Thomas Kahle
Von alten Computerspielbrettern, über Siedler von Catan bis zur Bienenwabe begegnen uns die regelmäßigen Sechsecke. Mit ihnen lässt sich die Ebene schön regelmäßig überdecken. In diese Urlaubsfolge schaue ich mir das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln an.
Man kann auch versuchen, die Ebene aperiodisch zu unterteilen, also so, dass sich eben nichts wiederholt. Das gibt sicher interessante Spielbretter, führt aber auch zu einer mathematischen Entdeckung, die weniger als ein Jahr alt ist: Ein aperiodische Unterteilung der Ebene in nur gleiche Teile.
Außerdem solltet ihr euch ein Hexaflexagon basteln!
- Battle Isle Serie
- Hex-Spiel
- Escher’s fliegender Fisch als 3D-Druck
- Vorteile des Hexagons (für die Biene) – ZDF
- Bravais-Gitter (Wikipedia)
- Sendung mit der Maus: Geschenkpapier
- An aperiodic monotile
- Hexaflex yourself
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Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
So, hallo da draußen. Hier ist der Eigenraum mit unserer Nummer 20.
Ich bin gerade im Urlaub und das ist eine gute Zeit, um mal wieder einen Podcast zu
machen. Ist ja schon wieder ein Weilchen her, wie ich immer sage. Und das Sommersemester ist nun rum und ich muss auch nicht mehr meine vier Live-Shows
pro Woche machen, was dann zum Ende hin dann doch immer etwas die Zeit benutzt,
die man so zur Verfügung hat. So, ich bin auch ganz woanders und nutze ein anderes
Mikro, also falls ihr irgendwie Zirkaden im Hintergrund hört, dann liegt es daran,
dass mein Setup heute ein bisschen anders ist, aber wahrscheinlich hat auch Phonic meine One-Stop-Lösung
für Audioverbesserungen auch irgendein Zirkadenfilter und dann hört ihr das eh nicht mehr.
Und ich hoffe, es hört sich noch einigermaßen erträglich an.
Meine Story heute beginnt mal wieder mit Spielen. Ich liebe Spiele und wenn ihr auch gerne Strategie-Spiele spielt zum Beispiel,
dann sind euch schon die Hexagon-Spielfilter aufgefallen.
Und neulich musste ich mal was 3D-drucken für ein Familienmitglied,
das ein Spiel, die selbst designen wollte, und dazu hexagonale, 3D-gedruckte Spielfelder brauchte.
Und da habe ich OpenSCAD benutzt, das ist so eine Software, OpenCAD-Software für Design.
Und da ist mir aufgefallen, dass man in OpenCAD ein perfektes Hexagon herstellen kann,
indem man einfach einen Kreis macht.
Und jeder Kreis ist eigentlich ein reguläres N-Eck. Und man kann angeben, wie viele Ns man haben will, also wie viele Ecken.
Wenn man wirklich einen Kreis haben will, nimmt man eher so ein Tausendeck.
Wenn man aber ein Sechseck nimmt, also einen Kreis mit genauigkeit 6,
kriegt man ein perfektes Hexagon.
Das ist die einfachste Möglichkeit, in OpenSCAD einen Hexagon zu machen.
Jetzt wisst ihr das auch, falls ihr mal in Hexagon 3D drucken wollt.
Ich wollte eigentlich über Strategiespiele spielen.
Eines der ersten Strategie-Computer-Spiele, die ich gespielt habe, hieß Battle Isle.
Wer von euch ist alt genug, um Battle Isle noch zu kennen?
Von Blue Byte war das, glaube ich. Das war ein rundenbasiertes Strategiespiel.
Ich hatte so ein Hex-Spielfeld.
Danach kamen auch noch andere in der gleichen Reihe, z.B.Historyline war auch ziemlich viel gespielt von mir und interessant.
Siedler von Catan ist ja auch ein Brettspiel, was viele kennen, hat auch diese hexagonalen Felder.
Und es gibt sogar ein Spiel, das heißt Hex. Das wurde, glaube ich, von John Nash erfunden,
diesem Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler.
Den kennt man aus dem Film A Beautiful Mind. Den Film kennt ihr sicher.
Und was ihr sicher nicht kennt, ist den Mathematiker, dessen Hand in Beautiful Mind sichtbar ist,
wenn Mathe geschrieben wird. aber ich gebe seine Identität nicht preis.
Könnt ihr mich mal fragen, wenn ihr mich persönlich trefft.
Das ist gar nicht die Hand von Russell Crowe. Man denkt, es ist Russell Crowes Hand,
aber die haben einen Mathematiker beschäftigt, der die ganze Mathematik in dem Film durchgecheckt hat.
Und ich glaube, bei den Szenen, wo was an die Tafel geschrieben wird,
ist es auch nicht Russell Crowes Hand, falls ihr das denken würdet.
Aber das ist eine ganz andere Geschichte. Es soll ja heute nicht um Filme gehen, sondern um Hex.
Und bei diesem Hex-Spiel, das von John Nash erfunden wurde, hat man so ein 11x11 Spielfeld, das aus Hexagons,
also regulären Sechsecken, besteht.
Also so 11 Sechsecke nebeneinander und darunter eine Reihe noch mal 11.
Die ist dann aber so ein bisschen verschoben. Und darunter noch mal eine Reihe von 11 Sechsecken,
die ist auch wieder so ein bisschen verschoben.
Und in 11 Reihen hat man so ein 11x11 Spielfeld aus Hexagons.
Das bildet aber dann eher so eine Art Parallelogramm mit so einem flatterigen Rand, wo die Ränder von den Hexagons sind.
Und die Spieler haben, das ist für zwei Spieler, und die haben jeder ein Paar von gegenüberliegenden Seiten. Also jeder Spieler hat ein Paar von
gegenüberliegenden Seiten und versucht jetzt die zu verbinden. Und die Spielzüge sind ganz einfach,
man färbt einfach abwechselnd je ein Feld in seiner Farbe. Und das Ziel ist es, die beiden Seiten zu
verbinden. Könnt ihr mal drüber nachdenken oder spielen. Wenn ihr euch den Spaß verderben wollt,
könnt ihr auch den Wikipedia-Artikel lesen und wie man das Spiel theoretisch analysiert,
aber ich will euch ja jetzt nicht den Spaß verderben. Aber viele Strategiespiele haben
diese hexagonalen Spielfelder. Denn irgendwie will man eine Karte einer Welt machen und,
die muss aber für diese Spielmechanik meistens diskret sein. Also es gibt irgendwie als Vereinfachung
nur so bestimmte Orte, an denen die Einheiten oder Städte oder was auch immer so herumhängen kann.
Und meistens ist es dann bei diesen hexagonalen Spielferien in der Mitte von einem Hexagon.
Bei Siedler von Katarn z.B. nicht, da steht nur dieser Ritter auf den Hexagons
und die Städte und Straßen sind auf den Kanten und Ecken.
Aber z.B. bei Battle Isle, dem eben erwähnten uralten Strategiespiel,
ist es so, dass die Einheiten in der Mitte von einem Hexagon stehen.
Also eine Einheit steht auf einem Hexagon.
Da kann man sich erst mal fragen, wie man das machen kann. Also so eine Spielfläche in so diskrete Teile einteilen,
wo dann die Einheiten rumstehen können und wie die sich dann bewegen können.
Und die Spielfläche ist meistens eine Ebene, wenn man jetzt nicht irgendein absurdes Spiel hat.
Und die muss man also immer in so gleiche Stücken unterteilen und damit diskretisieren, wie man sagen könnte.
Und die einfachste Möglichkeit sind vielleicht einfach so Quadrate.
Also wie man es einfach kennt vom Badezimmer, Fußboden oder so.
Man nimmt einfach lauter Quadrate, gleiche, und legt die nebeneinander.
Also so wie bei Schach zum Beispiel. Bei Schach hat man einfach diese Quadrate.
Und so war es auch übrigens bei Civilization 1, einem anderen Computerspiel-Klassiker.
Und bei Civilization 1 hatte man die Möglichkeiten, mit seinen Einheiten immer links, rechts, oben, unten zu gehen, aber auch diagonal.
Man hat dafür immer diesen Ziffernblock vom Keyboard benutzt.
Und das hat irgendwie den komischen Effekt, dass wenn man diagonal geht, dass man auf der Karte eigentlich eine viel weitere Strecke zurücklegt,
als wenn man einfach nur einmal nach rechts oder nach oben geht, nämlich genau Wurzel 2 mal so weit, wie wenn man zur Seite geht.
Und wenn man erst nach rechts und dann nach oben geht, macht man in zwei Schritten die Strecke,
die man sonst in einem Schritt macht.
Also Entfernungen werden bei diesen quadratischen Feldern nicht so gut abgebildet.
Dafür kann man aber schön einfach Koordinaten angeben. Also beim Schach hat man das quadratische Koordinatensystem,
das funktioniert ziemlich gut.
Gut, bei Schach sind vielleicht die Entfernungen nicht so wichtig,
das ist irgendwie viel mehr abstrahiert.
Aber wenn man an so ein Spiel wie Civilization denkt, wo man halt auch so seine Ritter rumlaufen lässt
und gegen andere Ritter kämpfen lässt oder Städte baut, da will man vielleicht Entfernungen
schon realistisch abbilden.
Man könnte die Ebene auch in Dreiecke unterteilen.
Da treffen sich dann an jeder Ecke von so einem Dreieck sechs Dreiecke.
Das wird für Strategiespiele, glaube ich, nicht so häufig verwendet,
wie die Unterteilung in Sechsecke, die auch möglich ist und über die ich ja eigentlich mal reden will.
Die beiden sind aber auch so ein bisschen verwandt.
Also bei der Sechseck-Unterteilung unterteilt man das eben in Sechsecke und an jeder Ecke treffen sich drei Sechsecke.
Und in Civilization VI, um jetzt noch eine VI unterzubringen, ist es auch so.
Ich weiß nicht mehr genau, bei welchen das gewechselt hat. Also Civilization ist ja so eine Reihe, Computerspielreihe.
Irgendwann haben die auch auf die Sechsecke, die Hexagons, gewechselt.
Und da kann man gleich mal beobachten, zwei Dinge. Erstens, man kann die Einheit nicht mehr so super,
mit einem Ziffernblock auf dem Keyboard steuern.
Also für die Jüngeren unter euch, der Ziffernblock ist so eine Anordnung wie beim Handy, wenn man den Code eingibt, den Sicherheitscode.
So eine Anordnung von den Zahlen. Das gab es früher auf der Tastatur, rechts neben den Buchstaben.
Und mit den 8, also mit der Mitte, konnte man nichts machen.
Oder vielleicht stehenbleiben. Und mit den acht drumherum liegenden konnte man eben in die vier
geraden Richtungen und vier diagonalen Richtungen laufen, weil es genau abgebildet wurde. Aber wenn
jetzt so ein Hexagon, das hat ja sechs Ecken und sechs Nachbarseiten und dann gibt es also nur noch
sechs Richtungen. Da steuert man dann also irgendwie anders, aber bildet sich nicht mehr so
schön auf diesen Block ab. Dafür ist aber jedes Hexagon, jedes benachbarte Hexagon gleich weit
entfernt. Also für einen einzelnen Schritt sind alle möglichen Schritte gleich lang.
Wenn man so eine Stadt hat, kann man die also in sechs Richtungen verlassen.
Die Stadt braucht sechs Stadttore.
Und kann man sich fragen, ob es noch andere Möglichkeiten gibt, aber mit fünf Ecken und sieben Ecken und noch mehr Ecken kann man die Ebene nicht unterteilen.
Das kann man sich mithilfe der Innenwinkel in dem beteiligten N-Eck überlegen, aber ich mache jetzt hier mal keinen Audiobeweis.
Wenn man ein Mehr-Eck hätte, würde das vielleicht irgendwie so eine kreisförmige Stadtmauer besser abbilden und auch Reichweite, aber es passt eben nicht.
Man hat dann eben Zwischenräume. Also wenn man zum Beispiel Kreise für die
Städte nehmen würde, dann müsste man die Kreise irgendwie packen. Also müsste man
sehen, wie zwei Kreise nebeneinander liegen sollen und das würde dann gleich
wieder irgendwie so ein Niemandsland erzeugen, was zwischen zwei Kreisen liegt,
wo man nicht hin kann. Könnte man auch so machen, aber mit den sechs Ecken ist es
eben ganz praktisch, weil jedes Stück der Karte zu einem von diesen sechs Ecken
gehört. Also es ist eine perfekte Parkettierung, ist eine Unterteilung der.
Ebene. In Civilization 6 haben die Einheiten übrigens eine Reichweite, also
spätere Einheiten, die einen Motor haben oder so, die können mehrere Hexagone auf
einmal laufen. Und interessanterweise können die Einheiten mit Reichweite 2,
die können nicht zweimal in die gleiche Richtung gehen. Also wenn man sich so ein
Hexegg vorstellt, dann können die nicht zweimal in die gleiche Richtung laufen,
sondern die müssen immer so einmal leicht die Richtung wechseln,
sonst würde die Reichweite 2 nicht ausreichen. Und das ist auch so, dass für
die Felder, die man mit zwei Zügen erreichen kann, wenn man zwei Hexbewegungen macht, zwei
Sechsecke weit geht, dass es da schon wieder kleine Unterschiede gibt in der Entfernung.
Also alles, was zwei Sechsecke entfernt ist, kann unterschiedlich weit, in dem wirklichen
Abstand auf der Ebene entfernt sein, aber eben nur so ungefähr 15 bis 16 Prozent Unterschied.
Während bei Quadraten eben dieser Wurzel-2-Faktor, also fast 41 Prozent Unterschied möglich ist,
wenn man diagonal geht, gegen gerade gehen.
Ja, und ein weiterer Unterschied bei den Sechseckfeldern ist, dass man eben nicht so gut Koordinaten angeben kann.
Also diese Schachkoordinaten, die man hat, die gibt es bei Civilization nicht so.
Aber es ist vielleicht auch nicht so wichtig, dann alles mit Koordinaten anzugeben.
Natürlich gibt es auch Koordinatensysteme, aber die sind vielleicht nicht so intuitiv.
Also Punkte in der Ebene kann man natürlich immer mit zwei Zahlen angeben,
aber diese Zahlen sind nicht so einfach in die wirklichen Orte umzurechnen,
wie man es jetzt beim Schachbrett gewohnt ist.
Ja, also diese Hexagone faszinieren die Menschen, die tauchen nämlich auch in der Natur auf,
bei Bienenwaben, Eiskristallen, also wenn ihr da mal rumgoogelt, dann findet ihr z.B.
Sehr viel Wissenschaftliches und Pseudo-Wissenschaftliches über die sechseckigen Bienenwaben.
Ich habe gelesen, dass Kepler sogar den Bienen mathematisches Talent unterstellte und angeblich im 17.
Jahrhundert diskutiert wurde, diese Weite einer Bienenwabe, einer sechseckigen Bienenwabe
als fundamentale Längeneinheit zu nutzen. Also bevor sich das Meter durchgesetzt hat,
sollte das mal die fundamentale Längeneinheit sein. Dann würde es nicht 100 Meter Lauf geben,
sondern 1000 Bienenwaben oder was weiß ich, Föhnlauf. Und bei diesen Bienenwaben handelt
es sich aber auch um eine zweidimensionale Struktur. Die Bienen arbeiten halt immer in
so Schichten und deswegen sind die irgendwie auch auf diese hexagonale Bauweise gekommen.
Interessant, oder? Und was dahinter steckt, ist eben so ein hexagonales Gitter. Also man kann
sich auch noch über die Symmetrien dieser Anordnung Gedanken machen und sich
überhaupt mal fragen, wenn man jetzt Fliesenleger wäre oder so überhaupt die
Ebene unterteilen will in so ein Spielbrett oder so eine Parkettierung oder Fliesenlegen immt, dann...
Was für Möglichkeiten gibt es denn da eigentlich? Und da kann man mal so ein bisschen Grundausbildung Mathematik mitmachen,
wenn man Fliesenlegerin werden will.
Zum Beispiel, wenn ich mein Paket aus immer gleichen Holzstücken legen will,
sagen wir mal, man hat immer das gleiche Stück.
Also eine Art von Fliese, die haben sie im Baumarkt gekauft, ganz viele davon,
und wenn die jetzt so aneinander legen, dass da irgendwie keine Löcher bleiben,
dann könnte ich ja immer die Mittelpunkte oder Schwerpunkte oder irgendeinen fixierten Punkt davon mir merken.
Und die bilden dann so eine Anordnung von Punkten in der Ebene und diese Punkte nennt man ein Gitter.
Und das bekannteste Gitter ist eben diese rechteckige Gitter, wie wenn ich Quadrate aneinander lege.
Also die Mittelpunkte oder Eckpunkte von Quadraten bilden so ein quadratisches Gitter.
Man hat einen ersten Punkt und dann hat man zwei rechtwinklige Richtungen und geht in genau gleichen Abständen in diese Richtung,
um wieder zu Punkten zu kommen, Mittelpunkten oder Eckpunkten von den Quadraten.
Und da sieht man auch schon, wie man die Parameter, also wie man jetzt verschiedene Gitter konstruieren kann.
Also man könnte die beiden Richtungen unterschiedlich lang machen.
Zum Beispiel immer noch rechtwinklig, aber in die eine Richtung gehe ich immer nur ein Kästchen oder eine Einheit
und in die andere Richtung gehe ich immer nur zwei Einheiten.
Dann würde ich eben ein rechtwinkliges Gitter bekommen, wo die Ebene parketiert ist aus Rechtecken.
Sowas ist möglich. Und ich kann natürlich noch den Winkel ändern.
Also dann würde ich sozusagen Parallelogramme benutzen.
Wenn ich jetzt zum Beispiel einen 60-Grad-Winkel habe, dann kann ich in die Richtung nach rechts, sagen wir mal, gehen
oder so schräg nach rechts oben und dort zu neuen Punkten kommen.
Und wenn das wieder Eckpunkte sind, dann ergibt sich eben so eine Parallelogrammunterteilung.
Ja und wenn man die Hexagon-Unterteilung haben will, dann nimmt man einen Winkel von 120 Grad.
Also eine Richtung zeigt nach rechts und die andere, das ist also ein stumpfer Winkel,
120 Grad, zeigt so nach links oben.
Und das sind die zwei Kanten eines Sechsecks. Also im Sechseck ist der Innenwinkel 120 Grad.
Und wenn man die beiden Strecken, die 120 Grad auseinander liegen, in der gleichen Länge wählt,
dann kriegt man eben so ein Hexagon-Muster.
Diese beiden Vektoren, die spannen ja auch so ein Parallelogramm auf und der vierte Punkt, der dann dazu gehört, der würde dann genau zu dem Mittelpunkt des Hexagons gehören.
So, jetzt treten wir mal einen Schritt zurück. Was haben wir gemacht?
Wir haben angefangen damit, dass es eine Symmetrie geben soll, eine Verschiebungs-Symmetrie.
Also ich bin davon ausgegangen, dass mein Parkett immer aus den gleichen Teilen besteht,
und dass, wenn ich eine bestimmte Einheit in eine Richtung gehe, wieder ein neues Teil anfängt.
Und dadurch, dass da wieder ein neues Teil anfängt und alles regelmäßig ist,
wird dort wieder ein Kopie von dem gleichen Parkett liegen und alles sieht wieder genauso aus.
Also wenn ich die ganze Ebene nehme und um diese Einheit verschiebe,
sieht alles wieder genauso aus.
Und das nennt man eben eine Symmetrie und darauf baut alles auf.
Also ich habe zuerst die Symmetrie angegeben und die Symmetrie zwingt mir da so ein bisschen auf, wie die Zelle aussehen soll.
Also wenn ich meine Symmetrie so aufbaue, dass ich den 120 Grad Winkel nehme
und zwei gleiche Längen, dann ergibt sich eben so ein hexagonales Muster.
Und wenn ich den Winkel 90 Grad und zwei gleiche Längen nehme,
dann ergibt sie eine Unterteilung in Quadrate.
Und die Leute, die jetzt supergenau aufgepasst haben oder sich schon damit auskennen,
die werden natürlich auch sagen, naja, aber was ist der Unterschied zwischen 120°-Winkel und 110°-Winkel?
Und der Unterschied ist eben eine zusätzliche Symmetrie. Also diese Hexagon-Unterteilung hat eine zusätzliche Symmetrie als Ganzes,
dadurch, dass da diese Drehungen um 120° das auch invariant lassen,
während das beim Quadraten, beim 90°-Winkel, der 90°-Winkel ist eben auch besonders,
Da entsteht was Besonderes. Und der 110°-Winkel ist nicht besonders.
Da hat man einfach nur so Parallelogramme, die aneinander kleben.
Man nennt diese Konfiguration Bravais-Gitter.
Und je nach Zählweise gibt es dann vier oder fünf Typen. Zwei sind eng verwandt, weshalb man sie irgendwie auch als ein Typ bezeichnet.
So rechteckeinander legen ist also einfach die beiden Abstände in beide Richtungen unterschiedlich und senkrecht und
Parallelogramme oder eben Hexagone.
Und die mathematische Struktur der Punkte, dieser Eckpunkte, die man da aufbaut, das ist ein zweidimensionales Gitter und man kann dann auch untersuchen, dass das so eine Gruppe bildet, also die sieht aus wie die ganzen Zahlen ins Quadrat, Z2.
Und die Längen- und Winkelinformationen, die sind dieser Gruppenstruktur eben nicht abgespeichert, sondern immer nur, man kann nach rechts, nach rechts, nach rechts, nach rechts, nach links, nach links, nach links, immer weiter.
Und dann in die zweite Richtung, egal welchen Winkel die einnimmt, kann man auch unabhängig davon.
Und es gelten dann solche Regeln wie die Kommutativität, eins nach rechts gehen und dann eins in die andere Richtung,
ist genau das gleiche wie eins in die andere Richtung gehen und dann eins nach rechts.
Das ist die mathematische Struktur der Gruppe, die da in die Gruppe der Ebene eingebettet ist.
Und diese ganze Konzeption der Gitter, die geht auch auf die Physik zurück.
In der Physik der Kristallgitter spielt es eine wichtige Rolle zu verstehen,
welche möglichen Anordnungen von Atomen es gibt und welche Symmetrien die aufweisen.
Also die 3D-Variante dieser Klassifikation, die ist extrem wichtig,
wenn man Kristallstrukturen verstehen will.
Ich weiß das auch noch, das ist noch so eine nicht so tolle Erinnerung an meine Experimentalphysik-Vorlesung, wo man damit bombardiert wurde,
wurde, ohne genug Struktur und einfach mit Fachvokabular, das man nicht kannte.
Es gab noch keine Wikipedia, wo man das einfach mal nachschlagen konnte und es war einfach nur
Hieroglyphen abschreiben in der Vorlesung und zu Hause verstehen. Der Dozent geht irgendwie
davon aus, dass man alles schon weiß. Das ist sowieso eine super coole Lehrmethode,
die alles vereinfacht. Einfach davon ausgehen, dass die Zuhörenden sowieso schon alles wissen.
Also war in meinem Studium der Experimentalphysik eine beliebte Annahme in der Lehre.
Und dann wird man diese ganzen Begriffe wie kubisch, flächenzentriert und so weiter,
ohne vorherige Erklärung, dass es um Symmetrie geht oder...
Naja, jedenfalls, vielleicht war ich damals einfach noch nicht bereit.
Vielleicht war es auch eine ganz tolle Vorlesung. Aber heutzutage eine einfache Wikipedia-Erklärung ist das didaktisch schon etwas weiter.
Also die habe ich jetzt jedenfalls verstanden und überlege ich euch auch mal.
Und das, was wir jetzt hier gemacht haben für unsere hexagonalen Spielfelder,
Das ist einfach nur die zweidimensionale Variante davon.
Die zweidimensionalen Bravais-Gitter, das sind immer die Seiten von den dreidimensionalen Bravi Gitton.
Okay, wenn man jetzt von diesen Spielfeldern noch mal ein bisschen zur Fliesenleger- und Parkettausbildung übergeht,
dann kann man ja auch noch überlegen, dass Fliesen eigentlich noch ein Muster drauf haben.
Die meisten, da gibt es natürlich auch einfarbige Fliesen, was auch wieder Symmetrien aufweisen oder nicht aufweisen kann.
Also wenn ich jetzt wirklich Fliesen lege und selbst wenn die alle quadratisch sind,
und da ist aber irgendein Muster auf jeder Fliese, was sich dieser Symmetrie widersetzt,
dann kann das gesamte Muster an der Wand eben noch weniger symmetrisch sein.
Also wenn ich zum Beispiel meine Fliesen nur mit einfarbigen, quadratischen Fliesen durchpaketiere,
dann kann ich alles um 90 Grad drehen und es sieht noch genauso aus.
Aber wenn ich jetzt einen Weihnachtsmann auf die Mitte von der Fliese mache
und er steht aufrecht und ich drehe alles um 90 Grad, dann mögen zwar die Quadrate alle schön wieder auf die Quadrate abgebildet werden,
aber alle Weihnachtsmänner liegen jetzt auf der Seite.
Das meine ich mit Motiv.
Wenn das Motiv auf der Fliese aber ein Kreis ist, der auch diese 90°-Symmetrie aufweist,
dann könnte ich wieder drehen.
Also es hängt eben noch von dem Motiv ab.
Und dann kann man dann auch weitermachen, in der Mathematik zu klassifizieren, was für
Gesamtsymmetrien entstehen können.
Aus der Kombination von dem Fliesenlegen und den Motiven auf den Fliesen und die 17 Wallpaper-Groups,
sich anschauen. Da sind 17 Möglichkeiten, ein regelmäßiges Parkett mit Motiven zu machen.
Und da gibt es zum Beispiel von Escher schon Arbeiten dazu, also als ich viel die Kunst
mit beschäftigte, eben auch Kepler, der vorhin schon erwähnt wurde. Und von Escher gibt es
so ein Einteile-Puzzle. Das kann man auch 3D drucken. Heute haben wir es mehrfach mit
3D gedruckt. Also das Einteile-Puzzle, das besteht aus so einem Fisch, der hat Flügel,
also ein Fisch mit Flügel. Und man braucht nur diesen einen Fisch. Und den druckt man
kann sich dann ganz oft 3D oder lässt sich den vom Fliesenleger anfertigen.
Und alle diese Fische passen genauso zusammen, dass die Ebene dann komplett ausgefüllt wird.
Also könnte man so auch sein Wohnzimmer paketieren oder das Badezimmer fließen.
Wird vielleicht ein bisschen teuer, aber es sieht bestimmt schön aus.
Und für die mathematische Analyse unterteilt man die Ebene immer in so Parallelogramme.
Das ist eben das zugrunde liegende Gitter.
Zu bestimmen, das ist eben der erste Schritt.
Und hat damit das Bravaisgitter.
Und dann könnten die Grenzen dieser Parallelogramme noch durch die Figuren schneiden, die man da abgebildet hat.
Und die Wiederholung ist dann so, dass es genau wieder passt.
Also, dass dann, wenn die Grenze von so einem Parallelogramm durch die Figur schneidet,
dann muss, damit die Figur schön aussieht, eben an der anderen Seite wieder das gleiche Muster entstehen.
Ja, und dann gibt es da diese 17 Wallpaper Groups und die haben dann irgendwie so kryptische Namen,
wie zum Beispiel P1, P1 ist die einfachste, besteht nur aus der Verschiebung entlang der Parallelogramme.
Und das wäre so, wenn das Symbol, was da drauf ist, total asymmetrisch ist.
Also zum Beispiel der Weihnachtsmann. Oder ein Osterhase.
Also, ein Weihnachtsmann ohne Symmetrien.
Also der wirklich links und rechts, wo man auch nicht spiegeln kann oder sowas.
Und wenn man jetzt so einen Weihnachtsmann da drauf hat, dann wird die Symmetrie eben
außer der Translationssymmetrie.
Also wenn ich alles nach rechts schiebe, landet der erste Weihnachtsmann wieder auf dem Weihnachtsmann
rechts daneben und alles ist wieder symmetrisch. Also die Symmetrie der unterliegenden Parkettierung, die bleibt erhalten, die Verschiebungssymmetrie.
Und die nennt man P1 für die Quadrate.
Oder Hexagone mit asymmetrischen Motiven drauf. Es gibt auch so einen Film von einer Sendung mit der Maus,
in dem die Geschenkpapier herstellen, den kann ich euch auch mal verlinken.
Ich hab nicht mehr genau in Erinnerung, welche Gruppe da genutzt wird, aber das ist ganz cool.
Da sieht man so eine Designerin, die so ein Weihnachtsgeschenkpapier designt und die hat ein Computerprogramm,
in dem nur eine so eine Zelle gezeigt wird.
Also dieses Geschenkpapier, das Motiv wiederholt sich natürlich auch immer.
Das ist natürlich ein relativ großes Motiv, sodass man es nicht gleich sieht, dass es sich immer wiederholt,
aber natürlich wiederholt sich es immer.
Indem man diese Zelle genau sieht und wenn sie dann so ein Weihnachtsmann rechts
rausschiebt, erscheint der links auch wieder.
Und dann gibt es auch so Exponate. Also wenn ihr mal auf dem Tag der offenen Tür
für Mathematik in Magdeburg wart, habt ihr vielleicht auch unser Wallpaper Group
Mathewohnzimmer benutzt. Okay, an der Stelle kann ich jetzt auch noch was zu,
aperiodischen Unterteilungen sagen. Man könnte ja auch versuchen, diese Symmetrien komplett zu unterbinden. Also dass man auch durch Verschieben des
ganzen Musters niemals wieder das gleiche Muster erzeugt. Also stellen wir uns mal so ein unendliches Muster vor, wie die Parkettierung mit Quadraten, aber.
Wir wollen es jetzt irgendwie so machen, dass wir die Ebene unterteilen und egal
wie ich das verschiebe nach rechts, links, oben, egal in welchem Winkel, soll nie
wieder das gleiche Muster entstehen. Es soll also keine Symmetrien aufweisen, also.
Wie so ein bisschen das Gegenproblem. Und das sind meine abperiodische Unterteilungen und da ist kürzlich was interessantes passiert in der
Mathematik. Also man darf keine Translationssymmetrien haben für so eine aperiodische Unterteilung, egal wie man das Muster verschiebt. Es darf nie auf
sich selbst zu liegen kommen. Eine Rotationssymmetrie sei jetzt aber trotzdem mal erlaubt. Kann man später auch noch verbieten, aber wenn es sich um
60 Grad dreht, darf es wieder auf sich selbst abgebildet werden. Und das berühmteste und oft paketierte solche Muster ist das sogenannte Penrose-Muster,
benannt nach Roger Penrose, beziehungsweise ist es nicht nur ein Muster, sondern es gibt mehrere Varianten davon. Roger Penrose, auch Physiker und Mathematiker,
der sich in den 1970er Jahren damit beschäftigt hat. Also es gab vorher auch schon viele Arbeiten
dazu. Ich glaube auch Dürer und Escher und so haben sich auch schon damit beschäftigt. Und,
eine von den Varianten von diesem Penrose-Muster, die besteht aus zwei verschiedenen Fliesen,
die beide Rauten sind. Und die kann man immer wieder so aneinander legen, dass keine Lücken
bleiben. Also man komplett eine Wand fließen kann und dass es aber aperiodisch ist. Das heißt,
keine Verschiebung des Musters führt dazu, dass es wieder genauso aussieht wie vor der Verschiebung.
Also komplett aperiodisch. Für Fliesenlegerinnen und Fliesenleger ist das relativ schwierig dann zu konstruieren.
Also dieses quadratische Muster ist relativ einfach. Man macht einfach Quadrat, ein Quadrat, ein Quadrat, ein Quadrat, ein Quadrat und es ist genau periodisch.
Aber dieses aperiodische Muster, da muss man eben eine Konstruktionsvorschrift lernen.
Also die FliesenlegerInnen standen überall auf der Welt vor der Herausforderung,
diese Konstruktionsvorschrift zu lernen.
Weil natürlich jedes Mathe-Department auf der Welt, das irgendwas auf sich hält,
das für den Boden des Common Rooms oder die Wand der Toilette haben wollte.
Also ihr könnt mal die DuckDuckGo Bildersuche anwerfen und suchen nach Roger Penrose steht auf Penrose-Muster, um Fotos zu sehen, wie Roger Penrose auf so einem
Penrose-Muster steht, das am Fußboden ist.
Das war aber nicht die neue Entdeckung, über die ich eigentlich noch reden wollte,
sondern die Frage war lange Zeit, ob man es auch mit einem einzigen Teil machen könnte.
Also so wie Eschers Fisch, man hat nur ein einziges Teil und unterteilt die ganze Ebene,
damit man nur ein einziges Teil, was man drehen darf, immer wieder aneinander legt und dann
aber eine abperiodische Unterteilung hinbekommen kann.
So ein Teil wird manchmal auch ein Einstein genannt. Das ist so ein Witz, also englischsprachiger Witz.
Also Einstein, man nimmt nur einen Stein zum Paketieren. Und bis 2023 war es rigoros mathematisch bewiesen unbekannt, ob es sowas gibt, also.
Ob es so einen Einstein im striktesten Sinne gibt.
Wie immer bei der Mathematik gibt es dann irgendwelche Fußnoten, aber das sei jetzt mal egal.
Und es gibt einen Hobby-Mathematiker namens David Smith, der hat 2022 so ein hutförmiges
Teil entdeckt, das die Ebene paketiert und so, dass es aperiodisch ist.
Und man braucht dafür nur das Teil und das Teil gespiegelt. Aber wenn man sich das mal vorstellt,
dass man es 3D druckt als Plättchen oder so, dann ist gespiegelt ja einfach umgedreht.
Und das Teil und das gespiegelte Teil reichen, also um die Ebene aperiodisch zu paketieren.
Das nennt man einen aperiodic monoteil, also einen Stein, der eine aperiodische Unterteilung zulässt.
Da hat er sich ein paar Mathematiker gesucht, das ist eine sehr interessante Geschichte,
die dann zusammen mit ihm das alles rigoros untersucht haben und im März 2023 so ein Paper als Preprint veröffentlicht haben,
das ihr auch in den Show Notes finden könnt.
Dann wurde es ausgebaut, später gelang es dann noch, das Spiegeln wegzulassen und ein anderes Teil zu finden,
das die Ebene komplett ohne Spiegelung abperiodisch unterteilt.
Das Ding wird jetzt gerade in allen Fliesenfabriken der Welt hergestellt und in Mathe Departments 3D gedruckt.
Man kann Spiele erfinden, die auf diesen aperiodischen Einstein-Feldern gespielt werden.
So, das also als Beweis, dass man auch 2022 oder 2023 in unserer modernen Zeit
als Hobbymathematiker noch tolle mathematische Sachen entdecken kann.
Und falls ihr noch nicht genug entdeckt habt oder selbst was entdecken wollt, dann gebe ich euch jetzt noch was für den Sommer mit.
Und zwar habe ich neulich zum ersten Mal in meinem Leben ein Hexaflexagon gebastelt.
Huh, was ist ein Hexaflexagon? Also dieses Wort ist so cool, dass man es gleich fünfmal sagen will. Hexaflexagon.
Ein Hexaflexagon ist ein Mybiusband, das in Dreiecke unterteilt ist, aus Papier besteht und so zusammengeklebt wird, dass ein Hexagon entsteht.
Und dieses Hexagon, das kann man so umfalten, dass es sich ineinander umstülpt und ein anderes Motiv entsteht.
Ihr müsst euch vorstellen, ihr habt ein Hexagon, das hat ein Motiv auf der einen Seite,
ein Motiv auf der anderen Seite und dann noch ein 3. Motiv, das in der Mitte versteckt ist.
Und durch Umfalten tauscht ihr eins der Motive aus.
Und das andere wird versteckt.
Und so was gibt es, glaube ich, auch mit 6 Motiven, von denen immer nur 2 sichtbar sind.
Und das müsste ja dann das Hexaflexagon sein, oder?
Also, wer mir Fotos von seinem Hexaflexagon schicken möchte, kann das gerne auf Mastodon
tun. Der Eigenraum ist ja da auch vertreten.
Und dann freue ich mich drauf.
Also, ich wünsche euch einen schönen Sommer und in diesem Sommer sollten auch hoffentlich
noch einige Sachen hier auf diesem Kanal erscheinen.
Und ich habe einige Pläne und freue mich, die in die Tat umzusetzen.
Bis bald. Macht's gut.
Hey,
ich bin vor kurzem über ein Open Source Spiel mit dem Namen Hyperrogue gestolpert. Es spielt in einer nicht Euklidischen Welt aus Hexagons und Heptagons und beinhaltet viele sehr interessante mathematische Konzepte in dieser Geometrie.
Ich habe bei dem letzten Podcast daran denken müssen. Es hat auch eine Guided Tour, die einem die mathematischen Eigenschaften der Spielwelt erklärt, allerdings kam ich ab einem Punkt nicht mehr ganz mit^^
Vielleicht wollt ihr ja mal in einer zukünftigen Folge über Nicht-Euklidische Geometrie sprechen.
LG
Phil