Thomas Kahle
In diesem Jahr hat (neben 3 weiteren Preisträgern) Maryna Viazovska die Fieldsmedaille für die Lösung eines 8-dimensionalen Packungsproblems erhalten. Ich nehme euch mit in eine kleine Rechnung, die einen seltsamen Effekt mit Kugeln in höheren Dimensionen verdeutlicht. Wenn ihr eure Podcasts immer auf 2,5-facher Geschwindigkeit hört, ist vielleicht hier eine gute Gelegenheit mal auf 1,5 zu stellen und mitzurechnen. Mit dem wirklichen Beweis hat meine Geschichte übrigens gar nichts zu tun, aber der basiert auch kurioserweise auf Methoden aus der Zahlentheorie.
Die erwähnte Folge von π=3 ist hinter diesem Link versteckt, und da ist noch ein Quanta-Artikel von 2016 zu diesem Thema.
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Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
Ja, hallo zusammen! Hier ist wieder der Eigenraum, begrüße euch, freue mich, dass ihr wieder
eingeschaltet habt, wenn ich euch hier ein bisschen was über Mathe erzähle und heute
geht's in höhere Dimensionen. Und eigentlich wollte ich ja immer mittwochs erscheinen,
habe ich mir zumindest für den Anfang so vorgenommen, aber das ist jetzt schon mal
nichts geworden, da ich keine Stimme hatte und auch viele Sachen zu tun. Naja, aber
spätestens im Oktober, wenn ich wieder meine vier Live-Shows pro Woche, die sogenannten
Vorlesungen mache, werde ich sowieso keinen wöchentlichen Rhythmus mehr einhalten können,
aber ich produziere euch hier Folgen so schnell es geht und es die Stimme zulässt. Und jetzt
ist die Stimme wieder da und deswegen gibt es auch wieder einen neuen Eigenraum, also
willkommen dazu! Heute geht's, wie gerade gesagt, um höhere Dimensionen und auch einen
tollen Preis, einen Preis für Mathematik. Und als erstes möchte ich mit euch ein kleines
Gedankenexperiment machen, also ein bisschen selber nachdenken. Und mit den hohen Dimensionen
ist das echt, echt manchmal ganz schön verwirrend. Und deswegen machen wir jetzt erstmal einen
kleinen Versuch, eine kleine Rechnung, eine kleine Knobelzeit. Huch, was war das denn?
Das war jetzt einmal von meinen neuen Einspielern. Ich habe mal ein bisschen rumprobiert, ich
wollte mal ein bisschen mit der Zeit gehen. Ich habe auch festgestellt, dass die Podcasts,
wo Leute alleine reden, viele solche Einspieler haben oder irgendwelche O-Töne und dachte,
ich probiere das auch mal aus. Na gut, es war vielleicht noch ein bisschen anfängermäßig,
aber mal sehen, wie weit ich damit komme. Rapopos Technik. Ich versuche jetzt auch,
Podcasts sind natürlich ein Audioformat, aber das, was jetzt kommt, da muss man sich
so ein bisschen was vorstellen. Und um euch das Vorstellen zu erleichtern, könnt ihr
auch mal auf die Bilder schauen, die euch euer Podcast-Player anzeigt, wenn euer Podcast-Player
das unterstützt. Die enthalten so ein paar Visualisierungen von dem, was ich hier erzähle.
Und wenn da gar nichts angezeigt wird, sondern irgendwie nur das Podcast-Logo oder so, dann
braucht ihr irgendwie einen anderen Podcast-Player. Müsst ihr euch mal ein bisschen umschauen,
wo Kapitelbilder angezeigt werden. Okay, also jetzt geht es los mit der, nochmal, ich muss das nochmal machen.
So, also wir machen eine Rechnung, in der ich euch zeige, dass in höheren Dimensionen komische,
verrückte Sachen passieren können. Okay? Und wir fangen mal ganz einfach an, in einer
schönen Dimension, die wir uns vorstellen können, nämlich Dimension 2. Dimension 2
heißt also so ein ebenes Blatt Papier oder so, also eine Ebene, die vor uns liegt. Und
wir stellen uns vor, wir haben vier Kreise der gleichen Größe. Sagen wir mal Radius
1. Also vier Kreise, die einen Radius 1, Durchmesser 2 haben. Und wir legen die so aneinander,
dass die so ein schönes Quadrat bilden, die Mittelpunkte. Also wir legen zwei von diesen
Kreisen nebeneinander, sodass die sich berühren. Und dann noch zwei nebeneinander, direkt da
drunter, sodass die Kreise so ein Quadrat bilden. Und das könnt ihr jetzt auch auf
eurer Podcast-App ein Bild davon sehen. So, dann sind diese vier Kreise jetzt enthalten
in einem Quadrat der Seitenlänge. Rechnen wir mal kurz nach. Der Radius ist 1 von einer
Kugel, der Durchmesser 2. Und die Kantenlänge des Quadrats, was die vier Kreise umschließt,
ist demzufolge 4. Okay, also haben wir ein Quadrat der Kantenlänge 4. Und in der Mitte
zwischen den vier Kreisen ist jetzt noch Platz für einen kleinen Kreis. Und ich will
jetzt mal berechnen, was der Radius von dem kleinen Kreis ist. Und dann will ich das Ganze
in höheren Dimensionen machen. Und um den Radius des kleinen Kreises zu berechnen, schaue
ich mir die Diagonale des Quadrats an. Die Diagonale des Quadrats hat die Länge nach
Pythagoras, die können wir mit dem Satz von Pythagoras ausrechnen, indem wir eine Kante
ist 4 und noch eine Kante ist 4. Also kriegen wir 4 Quadrat plus 4 Quadrat ist das Quadrat
von der Diagonale nach dem Satz von Pythagoras. Und 4 Quadrat plus 4 Quadrat ist 2 mal 4 Quadrat,
ist also die Länge der Diagonale Wurzel 2 mal 4. Und jetzt rechnen wir den Radius der
kleinen Kugel aus, indem wir uns diese Diagonale mal anschauen. Wenn wir auf der Diagonalen
lang laufen, dann passt in die, sagen wir mal, wir fangen links unten an, in die linke
untere Ecke, würde auch noch so eine kleine Kugel passen. Ich könnte mir ja dieses Muster
der kleinen Kugeln fortgesetzt vorstellen, würde links unten noch eine kleine Kugel
passen. Also um genau zu sein, würde dort in unser ursprüngliches Quadrat ein Viertel
von dieser kleinen Kugel passen. Und die würde auch wieder die linke untere Kugel berühren.
Das heißt, auf der Diagonale, wenn ich so von der Diagonale entlang marschiere, habe
ich erstmal einen Radius der kleinen Kugel, dann einen Radius der großen Kugel, wenn
ich in der großen Kugel drin bin, noch einen Radius der großen Kugel. Jetzt bin ich durch
die linke untere große Kugel durchmarschiert. Jetzt kommt direkt die kleine Kugel, also
der Kreis. Wenn ich Kugel sage, meine ich jetzt immer Kreis, aber gleich sind es Kugeln
in höheren Dimensionen. Das ist wirklich so eine Betriebskrankheit und da zahlt keine
Krankenkasse für. Ich denke an das allgemeine Konzept und egal, wenn es n-dimensional ist,
würde ich es immer Kugel nennen und dann würde es zurück übertragen, obwohl ich
für eine zweidimensionale Kugel das spezielle Wort Kreis habe, sage ich trotzdem einfach
Kugel. Ja, tut mir leid, aber kann ich nichts gegen machen. Aber zurück zu unserer Berechnung.
Also wir sind links unten losmarschiert, haben einen Radius der kleinen Kugel, dann
die beiden Radien der großen Kugel, dann kommt die kleine Kugel, also zwei Radien von
der, dann kommen wieder zwei Radien von der nächsten größeren Kugel und dann passt
nochmal genau ein Radius von so einer kleinen Kugel hin. Insgesamt habe ich also vier Radien
von der großen Kugel und vier Radien von der kleinen Kugel. Okay, habe das alles mitgerechnet?
Habe ich mich ja auch nicht verrechnet. Also vier mal der große Radius plus vier mal der
kleine Radius. Jetzt kann ich, ergibt die Länge der Diagonale, die Wurzel 2 mal 4 ist.
Also bekomme ich für den kleinen Radius Wurzel 2 minus 1, weil ich erst die ganze Gleichung
durch 4 teile und dann bleibt Wurzel 2 minus 1 ist so ungefähr 0,4 als Radius für die
kleine Kugel über. Okay, soweit so gut. Jetzt machen wir das Ganze dreidimensional
oder gleich n-dimensional. Ach, wir schaffen das schon gleich n-dimensional. Jetzt nehmen
wir einen Würfel. Wer möchte, kann sich das einfach dreidimensional vorstellen. Ich
stelle mir das eigentlich auch genau dreidimensional vor. Jetzt nehmen wir einen Würfel und arrangieren
in so einem n-dimensionalen Würfel 2 hoch n Kugeln mit Radius 1. Und wir sind n-dimensional.
Also z.B. im zweidimensionalen habe ich 2 hoch 2 gleich 4 Kreise platziert. Im dreidimensionalen
platziere ich 2 hoch 3 gleich 8 Kugeln an den Ecken eines Würfels oder in die Ecken
eines dreidimensionalen Würfels. Und in 9 Dimensionen platziere ich eben 2 hoch 9 gleich
512 Kugeln an die Ecken des neundimensionalen Würfels. Und es entsteht wieder so eine Konfiguration.
Die dreidimensionale Variante davon könnt ihr jetzt auf dem Kapitelbild sehen. Es entsteht
wieder so eine Konfiguration, wo in die Mitte eine Kugel passt, die dann alle anderen Kugeln
berührt. Und ich will wieder den Radius der kleinen Kugel berechnen, die so groß ist,
dass sie noch genau in das Loch in der Mitte reinpasst. Und das mache ich wieder über
die Diagonale. Dazu muss ich erstmal wissen, wie lang die Diagonale im n-dimensionalen Würfel
ist. Und das kann man auch mit dem Pythagoras sich ganz leicht überlegen. Wir hatten ja
eben die Diagonale im Quadrat schon ausgerechnet. Jetzt stellen wir uns das Quadrat als Boden
vor. Und die Raumdiagonale, da benutzen wir einen Satz von Pythagoras mit so einer Diagonale
im Boden und dann noch einer Kante, die hoch geht. Also müssen wir Wurzel 2 mal 4 plus
noch eine Wurzel 2 mal 4 ins Quadrat plus noch eine 4 Quadrat ergibt diese Diagonale
ins Quadrat. Also haben wir im dreidimensionalen einfach Wurzel 3 mal 4 als die Länge der
Diagonalen. Und das kann man einfach so fortsetzen und bekommt für den n-dimensionalen Würfel
eine Länge von Wurzel n mal 4. Für unseren Würfel der Kantenlänge 4 haben wir eine
Länge der Diagonale Wurzel n mal 4. Und auf dieser Diagonalen befinden sich jetzt genau
wie vorher 4 Radien von der großen Kugel und 4 Radien von der kleinen Kugel. Und was
passiert jetzt? Der Radius von der großen Kugel ist 1 und für den Radius von der kleinen
Kugel bleibt dann noch übrig Wurzel n minus 1. Der Radius der kleinen Kugel ist Wurzel
n minus 1. Und jetzt was komisches passiert. Wurzel n, das wächst ja in der Dimension.
Also der Radius der großen Kugel, der ist immer 1. Also meine ganz vielen großen Kugeln,
die ich mir eben noch als große Kugel vorgestellt habe, die haben immer den Radius 1. Ich nehme
nur immer mehr davon. Je höher die Dimension, desto mehr davon muss ich nehmen. Aber der
Radius der kleinen Kugel, der wächst mit n, der wächst mit der Dimension. Okay, Wurzel
n minus 1, Wurzel n minus 1. Da könnte ich ja mal für n eine Zahl einsetzen, die eine
Quadratzahl ist. Zum Beispiel 9 ist eine Quadratzahl. Wurzel aus 9 ist also 3 minus 1 ergibt 2. Moment
mal, das heißt bei Dimension 9 hat die kleine Kugel den Radius 2 und den Durchmesser 4.
Das heißt schon den doppelten Radius von den vormals großen Kugeln. Also diese Kugel,
die in die Mitte reinpasst, die hat immer mehr Platz. Und in Dimension 9 ist es genau
so, dass die den Rand von diesem umgebenden Quadrat schon berührt. Aber es wird noch
schlimmer. In Dimension 10 hat meine Wurzel 10 minus 1 ist schon mehr als 2. Das heißt
in Dimension 10 ragt die schon über dieses umgebende Quadrat hinaus. Also in Dimension
10 habe ich 1024 Kugeln an den Ecken von meinem Quadrat und in der Mitte passt noch
eine kleine Kugel rein und die ragt über diesen Würfel hinaus. Und das ist so ein
ganz kurioser Dimensionseffekt. Also ich habe da ganz schön Schwierigkeiten, mir das vorzustellen.
Ihr auch? Ich hoffe, ihr konntet der Rechnung ein bisschen folgen. Also man nimmt wieder
die Diagonale, schaut sich an, was da für Radien kommen. Also die Diagonale lässt sich
füllen mit viermal dem Radius der Eckkugel und viermal dem Radius der Mittelkugel und
man bekommt eben, dass die Mittelkugel immer größer wird, je größer die Dimension ist.
Verrückt, oder? Das Ganze soll jedenfalls verdeutlichen, dass man mit hohen Dimensionen
aufpassen muss. Ich erzähle gerne am Anfang vom Studium, im Mathe-Studium, dass höhere
Dimensionen eigentlich genauso behandelt werden wie niedrige Dimensionen. Man hat dann statt
dem r hoch 3, unserem dreidimensionalen Raum, hat man den r hoch n und da rechnet man eben
nach genau den gleichen Gesetzen, Vektorraumgesetzen oder so und hat einfach n Dimensionen statt
3. Aber diese ganze, wie die Mathematik funktioniert, ist gleich. Aber irgendwie ist es doch nicht
immer so. Man hat doch Sondereffekte. Und worüber ich jetzt erzählen will, sind Kugelpackungen.
Kugelpackungen bedeutet, dass man Kugeln nimmt und die versucht, gleich große Kugeln, sagen
wir mal, und die versucht, so dicht wie möglich zu packen. Ich habe schon mal einen Podcast
darüber gemacht. Ich habe nämlich noch einen anderen Podcast, der heißt Piece genau 3 mit
der Petra Schwer zusammen. Und da gibt es auch eine Folge, die heißt Orangenstapeln,
die habe ich auch mal verlinkt. Und da geht es um das Kugelpackungsproblem im dreidimensionalen
Raum. Ist auch eine ziemlich interessante Geschichte, die ihr euch mal anhören könnt.
Weil die beste Art und Weise, Kugeln im dreidimensionalen Raum, also zum Beispiel Schneebälle für eine
Schneeballschlacht oder Orangen, die man verkaufen will, wenn die alle gleich groß sind, zu
stapeln, die ist schon seit dem 17. Jahrhundert bekannt. Und es ist auch nicht so schwer.
Man nimmt einfach so, man macht einfach so eine zweidimensionale Lage, die so dicht wie
möglich ist. Die sieht so aus wie, wenn man da drauf schaut, wie das, was wir eben
gemacht haben im zweidimensionalen. Also man nimmt einmal die Kugeln und packt die so in
so ein rechtwinkliges Gitter. Und letztendlich entstehen da so Mulden. Legt man die Mulden
Orangen rein, dann legt man da wieder so ein Gitter drauf und gibt es ganz schöne Visualisierungen
auf Wikipedia. Und man stellt fest, dass man damit mit der optimalen Packung 74 Prozent
des Raums mit Kugeln füllen kann. Und die Frage war lange Zeit, ob das wirklich das
Beste ist oder ob es noch eine bessere Packung gibt. Und hierbei geht es jetzt immer darum,
dass dieses, es gibt jetzt keinen Rand oder keine Kiste, in die man die Kugeln reinpacken
will, sondern man untersucht so ein Muster, das sich in alle Richtungen beliebig weit
fortsetzt. Also das Interessante an der Geschichte ist, dass der Beweis, dass das die optimale
Packung ist, so wie die Leute es schon seit dem 17. Jahrhundert vermutet haben und machen,
dass der wirklich optimal ist. Der erfordert einen heftigen Computereinsatz und wurde von
Thomas Hales geführt, erst im Ende des 20. Jahrhunderts oder Anfang des 21. Weiß ich
nicht mehr so genau. Aber das könnt ihr dann in dieser Folge Orangen stapeln. Mal hören.
Worauf ich jetzt noch hinaus will, ist, dass man dieses Packungsproblem, wie packt man
Kugeln, dass man es eben auch in höheren Dimensionen betrachten kann. Und jetzt auf
einmal kommt es einem gar nicht mehr so komisch vor, dass da irgendwas seltsames passieren
kann. Zum Beispiel in Dimensionen 8, 9 oder 10. Denn wie wir gerade in unserer kleinen
Rechnung in der Knobelzeit gesehen haben, verhalten sich höhere Dimensionen, gerade
bei solchen Einschätzungen, wie verhalten sich die Volumina von Würfeln im Vergleich
zu den Volumina von Kugeln und wie lassen sich Kugeln arrangieren, kann eben nochmal
was komisches passieren. Jetzt denkt man vielleicht, dass es nicht so praktisch ist,
8-dimensionale Orangen zu stapeln oder 8-dimensionale Schneebälle. Ist jetzt nicht wirklich praxisrelevant
für das Stapeln von irgendwelchen Dingen. Aber wie es bei der Mathematik immer so ist,
findet man auch dafür irgendwelche Anwendungen. Oder man will es einfach wissen, um generell
Techniken zu entwickeln, um solche Probleme behandeln zu können, unabhängig von der
Dimension. Und man kann zum Beispiel auch an Datenübertragung denken. Und was man da
packt, sind Informationen. Die Informationen liegen irgendwie so an den Mittelpunkten der
Kugeln, könnte man sich vorstellen. Und man will die irgendwie so packen, dass beim Übertragungsfehler
da wird so eine Information vielleicht ein Stück verrückt innerhalb der Kugel. Aber
hinterher will man immer noch sagen, zu welcher Information, zu welcher Kugel man eigentlich
jetzt was empfangen hat, im Rahmen von so einer Fehlerdetektion oder Fehlerkorrektur.
Und es ist auf jeden Fall nützlich und praktisch, da bessere Methoden zu entwickeln für auch
hochdimensionale Kugelpackung. Obwohl das natürlich dann technisch irgendwie manchmal
doch ganz andere Probleme sind. Aber es hat jedenfalls damit zu tun. Und wenn man erstmal
so ein schönes Problem gefunden hat, dann will man natürlich wissen, wie es geht. Am
liebsten in jeder Dimension. Und man kann versuchen, dieses n-dimensionale Packen genauso
wie das dreidimensionale Packen aufzubauen. Man nimmt immer die in einer Dimension niedriger,
so wie wir das dreidimensionale Packen gemacht haben. Wir nehmen eine Lage, eine zweidimensionale
Lage, legen noch was drauf und dann nehmen wir wieder eine zweidimensionale Lage. Also
wir bauen das dreidimensionale Packen aus zweidimensionalen Packen auf. Und so kann
man auch das achtdimensionale Packen zum Beispiel so aufbauen, dass man erst siebendimensional
packt und dann mehrere Schichten davon macht, die irgendwie geeignet zusammenpassen. Und
hier ist es beim Packen eben genauso, dass in Dimension 8 was Neues passiert. Also man
nimmt, es gibt so eine Standardpackung, die läuft unter dem Label A8, was auch immer
das jetzt sein mag, was das immer für ein A sein mag. Und genau in Dimension 8 passiert
sowas wie in unserer kleinen Knobelaufgabe am Anfang, dass in Löcher, die es in dieser
Packung, in dieser Standardpackung gibt, auf einmal noch genau eine Kugel reinpasst. Und
es entsteht eine neue Packung. Wenn man dann diese ganzen Löcher mit noch mehr Kugeln
füllt, bekommt man eine hochsymmetrische Packung, die genau ab Dimension 8 möglich
ist und existiert. Und dieses Arrangement von Kugeln und diese Symmetrie läuft unter
dem Label E8. E8 ist so ein geheimes Codewort. Wenn ihr mal auf einer Party mit lauter Mathematikerinnen
seid, dann könnt ihr einfach mal E8 sagen und gucken, was passiert. Da sind manche ganz
aus dem Häuschen und können lange Geschichten erzählen. Es ist eben so eine Symmetrie,
die in ganz vielen Bereichen der Mathematik auftaucht, Gruppentheorie, Wurzelsysteme und
eben auch hier in den Packungsproblemen. Und diese E8-Packung, die hatte man schon
entdeckt. Und da war es wieder so, dass man eine Vermutung hatte, dass die die optimale
Packung ist. Und die konnte erst 2016 bewiesen werden. Und interessanterweise gab es vorher
schon einen Beweis, dass wenn es noch eine bessere Packung gibt als diese E8-Packung in
8 Dimensionen, dann kann die nur um einen Faktor 0,000000000000000000000000000000000000000
und dann eine 1, also 0,0000000000000000000000000000000000000000000 besser sein. Also die Dichte, das Verhältnis
von wo ist Kugel und wo ist Luft in 8 Dimensionen, von der optimalen Packung kann höchstens
um 0,0000000000000000000000000000000 Prozent besser sein, als die von der E8 Packung.
Also ich denke für jede und jeden die vielleicht aus einem praktischen Standpunkt aussehen,
auch wenn es 8 Dimensional ist, würde man denken okay, das sieht auch sehr danach aus
ist ob das das Optimum ist und selbst wenn ist das irgendwie nicht mehr relevant. Denn
wenn man packen will dann nimmt man einfach dieses E8 und nimmt diesen kleinen Fehler
mit auf. Aber für die Mathematik ist das natürlich nicht ausreichend. Das Problem
ist nicht gelöst. Man will es on the nose. Man will wissen ist E8 optimal oder nicht
und es stellt sich heraus E8 ist optimal. 2016 wurde das bewiesen von Marina Vyasovska,
einer ukrainischen Mathematikerin und dafür hat sie in diesem Jahr die Fields Medaille
bekommen 2022. Das ist so ziemlich das Beste was es an Mathematikpreisen gibt. Also ein
besonderer Mathematikpreis, der alle vier Jahre ungefähr viermal vergeben wird und
den kann man nur kriegen, wenn man noch unter 40 ist. Das ist so eine komische Regel, die
ja eine gewisse Tradition hat, die ich jetzt hier vielleicht nicht reproduzieren will,
aber sie führt zumindest dazu, dass nicht nur sehr alte Leute auf die große Bühne
kommen wie beim Nobelpreis. Das ist also irgendwie ganz charmant an dieser Regel. Also Marina
Vyasovska hat 2013 promoviert, also ihre Doktorarbeit abgeschlossen, übrigens in Bonn
am MPI für Mathematik und dann 2016 dieses Durchbruchsresultat erreicht, dass das E8
eben die optimale Packung ist und diese 0,000001% besser doch gar nicht mehr gehen können.
Und damit war das Problem dann wirklich gelöst. Also der Durchbruch, okay, also diese,
dass es nicht besser als 0,000001% besser als E8 geht, das war auch schon ein ziemlich gutes
Ergebnis, was auch in Annals of Mathematics erschienen ist, dem besten Mathematikjournal,
wenn man das so sagen kann. Aber jetzt wissen wir, es geht eben wirklich nicht besser.
So und das war auch schon die Geschichte der hohen Dimensionen. Es gibt noch eine Variante
davon, bei der man versuchen will, Kugeln zu packen, eine endliche Anzahl von Kugeln
und da passieren auch ganz interessante Sachen in höheren Dimensionen, unter anderem eine
sogenannte Wurstkatastrophe, aber das ist eine Geschichte für eine andere Folge.
Dann sage ich heute erstmal Tschüss und hoffe, ihr schaltet bald wieder ein und wir hören
uns dann oder ihr hört mich. Also bis bald. Tschüss!
Super inspirierende Folge! Ich höre das immer beim Laufen (muss dann langsam machen, ab Puls 150 bin ich intellektuell abgehängt), und ich muss sagen, Eigenraum ist aktuell meine klare Nummer 1 (knapp vor Carlo Masala). Danke und weiter so. Franz