösen. Es existiert eine reelle Zahl, die die quadratische Gleichung
löst. Ja, wir wissen jetzt, wann das ist. Das ist nämlich genau, wenn p² viertel minus q größer
als 0 ist oder 0, größer gleich 0. So, was haben wir jetzt gemacht? Wir haben jetzt eine
äquivalente Formel gefunden, die nur noch p und q benutzt, die zu der ersten völlig logisch
äquivalent ist. Weil durch die Lösungsformel weiß ich, es existiert eine reelle Zahl x, die diese
quadratische Gleichung löst, genau dann, wenn p² viertel minus q nicht negativ ist. Und da kommt
eben das x nicht mehr vor. Und das nennt man die Quantoren-Elimination. Wir haben jetzt den
Quantor, mithilfe unseres Wissens, haben wir den Quantor eliminiert. Also erst hatten wir eine
Existenzaussage, da war das x eine gebundene Variable und p und q kamen noch vor. Und jetzt
haben wir kein x mehr und kein Quantor mehr. Wir haben eine Aussage komplett ohne Quantoren. Und
die ist äquivalent. Also eine Aussage, die den gleichen Wahrheitswert hat, also in diesem Fall
ist es wieder ein Prädikat, ein Prädikat, was von p und q abhängt, aber es hat den gleichen
Wahrheitswert, wie die ursprüngliche Aussage, aber keine Quantoren mehr. Und jetzt ist einer
meiner liebsten Sätze, der Mathematik sagt, wenn ich die Theorie oder diese Probleme dieser Art
betrachte. Also ich habe Variablen, die für reelle Zahlen stehen und irgendwelche Quantoren.
Existiert für alle und dann habe ich noch, was kann man mit reellen Zahlen so machen,
Addition, Multiplikation von diesen Variablen, größer Gleichzeichen, kleiner Gleichzeichen,
ist Gleichzeichen, geteilt durch Minus natürlich. Also die Rechenoperationen und Vergleich mit
anderen reellen Zahlen oder anderen Ausdrücken. Wenn ich daraus die Theorie baue, so wie ich sie
zum Beispiel in irgendwelche Formeln hinschreibe, so was, ich könnte jetzt auch schreiben,
es gibt ein x und es gibt auch noch ein y, so dass x² plus y² gleich 1 ist und gleichzeitig x
mal y größer gleich 1 und dann noch irgendwelche anderen Ausdrücke, aber Ausdrücke, die eben
größer gleich, kleiner gleich, gleich und meine Variablen benutzen, dann kann ich immer, und das
sagt der Satz, der Satz von Tarski-Seidenberg, dann kann ich immer eine Formel finden, die
äquivalent ist und keine Quantoren mehr enthält, so wie ich es eben mit der quadratischen Gleichung
gemacht habe. Es existiert eine Lösung für die quadratische Gleichung, habe ich ausgedrückt
durch p² viertel minus q ist größer gleich 0 und das ist völlig unabhängig von dem Ausdruck.
Ich kann immer in dieser Theorie der reellen Zahlen die Quantoren eliminieren und in meiner
ursprünglichen, in meinem quadratischen Gleichung hatte ich jetzt noch diese zwei Variablen p und q,
die waren ja nicht gebunden, also die habe ich einfach vorher vorgegeben, also eigentlich war
es wieder alles, alles war ein Prädikat, in dem p und q noch freie Variablen waren und wenn ich
jetzt keine von diesen freien Variablen habe, dann ist mein endgültiger Ausdruck, ist eine Aussage,
die gar keine Variablen mehr enthält. Also diese Aussage kann dann nur noch die Konstanten der
Theorie haben oder eben sowas wie wahr oder falsch sein. Das bedeutet auch, dass dieser Satz
sagt, man kann diese Gleichung, so ein Prädikat, was Quantoren drin hat, durch Quantoren-Elimination
auf entweder wahr oder falsch umformen, äquivalent. Es ist eben entweder wahr oder falsch, das sagt
auch, dass das eine Aussage ist. Und der Satz ist noch besser, der Satz sagt nicht nur das,
der Satz sagt auch oder dazugehört auch zu dieser Theorie, dass man diese ganzen Sachen berechnen
kann. Also es gibt ein Computerprogramm, ist jetzt wieder so eins, wo man nicht über Effizienz reden
sollte, es gibt ein Computerprogramm, was die eine Formel aus der anderen Formel ausrechnet. Also
diese, dass man irgendwie schlau war, es war jetzt gar nicht so viel menschliche Intuition nötig,
um die quadratische Gleichung zu lösen. Also diese Existenz der Lösung der quadratischen
Gleichung p²viertel-q größer gleich 0, die hätte man auch mit diesem Computerprogramm
ausrechnen können. Das kann man auch, also das ist jetzt auch kein Problem, an dem dieses
Programm verzweifeln würde, auch wenn es nicht das effizienteste Programm ist, das man sich
vorstellen kann und auch nicht sein kann, weil diese Probleme eben sehr schwer sind, diese
Umformungsprobleme. Also kann man das algorithmisch berechnen. Und dieser Algorithmus, wenn es keine
freien Variablen mehr gibt, wie dieses p und q, würde da eben einfach wahr oder falsch ausgeben.
Und damit kann man, und das ist auch was, was ich eigentlich ständig in meiner Forschung benutze,
viele mathematische Probleme kann man irgendwie als so ein Ungleichungssystem schreiben. Also
man hat irgendwelche Variablen, x, y, z, und fragt sich, gibt es irgendwelche reellen Zahlen,
die ich da einsetzen kann, sodass irgendwelche Ungleichungssysteme gelten. Und viele Probleme
aus der angewandten Mathematik und auch aus der Algebra lassen sich eben als solche
Ungleichungssysteme für reelle Zahlen schreiben. Sowas wie x² mal y soll größer gleich 0 sein
und y²-4 soll zusätzlich noch gleich 7 sein und und so weiter und so fort. Und im Prinzip kann
man so ein Ungleichungssystem dann in das Computerprogramm reinstecken und das Computerprogramm
kommt dann zurück mit, ist entweder wahr oder falsch. Es kommt eben mit einer äquivalenten
Aussage zurück, die keine Quantoren mehr enthält. Es existiert eine Lösung für mein
Ungleichungssystem, schreibe ich hin, es existiert ein reelles x, es existiert ein reelles y, es
existiert ein reelles z, sodass dann mein Ungleichungssystem und dann sage ich hier,
liebes Computerprogramm, machen wir mal daraus eine Variante ohne es existiert ein, es existiert
ein, es existiert ein und dann rechnet das ein paar Sekunden, Minuten, Jahre oder Äonen und
kommt zurück mit entweder wahr oder falsch. Und wenn ich da Parameter drin hatte, so wie die p
und q, dann hängt die Antwort eben von den p und q ab. Dann bekomme ich zurück ein anderes
Ungleichungssystem, was nicht mehr mein x, y und z, sondern nur noch die Parameter p und q
enthält. Und das würde ich dann vielleicht machen mit so chemischen Konzentrationen. Also ich habe
so ein Modell, chemisches Reaktionsnetzwerk oder so und ich frage mich, ob es da zwei stationäre
Punkte gibt und dann drücke ich das eben als so ein Ungleichungssystem aus und versuche mit dem
Computer da voranzukommen. Ja, okay, das war also der Existenzquantor und die quadratische Gleichung.
Insofern freue ich mich jetzt. Meine Assoziation ist, dass dieser Podcast jetzt existiert und ihr
vielleicht ein bisschen was über den Existenzquantor und seine Elimination wisst. Also dann bis
vielleicht beim nächsten Mal im eigenen Raum. Ciao!