Thomas Kahle
Es kommt einem wie ein triviales Spiel vor, aber wir beschäftigen uns mit der Anzahl Möglichkeiten, eine Zahl, wie z.B. die 5 als Summe von kleineren Zahlen zu schreiben, also etwa 5 = 4 + 1 oder 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
In dieser Folge geht es um die Kombinatorik, die Nanotechnologie der Mathematik. Als Gebiet der Mathematik geht sie von Abzählproblemen wie dem oberen aus. Deren Lösungen sind Zahlenfolgen, für die wir Datenbanken wie die OEIS haben. Erkennt man, dass zwei Zahlenfolgen gleich sind, steckt dahinter meistens mehr.
- Partitionen in der OEIS.
- Srinivasa Ramanujan (Wikipedia)
- A mathematicians miscellany (Littlewood)
- A combinatorial Miscellany (Björner & Stanley)
- Rogers-Ramanujan identities
- Hard-Hexagon Model (Wikpedia)
- Sara Billey
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Verwandte Folge:
Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
Ja, hallo zusammen, guten Morgen, guten Abend, guten Tag, gute Nacht, wo auch immer ihr euch
befindet da draußen an den Empfangsgeräten, ihr habt den Eigenraum Nummer 16 eingeschaltet
und ich begrüße euch, freue mich, dass ihr wieder dabei seid, mein Name ist Thomas, ich
bin Mathematiker und ich mache das hier, weil ich denke, dass es nicht genug Mathe-Podcasts
gibt.
So, ihr habt trotz oder wegen des Titels eingeschaltet und bestimmt schon die Aufgabe gelöst, die
sich im Titel verbirgt, 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 ergibt 5, richtig, und mit dieser
kleinen Rechenaufgabe beginne ich mein heutiges Thema.
Ich will mich nämlich mal fragen, und das ist eine schöne kleine Übung, etwas, was
man tun kann, wenn man sich langweilt im Fahrstuhl und an der Straßenbahn, sich zu fragen, wenn
man eine natürliche Zahl hat, wie zum Beispiel die 5, wie man diese Zahl als Summe von kleineren
Zahlen schreiben kann.
Zum Beispiel kann man die 5 schreiben als die Summe von 5 Einsen, das geht.
Man kann die 5 auch schreiben als eine 2 plus 1 plus 1 plus 1 oder als 2 plus 2 plus 1 oder
als 3 plus 1 plus 1 oder als 3 plus 2 oder als 4 plus 1 oder einfach als 5 ohne Pluszeichen,
das wollen wir auch zulassen.
Das machen wir ja in der Mathematik immer gerne, dass wir so Spezialfälle auch zulassen.
Also eine Summe mit einem Summanden ist ja auch okay, eine Summe mit null Summanden ist
erstmal nicht okay, weil die ergibt einfach nichts.
Also eine Summe ohne Summanden, haben wir ja schon mal in einer früheren Folge erklärt,
ergibt eine Null.
Okay, so, hat jemand mitgezählt?
Also ich habe sieben Möglichkeiten gefunden, das sind tatsächlich alle Möglichkeiten.
Es gibt sieben Möglichkeiten, die 5 als Summe von Zahlen zu schreiben und die Reihenfolge
will ich dabei nicht beachten.
Also ich habe meine Summen jetzt gerade schon so sortiert, dass die großen Zahlen zuerst
kommen, also will ich 4 plus 1 und 1 plus 4 nicht unterscheiden.
Okay, und wir sagen dazu, die 5 hat sieben Partitionen oder Zerlegungen oder Zahlpartitionen
und daraus kann man eine Theorie machen, wie das in der Mathematik immer so ist.
Man hat ein kleines lustiges Problem und kommt schnell zu einem schwierigen lustigen Problem
und das schwierige lustige Problem ist, man definiert sich die Partitionszahl, das ist
einfach die Zahl der Möglichkeiten gegeben eine andere Zahl.
Also zum Beispiel könnte man das in so einer Funktion abspeichern, p von n und die gibt
einfach die Anzahl der Möglichkeiten, n als Summe zu schreiben und wir haben schon berechnet,
p von 5 ergibt 7 und ich kann euch noch ein paar andere Werte sagen, p von 1 ergibt 1,
nehme ich einfach die 1.
p von 2 ergibt 2, weil ich die 2 schreiben kann einfach als eine 2 oder als 1 plus 1.
p von 3 ergibt 3, nämlich ich kann schreiben 3 oder 2 plus 1 oder 1 plus 1 plus 1, drei Möglichkeiten.
Und bei der 4 kriege ich jetzt eine 5, nämlich ich kann 4 schreiben, 3 plus 1, 2 plus 2,
2 plus 1 plus 1 oder 1 plus 1 plus 1 plus 1.
Moment, das waren fünf Möglichkeiten.
Okay, also die 4 hat fünf Möglichkeiten, habe ich auch glaube ich so gesagt.
Also die 4 ergibt fünf Möglichkeiten, die 5 ergibt sieben Möglichkeiten und da sind
wir schon wieder an so einem beliebten Spiel.
Wie geht die Zahlenfolge weiter?
Also wie geht die Zahlenfolge 1, 2, 3, 5, 7, wie geht sie weiter?
Und wenn man sowas wissen will, dann gibt man das in die Online-Enzyklopädie der Integer-Folgen
ein, die OEIS, die habe ich euch natürlich verlinkt und die hat ganz viele solche Folgen
drin und die sagt einem sofort, was das ist.
Das ist die Partitionszahl, das ist die 41.
Folge in der OEIS.
Also scheint es eine sehr fundamentale Folge zu sein, weil die OEIS, die speichert hunderttausende
von Folgen und das hier ist die 41.
Also anscheinend eine ziemlich wichtige.
Und wenn man da auf diesem Eintrag von der OEIS so ein bisschen rumsurft, da sieht man
eine unglaublich lange Liste von Dingen, die damit zu tun haben.
Die Anzahl der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe, die Konjugationsklassen
in der symmetrischen Gruppe, allerlei Summen über irgendwelche anderen Folgen und so weiter
und so fort.
Dieses einfache Problem hat unglaublich viele Verbindungen zur Mathematik.
Und über die will ich jetzt mal ein bisschen erzählen.
Und Mathematik wird natürlich von Menschen betrieben und ein interessanter Mensch, der
Partitionen und ihren Anzahlen beschäftigt hat, ist Srinivasa Ramanujan, ein indischer
Mathematiker des vorletzten und letzten Jahrhunderts.
Der ist 1887 in Indien geboren worden und war ein fast vollständiger Autodidakt.
Also der interessierte sich für Mathematik und interessierte sich so doll für Mathematik,
dass in seiner Schulausbildung ihm das Studium, der Zugang zum Studium verwehrt wurde, weil
er sich eben nur für Mathematik und für nichts anderes interessiert hat.
Und hatte nur ein Mathematikbuch, das enthielt so analytische Sachen und Integralformeln.
Und seine Ausbildung in Mathematik war durch ein einziges ihm in die Hände gefallenes
Buch geprägt.
Und sein Talent wurde aber entdeckt von englischen Mathematikern, insbesondere Hardy, der ihn
nach England einlud.
1914 kam Ramanujan dann nach England und arbeitete dort sehr produktiv mit Hardy zusammen.
Wurde leider, wie das damals in diesen Zeiten so war, irgendwann krank.
Ist auch 1920 schon gestorben.
Aber in dieser Zeit in England und auch davor hat er unglaublich viel, ja, wie soll man
sagen, intuitive Mathematikkenntnis unter Beweis gestellt.
Er hatte so ein Gespür für Zahlentheorie und konnte Dinge einfach sehen und gab auch
oft keine Beweise an.
Und sowas wie diese Partitionszahlen, das war natürlich gefundenes Fressen für jemanden,
der sich so ein intuitives Gespür für Zahlen hatte.
Man fragt sich natürlich jetzt über diese Partitionen, wie viel, wie wächst das?
Gibt es da irgendwelche Muster?
Und es gibt Muster.
Zum Beispiel ein Muster, das Ramanujan entdeckt hat, ist, dass wenn man die Partitionszahl
von 4 nimmt, die ist 5.
Und die Partitionszahl von 9, also in wie viele Summen kann man 9 zerlegen?
Dann kann man sich überlegen oder in der OEIS nachgucken, dass da 30 rauskommt.
Und wenn man dann wieder 5 später guckt, bei 14 findet man da 135.
Und alle diese Zahlen sind durch 5 teilbar.
Und das ist kein Zufall.
Also betrachtet man die Partitionszahlen 4, 9, 14, 19, 24, also immer 5 mehr, sind
alle diese Zahlen durch 5 teilbar.
Unglaublich, oder?
Das gleiche funktioniert auch mit 7, wenn man mit 5 anfängt.
Wir hatten ja oben p von 5 ausgerechnet am Anfang der Folge.
Und da kam 7 raus.
Und dieses 7 ist durch 7 teilbar.
Wenn ich jetzt 7 weitergehe, also zur 12, dann kommt wieder eine Zahl raus, die durch
7 teilbar ist, nämlich die 77.
Und so geht das immer weiter.
Also wenn man immer 7 dazu addiert zu der Zahl, die man zerlegen will, bekommt man eine
Anzahl raus, die durch 7 teilbar ist.
Und was ist die nächste Primenzahl?
Also für 5 funktioniert es, für 7 funktioniert es, 9 ist keine Primenzahl, 11.
Funktioniert es auch für 11?
p von 6, also die Anzahlpartition der Zahl 6, beträgt genau 11, was durch 11 teilbar ist.
Und die nächste ist 297 für die 17 und das ist auch durch 11 teilbar.
Und jetzt fragt man sich natürlich, ist das vielleicht für jede Primenzahl so, dass es
so eine Teilbarkeitsregeln gibt?
Und das ist nicht so.
Ramanujan hat diese drei Teilbarkeitsregeln gefunden und für andere Primenzahlen geht
es nicht.
Jedenfalls nicht so einfach.
Es gibt dann eine etwas kompliziertere Art und Weise, so Folgen zu konstruieren, wo man
wieder Teilbarkeitsregeln für andere Primenzahlen auch hat.
Aber diese einfache Art und Weise, man beginnt, man nimmt einfach Vielfache von einer Zahl,
schiebt die und dann sind sie teilbar durch die Primenzahl.
Funktioniert nur für die Primenzahlen 5, 7 und 11.
Ein Resultat von Ramanujan.
Und Ramanujan und Hardy, sein englischer Kollege, haben auch das Wachstum der Partitionszahlen
untersucht und zum Beispiel gezeigt, dass die Anzahl der Dezimalstellen, also diese Anzahl
Partition, die wächst relativ schnell.
Hat man vielleicht vor dem Anfang jetzt nicht so das Gefühl, aber die wächst sehr schnell.
Und die Anzahl der Dezimalstellen von p von n, die wächst ungefähr so wie Wurzel von n.
1,114008628 mal Wurzel n.
Das ist die Anzahl der Stellen.
Also p von 100 hat ungefähr Wurzel 100 mal 1,1 macht 11 Stellen schon.
Und diese Konstante, wie haben sie die gefunden?
Die kommt eben auch aus so einer analytischen Formel.
Die hat auch eine Formel, diese Konstante, die vor der Wurzel entsteht.
Das ist pi mal die Wurzel aus 2 Drittel geteilt durch log 10.
Solche Sachen sind mir persönlich unklar, wie man eine Einsicht in die Zahlen oder in
die Zahlentheorie bekommen kann, die einem erlaubt, solche Formeln zu sehen.
Und sie geben auch eine ganz komplizierte Approximationsformel für den echten Wert,
die ich euch hier mal einblende in das Kapitelbild.
Und es ist fast so gut wie eine Formel für p von n.
Da können wir gleich mal über Formeln reden.
Ihr hättet vielleicht euch schon gefragt, gibt es nicht einfach eine Formel, die die
Anzahl der Partitionen von einer Zahl angibt?
Also einfach eine Formel, die sagt p von n ist gleich und dann steht da irgendwas,
was man ausberechnen muss, Binomialkoeffizient geteilt durch pi und so weiter.
Und so eine Formel gibt es aber nicht.
Ich weiß nicht, ob man sagen kann, dass es so eine Formel nicht geben kann,
aber es ist keine bekannt und es erscheint jetzt auch unwahrscheinlich, dass es so eine
Formel geben kann.
Und Hardy und Ramanujan haben sich dann im Ersatz für so eine Formel mit
Approximationsformeln beschäftigt.
Das ist auch eine ganz witzige Sache.
Also es gibt so eine komplizierte Formel, die ich euch ins Kapitelbild tue.
Die spuckt eine reelle Zahl aus.
Also da muss man so eine komplizierte Formel auswerten.
Irgendwas in Funktionen einsetzen, summieren und sieht ja schon hinreichend kompliziert aus,
wenn ihr euch das jetzt anschaut.
Und die spuckt eine reelle Zahl aus und die Antwort ist, dass die Partitionszahl,
wie viele Partitionen hat n, ist die nächste ganze Zahl.
Also man berechnet eine komplizierte reelle Zahl und durch Rundungen erhält man die Lösung
für sein Abzählproblem.
Die Lösung von dem Abzählproblem kann natürlich nur eine natürliche Zahl sein.
Und die einzige effiziente Möglichkeit, die es damals gab oder die man hier entdeckt hat,
ist auf komplizierte Art und Weise eine reelle Zahl zu berechnen und die dann zu runden.
Und ja, also das ist eine interessante Methode, die in der Zahlentheorie immer mal wieder vorkommt.
Einige Geschichten darum werden übrigens von dem Mathematiker Littlewood in seiner
Mathematicians' Miscellany, einem populärwissenschaftlichen Mathematikbuch aus den 50ern, erzählt,
das ich euch auch mal verlinkte.
Das findet ihr im Internetarchive.
Da habe ich auch das Wort Miscellany kennengelernt, das englische Wort Miscellany.
Miscellaneous kennt man ja vielleicht als Adjektiv und eine Miscellany ist irgendwie
eine Sammlung ohne bestimmte Ordnung.
Wird auch gleich in der Einleitung von dem Buch erklärt für Leute, die nicht so gut
Englisch können wie Littlewood.
Also es war so eine Art populärwissenschaftliches Mathebuch von 1953 und enthält allerlei Sachen.
Es enthält auch ein Kapitel über, wie er Ramanujans' Papers gelesen hat und was er
davon mitbekommen hat.
Und dieser Titel, der hat auch dann andere Titel noch inspiriert.
Ich verlinke euch auch nochmal ein moderneres Kombinatorik-Buch von Anders Björner und
Richard Stanley.
Das heißt dann A Combinatorial Miscellany.
Darin findet er auch einiges zu Partitionen.
So, jetzt habe ich schon ein paar Mal Kombinatorik gesagt.
Was ist eigentlich Kombinatorik?
Kombinatorik ist, habe ich euch jetzt untergeschoben, in Form dieses Beispiel, ist die Wissenschaft
von solchen Dingen.
Die Wissenschaft davon, wie zähle ich Dinge und wie bestimme ich alle Dinge von einer
bestimmten Art.
Also die Frage, die ich mir gestellt habe am Anfang ist, wie viele Möglichkeiten gibt
es, eine natürliche Zahl als Summe von anderen natürlichen Zahlen zu schreiben?
Und das ist eigentlich ein absolut perfektes Beispielproblem für die Kombinatorik.
Einige Eigenschaften davon sind, es ist zum Beispiel ganz leicht einzusteigen.
Also jede und jeder, die Addition können, können sich mit diesem Problem beschäftigen.
Und es ist auch völlig unklar, wie schwierig diese Aufgabe ist.
Es ist auch unklar, ob es dafür eine Formel gibt.
Und dieser Teil der Mathematik, der hat eigentlich eine ganz interessante Geschichte, weil der
immer so ein bisschen belächelt wurde als, naja, man macht so Spielprobleme.
Es gibt keine Theorie, die man erst in einer zehnjährigen Infanteriegrundausbildung mühsam
erlernen muss, bevor man da mitspielen kann.
Sondern man kann einfach direkt einsteigen.
Es ist so ein bisschen das Puzzlelösen der Mathematik.
Aber aus dieser Sammlung von Problemen und aus dem Beobachten von gemeinsamen Strukturen
und Ähnlichkeiten in den Lösungen entsteht auch eine Theorie.
Und ich hoffe, ich kann euch einen kleinen Einblick geben in das Wesen dieser Theorie,
wenn ich euch jetzt was über erzeugenden Funktionen erzähle.
Also wir können jetzt nochmal reinkommen.
Das Setting ist, wir haben irgendwie eine Zahlenfolge.
Zum Beispiel die Anzahlen von irgendwas, das wir beschreiben, besser verstehen oder erst
mal abspeichern wollen.
Zum Beispiel diese Partitionsfunktion.
Also ich will jetzt über die Datenstruktur, die ich jetzt beschreiben will, ist alle diese
Partitionszahlen auf einmal.
Also ich will, wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 zu zerlegen, 6 zu zerlegen, 7 zu zerlegen,
8 zu zerlegen, 9 zu zerlegen und so weiter.
Alle diese Partitionszahlen beschreiben.
Das wäre dann die Lösung.
Ich bin auf der Lösungssuche für diese Anzahl der Partitionen.
Und wie könnte diese Lösung aussehen?
Eine mögliche Lösung wäre zum Beispiel so eine Formel.
Also wenn ich mich für diese Zahl interessiere, interessiere ich mich vielleicht auch für
eine Formel.
Eine Formel, die mir sagt, wenn ich 100 schreiben will als Summe, wie viele von diesen Partitionen
gibt es.
Und so eine Formel gibt es leider nicht.
Also es gibt keine direkte Formel, wo ich einfach die 100 einsetze und dann rechnet mir
das die Partitionszahl aus.
Dazu ist das Problem halt genau kompliziert genug.
Und deswegen suche ich andere Datenstrukturen.
Und die Datenstrukturen sollen kompakt sein, möglichst endlich, sodass man die per Mail
schicken kann oder in den Paper schreiben kann.
Und die soll all diese Zahlen abspeichern.
Und zwar so, dass man sie auch noch gut manipulieren kann.
Also vielleicht eine algebraische Datenstruktur.
Also dass man mit dieser Datenstruktur auch wieder rechnen kann.
Das wäre toll.
Und erzeugende Funktionen sind so ein Wahnsinns-Trick der Mathematik, der einem vielleicht nicht
direkt geläufig ist, aber unglaublich erfolgreich und unglaublich gut funktioniert.
Und das geht so.
Also man nimmt irgendeinen Buchstaben.
Ja, Mathe ist ja Rechnen mit Buchstaben.
Sagen wir mal X.
Das ist ja ein beliebter Buchstabe für die Unbekannte.
Und hier wollen wir aber nicht nach X lösen.
Deswegen ist es jetzt keine Unbekannte, sondern einfach ein Buchstabe.
Und dieses X, was kann dieses X?
Das X kann mit sich selbst multipliziert werden.
Und wenn man X mit sich selbst multipliziert, was kriegt man raus?
X².
Und wenn man es nochmal mit sich selbst multipliziert, kriegt man X³.
Und so werden ja die beliebten Polynome gebildet, die man vielleicht noch von der quadratischen
Gleichung aus der Schule kennt.
Und was wir jetzt machen, ist mit unserer Folge, wir haben jetzt unsere unendlich lange
Folge von Partitionszahl von 1, Partitionszahl von 2, Partitionszahl von 3.
Und wir haben auch unsere genauso unendlich lange Folge von diesen Potenzen von dem X.
X¹, X², X³.
Und wir schreiben in so einer Art formalen Rechnung, schreiben wir Partitionszahl von
1 mal X, plus Partitionszahl von 2 mal X², plus Partitionszahl von 3 mal X³.
Rechnet noch irgendwer mit?
Also ihr müsst das jetzt nicht wirklich ausrechnen, sondern das ist eine formale,
das ist wie so eine Art Gedankenexperiment.
Formal speichere ich jetzt in einem algebraischen Objekt, das aussieht wie so ein unendlich
langes Polynom, speichere ich die ganze Reihe ab.
Indem ich einfach die i-te Zahl als den Koeffizienten vor X hoch I schreibe und alles aufsummiere.
Und dann bekomme ich ein unendlich langes Polynom, was wir in der Mathematik Reihe oder
erzeugenden Funktionen nennen.
Wer jetzt einen Stift hat und gern was überlegen möchte, kann das mal mit einer ganz einfachen
Folge ausprobieren.
Wir machen jetzt ein Beispiel, eine kleine Folge.
Die Folge ist so, die ist 1, 1, 1, 1, 1.
Also wir betrachten jetzt die Folge, die nur aus Einsen besteht.
Als Beispiel.
Das ist nicht die Partitionsfolge, sondern das ist unsere Übungsfolge.
Die Übungsfolge, aus der erzeuge ich jetzt die erzeugenden Funktionen.
Und die erzeugenden Funktionen geht so, 1 plus 1 mal x plus 1 mal x² plus 1 mal x hoch 3
plus 1 mal x hoch 4 und so weiter und so fort.
Also die erzeugenden Funktionen von der Folge 1, 1, 1, 1, 1, 1.
Achso, alle erzeugenden Funktionen fangen immer mit 1 an, per Konvention.
Also 1 plus 1 mal x plus 1 mal x², also einfach die Summe der Potenzen von x.
Okay, das ist jetzt aber keine endliche Beschreibung.
Es sieht irgendwie nicht so aus, als ob ich jetzt irgendwas gekonnt hätte.
Habe ich auch noch nicht, weil es ist immer noch so eine unendliche Reihe.
Ich habe eigentlich nur alles komplizierter gemacht.
Statt alle Zahlen aufzuschreiben, die ich abspeichern wollte,
alle unendlich vielen, habe ich noch hinter jedes x hoch i geschrieben
und dann noch Pluszeichen, also eigentlich Bleistift verschwendet.
So, und jetzt kommt der Trick.
Jetzt behaupte ich, meine unendliche lange Summe, die kann ich auch endlich beschreiben,
die ist nämlich einfach 1 durch 1 minus x.
Schreibt euch mal diesen Bruch hin.
1 durch 1 minus x.
Also 1 minus x steht unter dem Bruchstrich.
So, und ich behaupte, diese 1 durch 1 minus x speichert die ganze Summe ab.
Beweis, ihr schreibt euch hin, 1 durch 1 minus x ist gleich die lange Summe
und dann multipliziert er 1 minus x rüber.
Dann müsst ihr ausmultiplizieren.
1 minus x mal 1 plus x plus x quadrat plus x hoch 3 plus x hoch 4.
Und wenn er das macht, seht ihr, dass sich alles außer der 1 kürzt.
Weil immer das x zum Beispiel einmal mit der 1 multipliziert wird
und einmal die 1 mit minus x ergibt x minus x und das kürzt sich.
Und das ist der Beweis.
Der kommt euch vielleicht ein bisschen fischig vor, aber das kann man alles so machen.
Das ist der Ring der formalen Potenzreihen und in dem kann ich sowas machen.
Also meine Folge 1 1 1 1 1 1 1 1 1 kann ich abspeichern als 1 durch 1 minus x.
Als so eine rationale Funktion.
Und das ist die Magie der erzeugenden Funktion.
Die Magie der erzeugenden Funktion ist, dass ich dieses kompakte Objekt,
1 durch 1 minus x habe, was die ganze unendliche Folge abspeichert.
Und Rechnen mit der Folge ist Rechnen mit dieser erzeugenden Funktion.
Rechnen mit 1 durch 1 minus x.
Möchte ich beispielsweise die Folge 2 2 2 2 2 2 2 2 2 abspeichern,
was denkt ihr euch?
Die entsteht aus der Folge 1 1 1 1 1 1 1 durch mal 2 nehmen.
Ja, da kann ich einfach die erzeugenden Funktion mal 2 nehmen.
Also 2 durch 1 minus x speichert die Folge 2 2 2 2 2 2 2.
Okay, nun sind konstante Folgen vielleicht nicht so interessant.
Deswegen wollen wir ja jetzt diese Partitionsfolge abspeichern.
Und was sich herausstellt, ich belaste euch jetzt nicht mit der Berechnung oder dem Beweis,
ist, dass diese Partitionsfolge sich abspeichern lässt als 1 durch 1 minus x
mal 1 durch 1 minus x Quadrat
mal 1 durch 1 minus x hoch 3
mal und so weiter und so weiter und so weiter.
Leider leider leider immer noch ein unendliches Produkt.
Also ich muss jetzt ein unendliches Produkt verwenden.
Aber es sieht schon so ähnlich aus wie diese kleine Übungsfolge,
die wir davor betrachtet haben.
Okay, also es gibt so eine erzeugende Funktion und sie hat eine wunderschöne Formel.
1 durch 1 minus x mal 1 durch 1 minus x Quadrat mal 1 durch 1 minus x hoch 3 und so weiter,
die einem hilft, mit diesen Partitionen zu arbeiten.
Die Formel geht natürlich auch zurück auf Euler,
der schon das Produkt, diese Kehrwerte von 1 minus x mal 1 minus x Quadrat mal 1 minus x hoch 3
und so weiter untersucht hat.
Und der große Fortschritt durch erzeugende Funktionen,
der kommt eben dadurch, dass es in Computeralgebraischen Zugang gibt,
zur Berechnung von Partitionszahlen und zur Manipulation von solchen unendlichen Folgen.
Wenn man etwa die Summe von zwei Folgen bilden oder das Produkt,
dann kann man das alles eben mit Hilfe von erzeugenden Funktionen ausdrücken.
Und man kann einfache Sätze beweisen, zum Beispiel einen Satz von Euler,
der betrifft dann einzelne Teilsummen davon.
Man könnte sich zum Beispiel mal fragen, wie viele Partitionen gibt es,
in der nur ungerade Summanden vorkommen.
Oder man könnte sich fragen, wie viele Partitionen gibt es,
in der alle Summanden verschieden sind, also kein Summand doppelt vorkommt.
Also 1 plus 1 plus 1 wäre dann nicht erlaubt, weil dann Summand doppelt vorkommt.
Und ein Satz von Euler sagt, es gibt genauso viele Partitionen in ungerade Summanden,
wie es Partitionen gibt in verschiedene Summanden.
Beweis, zweimal die erzeugende Funktion berechnet,
zweimal die gleiche erzeugende Funktion gefunden, Ende des Beweises.
Gut, man muss jetzt noch die erzeugende Funktion berechnen,
aber das hat der Euler halt hinbekommen.
Und wie das geht, lest ihr halt in dem Buch von Björner und Stanley,
A Combinatorial Miscellany.
Das habe ich euch auch verlinkt.
Und so eine Gleichheit zu finden, es gibt genauso viele Partitionen
in ungerade Summanden, wie es Partitionen in verschiedenen Summanden gibt,
das kommt einem jetzt irgendwie, naja, auch ein bisschen arbiträr vor.
Aber in der Kombinatorik liebt man so ein Resultat,
denn das Resultat ist ein Anzeichen dafür,
das ist ein Hinweis in der großen Spurensuche der Mathematik.
Es deutet meistens darauf, dass es irgendwie auch eine Zuordnung gibt,
eine bijektive Zuordnung, wie man sagt.
Also wir wissen, zwei mathematische Klassen,
in diesem Fall diese Partitionen mit Sonderbedingungen,
haben die gleiche Anzahl.
Da fragt man sich, gibt es vielleicht auch eine 1 zu 1 Zuordnung
zwischen den Objekten in diesen beiden Klassen.
Also wenn zwei Dinge die gleiche Anzahl haben,
fragt man sich nach einer natürlichen 1 zu 1 Zuordnung.
Das ist jetzt eigentlich so eine Art Template der Kombinatorik
oder Template der kombinatorischen Forschung.
Man beobachtet eine Gleichheit von Zahlen
und sucht eine Gleichheit von Objekten,
die zu dieser Gleichheit von Zahlen führt.
Man sucht Zusammenhänge und die Gleichheit von Anzahlen
sind Fingerabdrücke dafür.
Das ist auch der Grund, warum so eine Webseite wie die OEIS,
diese Datenbank von ganzzahligen Folgen, so nützlich ist,
weil dies so eine Art Fingerabdruck-Datenbank ist.
Man sucht nach dem Fingerabdruck
und die Datenbank gibt einem die möglichen Verdächtigen in dem Fall.
Zum Beispiel werden Partitionen auch gerne grafisch dargestellt
durch Ferrer-Diagramme oder Young-Diagramme.
Da macht man das so.
Wenn man also die 5 schreiben will als 4 plus 1,
dann fängt man links oben an und macht eine Zeile aus 4 Quadraten.
Ihr könnt jetzt auf euer Podcast-Player gucken,
wenn er es unterstützt.
Oder ihr malt euch einfach 4 Quadrate nebeneinander,
die so aneinanderstoßen in die erste Reihe.
Dann macht er euch noch 1 Quadrat in die zweite Reihe.
Dann habt ihr so einen Haken,
sieht aus wie so ein Tetris-Stein oder so.
Nicht ganz, weil es 5 Teile hat.
Aber ihr seht vielleicht, dass ihr euch die Partitionen
durch solche Anordnungen von Boxen hinschreiben könnt.
Er macht in der ersten Reihe eine Anzahl Boxen,
die für den ersten Summanden steht,
in der zweiten Reihe eine Anzahl, die für den zweiten Summanden steht
auf so einem Diagramm.
Das nennt man die englische Notation eines Young-Diagramms.
Ein Fährers-Diagramm ist das gleiche,
wenn man die Boxen durch Punkte ersetzt.
Da gibt es auch verschiedene Notationen.
Diese Struktur ist auch so oft entdeckt worden,
dass es da verschiedene Konventionen gibt.
Man kann das auch von links unten beginnen.
Die größte Anzahl Boxen links unten hin machen.
Das wäre dann die französische Notation.
Aber das ist jetzt nicht so wichtig.
Wir haben jetzt für so eine Partition
auch noch eine grafische Darstellung.
Es ist eine ganz einfache grafische Darstellung.
Man malt einfach so Boxen hin und hat so einen Stapel von Boxen,
die irgendwie links oben an der Ecke hängen.
Das gibt dann aber wieder neue Einsichten.
Man kann z.B. so einen Stapel von Boxen flippen an der Diagonalen.
Eben hatte ich vier Boxen in der ersten Zeile
und darunter eine Box.
Und wenn ich das jetzt an der Diagonale spiegle,
kriege ich in der ersten Reihe zwei Boxen
und dann eine, eine, eine.
Könnt ihr euch das vorstellen?
Also aus vier nebeneinander und eine darunter
werden vier untereinander und eine daneben.
Und wenn ich das zeilenweise lese,
kriege ich 2 plus 1 plus 1 plus 1.
Da sehe ich eine Bijektion.
Die Partition, die 4 plus 1 darstellt,
oder das Yang-Diagramm, das 4 plus 1 darstellt,
ist, wie man sagt, konjugiert zu dem,
dass 2 plus 1 plus 1 plus 1 darstellt.
Und es braucht nicht viel Fantasie,
um sich vorzustellen,
dass man damit in der Mathematik was anfangen kann
mit dieser Konjugation.
Z.B. kann man ganz leicht folgenden Satz beweisen.
Wir haben jetzt gerade bewiesen,
die Anzahl Partitionen mit genau k Summanden
ist gleich der Anzahl Partitionen,
deren höchster Summand k ist.
Denn die Anzahl Partitionen mit k Summanden
ist die Anzahl der Yang-Diagramme mit k Zeilen.
Und die Anzahl der Partitionen,
deren höchster Summand k ist,
ist die Anzahl der Yang-Diagramme mit k Spalten.
Und die stehen durch Konjugation
miteinander in 1 zu 1 Beziehung.
Also allein diese grafische Darstellung,
die wir an der Zerlegung von Zahlen als Summe nicht sehen,
gibt uns wieder neue Einsichten.
Und dann werden allerlei neue Dinge
anhand dieser Diagramme definiert.
Bezüge zu anderen Gebieten der Mathematik werden klar.
Und man hat eine schöne Implementierung
des kombinatorischen Prinzips,
dass Mathematikerinnen und Mathematiker
oft ihre Kollegen fragen und Kolleginnen,
hast du diese Zahlen schon mal irgendwo gesehen?
Am Anfang geht es über Zahlen.
Man hat eine Zahlenfolge, man forscht,
findet eine Zahlenfolge und fragt dann irgendwen,
das Internet oder die Kollegin oder den Kollegen,
hast du diese Zahlen schon mal gesehen?
Und wenn man diese Zahlen schon mal gesehen hat,
dann sagt man, oh, das sind doch die Partitionszahlen.
Und wenn man erst mal sieht,
oh, das sind doch die Partitionszahlen,
dann öffnet sich eine ganze Welt.
Man hat eine Bijektion zu Yang-Diagrammen
und man hat die ganze Liste in OEIS
von Dingen, die man untersuchen kann,
ob diese komplizierteren Dinge
vielleicht in Bezug zu der gerade
untersuchten Theorie stehen.
Und so werden dann immer wieder
neue Einsichten möglich,
auch in der statistischen Physik.
Also ich verlinke euch mal
einen Artikel zum Hard-Hexagon-Modell.
Das ist ein Modell für ein Gas aus der statistischen Physik,
dessen Lösung 1980
auf eine bemerkenswerte Parallele
zu Ramanujans Arbeiten
über die Partitionszahlen zurückgeht.
Und in diesem Sinne hoffe ich,
ich konnte euch einen kleinen Eindruck geben,
wie die Kombinatorik
einer Art Nanotechnologie
der Mathematik ist.
Das ist ein Zitat von Sarah Billy,
einer amerikanischen Mathematikerin,
und uns Fingerabdruck-Datenbanken
für Theoreme liefert.
Gut, damit will ich es
gewesen sein lassen für heute.
Das war Nummer 16.
Ich wünsche euch noch eine schöne Zeit
und bis zum nächsten Mal.
Macht's gut. Tschüß!