Thomas Kahle
Heute geht es um eine Zahlenfolge von der wir nur den Anfang 1093, 3511, … kennen. Die Geschichte beginnt im 17. Jahrhundert, mit einem leichten und einem schweren Satz von Pierre Fermat, wobei er den schweren gar nicht bewiesen hat. Ein Lehrer aus Münster stieß dann um 1908 bei seinen Nachforschungen auf diese Primzahlen und bis heute beißen sich Zahlentheoretiker:innen die Zähne aus, noch weitere dieser Art zu finden.
- Wieferichfolge bei OEIS
- Mirimanoffprimzahlen
- Ein Fachvortrag von Keith Conrad dazu
- Simon Singhs Buch zu Fermats letztem Satz
- π=3 Folge zur ABC-Vermutung
- Suche nach Wieferich Primes bis 10^15
- Eigenraum im Fediverse
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Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
Ja, hallo zusammen. Ich begrüße euch hier bei einem neuen Eigenraum.
Mein Name ist Thomas, ich bin Mathematiker und will euch heute mal hier wieder was über Mathematik erzählen.
Ich begrüße alle, die neu dazugekommen sind oder die schon länger zuhören.
Und als kleine Hausmitteilung, einige von euch haben es ja vielleicht mitbekommen, dass bei Twitter einiges gerade passiert.
Umbrüche stehen an.
Da würde ich jetzt auch gar nicht drauf groß eingehen.
Aber wer schon auf Mastodon ist oder im Fediverse unterwegs ist, der kann dem Eigenraum jetzt auch mit einem eigenen Account folgen.
Auf der Instanz podcast.social findet ihr den Eigenraum und ich tue euch auch einen Link in die Shownotes.
Und das ist eigentlich ganz interessant, weil der Eigenraum der Podcast selbst dann so eine Art Social Media Präsenz dort hat.
Und da muss ich nochmal sehen, wie ich das nutzen will, wie der Podcast selbst so seine Persönlichkeit auf dieser Plattform da entfalten kann.
Mal sehen.
So, nachdem es letztes Mal ja um ziemlich unreelle Zahlen geht, geht es heute um ganz reelle Zahlen.
Und zwar sind die so real, dass es sogar ganze Zahlen sind.
Also heute rechnen wir nur mit ganzen Zahlen, wie zum Beispiel den Zahlen im Titel 1093 und 3511.
Und wir wollen so ein bisschen das beliebte Zahlenspiel spielen.
Wie geht die Zahlenreihe weiter?
Also wir machen Zahlentheorie.
Und die beiden Zahlen 1093 und 3511, die sind der Anfang einer Zahlenfolge, um die es heute gehen soll.
Diese beiden Zahlen, die wurden 1913 und 1922 entdeckt.
Also jetzt nicht die Zahlen, die Zahlen gab es schon vorher.
Aber die Rolle, in der sie jetzt hier dargestellt werden und dass die beiden zusammengehören.
Aber bevor wir zu 1913 und dem 20. Jahrhundert kommen, gehen wir nochmal viel weiter zurück zu Pierre Fermat.
Pierre Fermat hat im 17. Jahrhundert gelebt, also deutlich früher.
Und den kennen vielleicht viele von Fermats letzten Satz, ganz berühmter Satz aus der Zahlentheorie,
über den Simon Singh ja auch so ein populärwissenschaftliches Buch geschrieben hat.
Dieser Satz, der ist sehr berühmt, weil er eben so lange eine Vermutung war,
bis er Ende des 20. Jahrhunderts dann endlich aufgeklärt wurde.
Und das war ja fast schon wie ein Krimi, über den dieses Buch von Simon Singh geht.
Es gibt auch noch einen kleinen Satz von Fermat, diesen Fermats letzten Satz,
den nennt man auch manchmal den großen Satz von Fermat.
Und es gibt auch noch einen kleinen Satz von Fermat und der ist viel einfacher.
Und mit dem fangen wir jetzt mal an.
Der hat nämlich mit Modulorechnen zu tun.
Modulorechnen, das lernt man eigentlich schon in der ersten Klasse oder noch davor.
Wenn man bei Division von ganzen Zahlen, da kann man ja nicht immer dividieren.
Nur manche Zahlen sind glatt durch andere Zahlen teilbar.
Aber man kann immer eine Division mit Rest machen.
Und im Studium lernt man irgendwann, dass man diesen Resten dann auch rechnen kann.
Also da gelten dann so Gesetze, wie wenn man eine Zahl, die Rest 1 Modulo 17 lässt
und eine Zahl, die Rest 3 Modulo 17 Rest multipliziert, egal welche Zahlen das sind,
kriegt man immer eine Zahl raus, die Rest 3 Modulo 17 lässt, weil 1 mal 3 3 ist.
Man kann also einfach die Reste multiplizieren und bekommt wieder den richtigen Rest raus.
Das verallgemeinert übrigens so Gesetze, wie gerade mal gerade ergibt gerade.
Das kann man für verschiedene Reste machen.
Naja, also es gibt irgendwie diese Division mit Rest.
Und der kleine Satz von Fermat ist jetzt ein Satz über diese Reste.
Und er sagt, wenn ich eine Zahl habe, dann nennen wir die mal a
und dann noch eine Primzahl p, die a nicht teilt, also die kein Primfaktor von a ist.
Also meine Zahl a könnte zum Beispiel 12 sein.
Und dann habe ich eine Primzahl, die a nicht teilt, sagen wir mal 5.
Und dann berechne ich a hoch p-1.
Also in meinem Fall 12 hoch 5-1 ergibt 12 hoch 4.
Das ist 20.736.
Habe ich jetzt nicht im Kopf ausgerechnet, sondern mich natürlich vorbereitet.
So und jetzt sagt dieser kleine Satz von Fermat,
dass wenn ich jetzt das Ergebnis von a hoch p-1, also 12 hoch 5-1, rechne
und das dann nochmal durch die Primzahl teile, dann lässt das immer den Rest 1.
Also ich könnte übrigens auch von a hoch p-1 noch minus 1 rechnen
und das wäre dann durch p teilbar.
Das ist im Podcast jetzt ein bisschen gefährlich,
weil wenn ich sage a hoch p-1-1, dann denkt ihr vielleicht auch p-2
oder a hoch p-1-1.
Also jedenfalls das eine minus 1 ist im Exponenten und das andere nicht.
Ich könnte ja mal in das Kapitelbild die Formel tun.
Das werde ich auch tun.
So, also wenn wir das jetzt mal bei unserer 12 und 5 ausprobieren.
Wie war das nochmal?
Also wir nehmen 12 hoch 5-1.
Das ist 12 hoch 4.
Das ist 20.736.
Und jetzt ziehe ich noch 1 ab.
Dann kriege ich 20.735.
Und 20.735 ist durch 5 teilbar.
Das stimmt, das sieht man an der 5 hinten.
Die Teilbarkeit durch 5, die kann man ja ganz leicht testen.
Guck mal einfach, ob hinten eine 5 oder eine 0 ist.
Okay und das lernt man schnell.
Das kann man auch ziemlich leicht beweisen,
wenn man sich so ein bisschen mit Zahlentheorie beschäftigt.
Also wir reden hier von so 1640,
dass die Menschheit sowas herausgefunden hat.
Und das ist eben mit dem Namen Fermat verbunden.
Dann gibt es eben den großen Satz von Fermat,
den berühmten Fermats letzten Satz.
Der ist viel schwieriger.
Der sagt, dass, also nicht schwieriger zu verstehen,
aber viel schwieriger zu beweisen.
Der sagt, dass wenn man die Gleichung betrachtet,
x hoch n plus y hoch n ist gleich z hoch n.
Sowas wie beim Satz von Pythagoras für n gleich 2.
Also im Satz von Pythagoras ist x Quadrat plus y Quadrat gleich z Quadrat.
Und man fragt sich, ob das ganzzahlige Lösungen hat.
Also ganze Zahlen x, y, z, die das erfüllen.
Und für den Satz von Pythagoras gibt es das.
Das sind die Pythagoräischen Tripel, nennt man die.
Und für x hoch 3 plus y hoch 3 gleich z hoch 3
gibt es eben keine ganzzahligen Lösungen.
Und für 4 auch nicht und für 5 auch nicht.
Und für keinen höheren Exponenten.
Und diese Aussage, die nennt man den großen Satz von Fermat
oder Fermats letzten Satz.
Naja, und da gab es so vermutete Beweise.
Also Fermat behauptete, er habe einen Beweis,
einen eleganten, aber hat er ja nicht.
Und das blieb dann unbewiesen bis zum Ende des 20. Jahrhunderts,
als ein britischer Mathematiker namens Andrew Wiles das bewiesen hat.
Und darüber gibt es also ganz viel tolle Sachen.
Deswegen will ich da jetzt auch überhaupt nicht drüber viel philosophieren,
sondern eine historische Bewandtnis erzählen
vom Anfang des 20. Jahrhunderts.
Also so 1908 bis 1909 herum in Münster.
Da gibt es nämlich einen Mathelehrer Arthur Wieferich.
Und Arthur Wieferich hat sich mit dem großen Satz von Fermat beschäftigt.
Also der Zustand ist jetzt gerade, es ist 1908
und der Fermats letzte Satz, also man weiß schon,
dass es keinen Beweis davon gibt,
aber man vermutet, dass der stimmt.
Und da gab es allerlei Versuche,
mit diesem Satz irgendwie voranzukommen.
Und seine Aussage, die dieser spätere Mathelehrer,
der da gerade noch studiert an der Universität Münster,
Arthur Wieferich, herleitet,
ist, er macht eine bestimmte Fallunterscheidung.
Und er fragt sich, gibt es so ein Primzalexponenten,
also x hoch Primzahl plus y hoch Primzahl gleich z hoch Primzahl,
gibt es dann Lösungen, die durch die Primzahl teilbar sind.
Also er will irgendwie das Problem mit einer Fallunterscheidung lösen
und untersucht mal diesen Fall.
Und er will das ausschließen und er kommt drauf,
wenn es sowas geben würde,
dann würde diese Primzahl erfüllen,
2 hoch p minus 1 minus 1 ist teilbar durch p Quadrat,
nicht nur durch p.
Also es hat was mit dem Fermats kleinen Satz zu tun,
den wir davor besprochen haben
und jetzt für die Zahl a gleich 2.
Also der Fermats kleine Satz,
nochmal kurze Erinnerung, der sagt,
a hoch p minus 1 minus 1 ist teilbar durch p.
Und er kriegt jetzt raus,
diese spezielle Primzahl, die er sucht,
die müsste da noch durch p Quadrat teilbar sein
und wir sind in dem Fall a gleich 2.
Das heißt, die Primzahl soll schon mal nicht 2 sein
und das passt ja auch mit dem großen Satz vom Fermat zusammen,
dafür gilt die Aussage ja nicht,
dass man da keine Lösung finden kann.
Und deswegen macht er sich auf die Suche nach diesen Zahlen.
Und ich weiß nicht, ich glaube er selbst wurde gar nicht fündig,
denn das war so 1908, 1909
und ich habe ja am Anfang schon mal erzählt,
dass 1913 erst die erste Zahl gefunden wurde,
die das erfüllt, nämlich die 1093.
Die 1093 ist nun so eine Zahl,
die erfüllt, dass 2 hoch p minus 1 minus 1
teilbar ist durch p.
Und 1922 wurde nun eine zweite gefunden,
die 3511.
Und zu Ehren von Arthur Wieferich
nennen wir die Wieferich Primzahlen.
Diese beiden kannte man dann also.
So, man muss sehen, dass das vor Computern war.
Also man rechnet da jetzt nicht mal so eben
2 hoch 3511 minus 1, also 2 hoch 3510 minus 1
Modulo 3511 aus.
Also das geht zwar mit Tricks,
also man kann auch Modulorechnungen relativ effizient
auf Papier machen, ohne jetzt sich 2 hoch 3510
erstmal hinzuschreiben, dann 1 abzuziehen
und dann wieder Modulo zu rechnen,
sondern man macht die ganze Berechnung gleich Modulo.
Aber es erfordert eben sehr viel Arbeit
und dann muss man sich auch noch da vergegenwärtigen,
dass man ja nach der Zahl sucht.
Also es ist ja nicht nur die Überprüfung,
dass 3511 diese Eigenschaft hat,
sondern man sucht ja die Primzahlen durch
und muss dann halt viele Misserfolge hinnehmen,
bis man die 3511 findet.
3511 ist übrigens eine coole Zahl,
weil wenn man die rückwärts schreibt,
dann kriegt man 1153 und die ist auch Prim.
Das hat aber hiermit jetzt überhaupt nichts zu tun.
Und für 1093 gilt das auch nicht.
Naja, interessanterweise stoppte das aber da.
Also man dachte jetzt, diese Wieferig-Primzahlen,
das ist ja ganz interessant,
da muss es ja vielleicht noch mehr davon geben.
Die haben also irgendwas mit Gegenbeispielen
von Fermats letzten Satz zu tun.
Aber dieser Weg, Fermats letzten Satz zu untersuchen,
der wurde dann auch ziemlich schnell beendet,
dadurch, dass man noch eine ähnliche Aussage
mit drei Hochprimzahlen schreiben konnte,
die sich damit nicht vereinbaren lässt.
Also diese Beweisstrategie hat sich dann
als ineffizient herausgestellt.
Aber diese Suche nach diesen Primzahlen,
die blieb kurioserweise übrig.
Denn es ist einfach auch ein schönes mathematisches Problem.
Man hat diesen kleinen Satz fünfmal,
jede Primzahl erfüllt, also außer zwei,
erfüllt 2 hoch p minus 1,
minus 1 ist durch p teilbar.
Und jetzt fragt man sich,
welche sind jetzt vielleicht noch durch p² teilbar?
Wann ist das noch durch p² teilbar?
Und man hatte eine Motivation
und man hat diese zwei Beispiele gefunden
und keine weiter.
Und da stehen wir auch noch heute.
Bis heute wurden keine weiteren Primzahlen
mit dieser Eigenschaft gefunden.
Also das letzte Paper, was ich gefunden habe,
über so eine intensive Computersuche,
das war von 2005.
Und da wird berichtet,
dass ungefähr wir bei 10 hoch 15 stehen.
Also alle Primzahlen bis 10 hoch 15,
also ungefähr mit 15 Stellen
in der Dezimaldarstellung.
Unter diesen Primzahlen sind nur 1093 und 3511
mit dieser Wieferig-Eigenschaft.
Dann habe ich um 2009 herum
noch so ein Wieferig-at-home-Projekt gefunden.
Das gibt es jetzt mittlerweile nur noch im Internetarchiv.
Kennt das noch jemand?
Das bekannteste war SETI-at-home,
so eine Suche nach Außerirdischen,
die man auf seinem Computer laufen konnte,
als so eine Art Bildschirmschoner.
Also die Idee war,
dass wenn man seinen Computer nicht nutzt,
dass dann, wenn eine Bildschirmschoner anspringt,
dass dann der Computer im Hintergrund
irgendwas Sinnvolles machen soll, Wissenschaft.
Zum Beispiel irgendwelche Radiosignale
nach Spuren außerirdischer Intelligenz zu durchsuchen
oder irgendwelche riesigen Primzahlen zu testen,
ob sie vielleicht Wieferig-Primzahlen sind.
Aber auch das hat keine weiteren
Wieferig-Primzahlen zurückgegeben.
So, gehen wir nochmal zurück
zu Fermats kleinen Satz.
Also a hoch p minus 1 minus 1
ist durch p teilbar.
Und jetzt kann man da zwei Parameter rumspielen.
Also wir haben jetzt immer
bei der Suche nach den Wieferig-Primzahlen
das a festgehalten als 2
und ein p gesucht.
Man kann das auch andersrum machen.
Und da hat man eine ganz kuriose Zweiteilung.
Wenn man zum Beispiel das p festhält,
also man nimmt sich irgendeine Primzahl,
zum Beispiel 3511,
die größere Wieferig-Primzahl,
und man will ein a finden,
das das erfüllt.
Also ein a, so dass a hoch p minus 1
teilbar ist durch p Quadrat.
Dann ist das ein leichtes Problem.
Egal, was die Primzahl ist.
Also wenn ich die Primzahl fixiere,
dann kann ich relativ leicht
sogar nicht nur 1, sondern p minus 1
verschiedene a finden,
die kleiner als p Quadrat sind
und das erfüllen.
Fixiert man andersherum das a
und sucht die Primzahlen p,
die so wie die Wieferig-Primzahlen
diese Gleichung erfüllen,
ist es unglaublich hart.
Also man könnte es jetzt mal
für a gleich 3 probieren.
Und für a gleich 3 suchen wir also Primzahlen,
so dass 3 hoch p minus 1
durch p Quadrat teilbar ist.
Und da kennen wir auch genau zwei Zahlen,
nämlich 11 und 1.006.003.
Okay, also noch so eine interessante Folge,
wo man sich fragt, wie die weitergeht.
11, 1.006.003 und so weiter.
Für a gleich 5 kennen wir übrigens 7.
Für a gleich 10 kennen wir 3.
Für a gleich 47 kennen wir keine.
Also diese ganzen Zahlenfolgen,
die kann man versuchen
in der Online Enzyklopädie
der ganzzahligen Folgen, der OIES, nachzuschlagen
und fortzusetzen.
Also da gibt es noch viel zu tun.
Und Zahlentheoretikerinnen
interessieren sich eben für dieses Problem,
weil man später dann noch entdeckt hat,
dass das was zu tun hat mit der Periodizität
von Stellenentwicklungen.
So ein Problem wie, wenn ich ein Drittel schreibe,
1 durch eine Primzahl,
als Dezimalbruch,
dann hat das eine periodische Stellenentwicklung,
die ganz einfach ist.
0,33333333 und so weiter.
Und die Anzahl der Stellen,
die sich dann wiederholt, ist in diesem Fall 1,
weil es kommt immer wieder die 3.
Und man kann sich jetzt so Fragen stellen,
wie wenn ich zwei Zahlen
multipliziere,
zum Beispiel ein Drittel und ein Siebentel,
wie sieht dann die Periodizität
der Stellenentwicklung
von dem Produkt aus,
also ein Einzwanzigstel.
Und da kommt man eben darauf,
da findet man so Gesetzmäßigkeiten
und die Ausnahmen von den Gesetzmäßigkeiten,
die haben dann mit diesen Zahlen zu tun,
die so ähnlich wie die Wiefelrichtprimzahlen
die Gleichung a hoch p minus 1 minus 1
ist teilbar durch p Quadrat erfüllen.
Aber gehen wir nochmal zurück zu 2
und den Wiefelrichtprimzahlen.
Das muss sich doch irgendwie aufklären lassen,
ob es davon noch mehr gibt, oder?
Also das ist für, selbst für ProfimathematikerInnen
ist das immer wieder erstaunlich,
was die Zahlentheorie für scheinbar einfache Probleme,
einfach zu verstehende Probleme hervorbringt,
die man einfach nicht beantworten kann.
Also das kann doch nicht so schwer sein,
zu sehen, ob es noch eine dritte Primzahl gibt,
die 2 hoch p minus 1 minus 1
ist teilbar durch p Quadrat erfüllt.
Oder? Ja, ist aber schwer.
Was man dann so gerne macht,
sind so Heuristiken.
Also man nimmt einfach mal diesen Wert
2 hoch p minus 1 minus 1,
der ja durch p Quadrat teilbar sein soll,
und teilt den schon mal durch p.
Der ist immer durch p teilbar.
Das ist ja der kleine Satz von Fermat,
dass der immer durch p teilbar ist.
Also teilen wir den nochmal durch p.
Und dann haben wir eine ganze Zahl.
Und diese ganze Zahl,
die teilen wir jetzt nochmal durch p,
aber mit Rest.
Wenn der Rest 0 ist,
dann haben wir so eine Wieferig-Primzahl gefunden.
Und ansonsten ist der Rest eben irgendwas anderes.
Und dann schaut man,
was ist die Wahrscheinlichkeit,
was ist die Verteilung dieser Reste.
Und dann kann man zeigen,
dass diese Reste im Prinzip
so gleich verteilt sein sollten,
über die möglichen Reste.
Also dass die jeden von ihren p Werten,
also der Rest kann 0 sein,
der Rest kann 1 sein,
bis p minus 1.
Und die Reste kommen alle
nach einer gewissen Heuristik
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vor.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Primzahl so eine Wieferig-Primzahl ist,
ist sowas wie 1 durch p.
Und das wird zwar sehr schnell klein,
aber nicht schnell genug,
als dass man daraus nicht vermuten würde,
dass es unendlich viele Wieferig-Primzahlen gibt.
Das ist dann so eine kleine Rechnung.
Man leitet daraus ab,
dass die erwartete Anzahl von Wieferig-Primzahlen,
die kleiner sind als irgendeine Zahl x,
sowas wie log log x ist.
Also der Logarithmus vom Logarithmus von x.
Das ist eine Funktion,
die wächst immer weiter,
die geht gegen unendlich,
aber sehr, sehr langsam.
Also man muss sich das so vorstellen,
also was ist so eine Heuristik,
wenn man den Logarithmus von einer Zahl nimmt,
dann fragt man sich sowas wie,
wie viele Stellen hat die.
Nimmt man also jetzt den Logarithmus von dem Logarithmus,
dann fragt man sich,
wie viele Stellen hat die Anzahl der Stellen
von einer Zahl.
Und das wächst eben sehr, sehr langsam.
Zum Beispiel hatte ich ja vorhin gesagt,
dass wir ungefähr bis 2 hoch 15
nach diesen Wieferig-Primzahlen gesucht haben,
oder die Forscher,
die das untersucht haben mit dem Computer.
Und wir haben ja 2 gefunden.
Und jetzt kann man mal
den Logarithmus von dem Logarithmus,
und ich spreche hier von dem natürlichen Logarithmus,
das ist eben der richtige, also zur Basis e,
ausrechnen.
Also ln von ln von 10 hoch 15,
habt ihr das schon mal gemacht, ist etwas mehr als 3,5.
So, das heißt, wir haben bis 10 hoch 15
2 gefunden,
und 3,5 wäre dieser
nach der Berechnung erwartete Wert.
Also,
ist das irgendwie inklusiv.
Es könnte sein, dass wir einfach Pech hatten,
aber es wächst eben
sehr, sehr langsam.
Und man muss auch aufpassen, also es handelt sich hierbei ja nicht
wirklich um Wahrscheinlichkeiten, also hier ist ja überhaupt kein
Zufall im Spiel,
man spricht nur irgendwie gerne über Wahrscheinlichkeiten,
aber alles steht natürlich fest, also es gibt
einfach entweder endlich
viele von diesen Wie-für-ich-prim-Zahlen
oder unendlich viele.
Aber wir wissen es eben nicht.
Und diese heuristische Berechnung ist kein formaler
Beweis, dass es unendlich viele gibt,
sondern die ist nur ein Indiz.
Ja, weil die Verteilung von diesen
Resten nicht vollständig aufgeklärt
ist.
Ja, ansonsten weiß man fast nichts.
Also man kann nicht beweisen, dass es
unendlich viele von den Wie-für-ich-prim-Zahlen
gibt. Es ist noch schlimmer.
Man kann nicht mal beweisen, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt, die keine
Wie-für-ich-prim-Zahlen sind.
Also nach allem, was ich jetzt
gesagt habe, wie schwierig das ist,
solche Zahlen zu finden
und wir kennen nur zwei,
es gibt trotzdem keinen
formalen Beweis,
dass es überhaupt unendlich viele
Primzahlen gibt, die nicht
Wie-für-ich-prim-Zahlen sind.
Das ist doch wohl völlig verrückt, oder?
Es gibt so ein
Schweizer Taschenmesser der
Zahlentheorie, nenne ich das mal, die sogenannte ABC-Vermutung.
Das ist so eine Vermutung, aus der
folgt ganz viel
in der Zahlentheorie.
Habe ich auch mal eine Piece genau drei Folge
darüber aufgenommen mit Petra Schwer
zusammen. Die kann ich auch nochmal verlinken.
Das ist wie so eine Art Schweizer Taschenmesser
der Zahlentheorie und die würde
implizieren wenigstens, dass es unendlich
viele Primzahlen gibt, die nicht Wie-für-ich-prim-Zahlen
sind.
Tja, so wenig wissen wir.
Ja, was kann man jetzt noch machen? Man kann
sich das irgendwie Modulo p hoch 3
zum Beispiel mal angucken.
Also man macht alles wieder genauso und
dann schaut man Modulo p hoch 3.
Dann erwartet man nach der
Heuristik, die ich eben gerade benutzt
habe, erwartet man
dann übrigens nur endlich viele Zahlen, die das
erfüllen.
Und wer es noch verrückter mag,
könnte zum Beispiel auch Paare betrachten.
Also man nimmt mal
zwei Primzahlen p und
q. Also wir hatten ja jetzt
2 hoch p minus 1 minus
1 Modulo p Quadrat betrachtet
und jetzt nehmen wir diese
2, was ursprünglich mal das a
war, dann nehmen wir noch eine Primzahl.
Also statt 2
nehmen wir irgendeine andere Primzahl.
Und wir wollen, dass die so gegenseitig
diese Wie-für-ich-Eigenschaft haben.
Das heißt, wir haben
2 Primzahlen p und q,
so dass p hoch q
minus 1 minus
1 durch q Quadrat teilbar ist
und q hoch p
minus 1 minus
1 durch p Quadrat teilbar
ist.
Da sind
7 Paare bekannt.
Wieder endlich viele und man weiß nicht, ob es
unendlich viele gibt. Ein so ein Paar ist übrigens
2 und die 1093,
unsere kleinere Wie-für-ich-Primzahl.
Das eine wissen wir ja schon, weil
2 hoch 1093
minus 1
minus 1 ist
durch 1093 Quadrat
teilbar, weil das ist die
Wie-für-ich-Eigenschaft. Und andersrum funktioniert
es aber auch, das können wir ganz leicht nachrechnen,
weil da müssen wir nur 1093 hoch 1
rechnen und 1 abziehen
ist 1092
und 1092 ist durch 4 teilbar.
Die andere Wie-für-ich-Primzahl
funktioniert übrigens nicht. Also 2
zusammen mit der 3511
ist nicht so ein Wie-für-ich-Paar,
weil 3511
minus 1
ist 3510 und
das ist nicht durch 4 teilbar, nur durch 2.
Und durch 2 muss es teilbar sein, Nachwehrmaß
klar im Satz. Tja,
und wer jetzt noch weiter knobeln will,
der kann sich ja mal Wie-für-ich-Trippel definieren.
Also man hat eine erste
Primzahl und die
erfüllt p1 hoch
und dann eine zweite, p2
hoch p3 minus 1 minus 1
ist durch p2 quadratteilbar
und p2 hoch
p3 minus 1 minus 1
ist durch p3 quadratteilbar
und dann wiederum p3
hoch p1
minus 1 minus 1
ist durch p1 quadratteilbar
und schauen, ob es solche Trippel gibt.
Das rechne ich jetzt mal nicht vor.
Ich glaube, ich höre mir auf hier
und kontempliere noch ein bisschen
darüber, warum
in der realen Theorie solche verrückten
Probleme hervorbringt.
Das war es heute hier
im Eigenraum. Ich hoffe,
ihr konntet ein bisschen mitrechnen
und wir hören uns beim nächsten Mal.
Macht's gut. Ciao.