Thomas Kahle
Bereits frühe Versionen von Microsoft Windows enthielten das beliebte Solitaire und bis heute ist es in fast allen Windows Versionen enthalten gewesen. Wir besprechen eine Variante des Spiels, in der man eine beliebige Anzahl Karten beliebig in Stapel austeilt und dann nur eine einzige Art von Zug macht: Entferne von jedem Stapel eine Karte und bilde aus all diesen einen neuen Stapel. Dieser Zug wird so lange wiederholt, bis etwas Interessantes passiert, sich z.B. gar nichts mehr ändert. Die Katalogisierung der verschiedenen Spielverläufe führt zu kombinatorischen Problemen, die eng mit der Theorie der Partitionen verknüpft sind.
- Interesting Esoterica Account von Christian P.
- Klondike Solitaire
- Kvant Magazine
- Übersichtsartikel zum Bulgarian solitaire (arXiv)
- 30 Years of Bulgarian solitaire (JSTOR)
- Revisiting Toom’s proof (arXiv)
- Dreieckszahlen in OEIS
- Perlenketten in der Kombinatorik
Die Illustration der Dreieckszahlen als Kapitelbild ist von Irene Schramm-Biermann unter CC-BY-SA 4.0 veröffentlicht.
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Verwandte Folge:
Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft)
6, 3, 6, 0, 7, 6, 2, 8.
Hallo zusammen. Herzlich willkommen beim Eigenraum. Da ist es schon wieder passiert. Am Anfang der letzten Folge sprach ich ja vom Rythmus und schon ist er wieder dahin. Es gab eine
Verschiebungen. Aber heute bin ich wieder auf Sendung und diesmal mit einer Kurzmeldung.
Aber mal sehen, wie lang oder kurz sie am Ende ist. Das weiß man ja wirklich erst hinterher genau.
Und auch heute gibt es mal wieder was ein bisschen zum Mitknobeln am Ende.
Vielleicht macht euch das ja Spaß. Ich hoffe es jedenfalls. Heute ist das Thema
wieder mal ein Spiel, ein Kartenspiel.
Und ich denke, einige von euch kennen sicherlich solche Passionsspiele oder auch solitär genannt.
Also Also meine Oma hat immer Passions gesagt, heutzutage sagen viele Leute solitär.
Das sind jedenfalls Kartenspiele, die man üblicherweise alleine spielt und in
denen geht es darum, irgendwie so Karten anzuordnen.
Die liegen irgendwie in Stapeln auf dem Tisch, manchmal umgedreht,
manchmal mit den Gesichtern nach oben.
Und nach bestimmten Regeln gilt es, die zu manipulieren, zu sortieren oder irgendwelche
Ziele damit zu erreichen.
Das sind relativ populäre Spiele, die schon im 17., 18., 19.
Jahrhundert so populär wurden und Wikipedia wusste sogar,
dass das wahrscheinlich aus Deutschland kommt, diese Art von Kartenspiel,
dann in Frankreich aber am populärsten war und von dort aus die Welt erobert
hat und deswegen auch diese französisch anmutenden Namen.
Im 20. Jahrhundert, als ich dann Kind war, da gab es eine unglaubliche Welle
oder Popularitätszugewinn für eins dieser Spiele, weil Microsoft Windows in der Version 3.11,
das war jedenfalls die Version, die ich als erstes konsumiert hatte oder 3.1
oder so, weiß ich nicht mehr so genau, so eine Variante von diesem Spiel,
so ein Solitärspiel dabei hatte, das sogenannte Klondike-Solitär.
Da liegen die Karten auf so Stapeln wie eine Harfe.
Das ist so ein französisches Skatblatt oder ich glaube so ein Blatt,
was bis zwei geht. Weiß ich nicht mehr so genau.
Und es gibt einen Einerstapel, einen Zweierstapel, einen Dreierstapel.
Und da liegen die so einem vor sich und man muss die dann ablegen der Reihe nach.
Man darf aber immer nur die oberste Karte von jedem Stapel nehmen.
Und dadurch ist nicht immer klar, ob man die in der richtigen Reihenfolge,
wie sie im Deck ansortiert sind, ablegen kann. Und es gab bei Windows 3.11 glaube
ich nur zwei Spiele, Solitaire und Minesweeper.
Minesweeper ist auch so ein Logikspiel, das auch super populär war.
Und wer zu jung ist, um sich daran zu erinnern, sollte das unbedingt nochmal nachspielen.
Also die zwei Spiele waren damals super wichtige Kulturreferenzen,
würde ich jetzt mal sagen. Es gab übrigens in allen Versionen von Windows,
wie ich jetzt nachgelesen habe, Spiele dabei, außer in Windows 8 und Windows 8.1.
Da war Microsoft auf einmal zu fein oder zu erwachsen und wollten keine Spiele mehr mitbringen.
Nun gut, das war lange nach meiner Zeit, ich glaube Windows 98 war mein letztes
Windows oder vielleicht war irgendwo doch nochmal XP als Dualboot drauf,
die hatten jedenfalls alle Solitaire dabei.
Mittlerweile wurde es auch so ausgefarmed. Ich habe jetzt gelesen,
dass Microsoft Solitaire Collection ein ganzes Bundle ist, was in den aktuellen
Windows-Versionen enthalten ist und es wird von drei Softwarefirmen entwickelt in Lizenz.
Verrückt, oder? Also es ist eigentlich ein total einfaches Kartenspiel und naja,
ihr könnt es auch irgendwo im Netz spielen oder so.
So, jedenfalls, also ich habe noch frühe Kindheitserinnerungen daran,
wie meine Oma das auch schon vor den Computern gespielt hat mit echten Karten.
Und in einem solches Solitär-Passions-Kartenspiel soll es auch heute gehen,
das sogenannte bulgarische Solitär.
Und ich bin darauf aufmerksam geworden durch einen interessanten Math-Stodon-Account
namens Interesting Esoterica von Christian Perfect, der übrigens der Admin von
dieser Instanz Math-Stodon ist.
Das ist ein Mathe-thematischer Math-Stodon-Server.
Deswegen breche ich mir, also ich breche mir ja gerade einen ab,
das auszusprechen, weil das eben math mit th studon ist.
Mathstudon.xyz ist die URL. Könnt ihr euch auch, glaube ich,
anmelden, wenn ihr in so einem Mathe-Kontext unterwegs sein wollt.
Apropos Mathstudon. Also, ich sage ja immer, ihr sollt mir ja auf Mathstudon
folgen, also ihr sollt im eigenen Raum auf Mathstudon folgen und das will ich
jetzt hier noch einmal mitten in der Folge, bevor alle abschalten, iterieren.
Also ich habe ja mal ein Weilchen versucht, sucht irgendwie auf Instagram,
Blue Sky, Threads, alles was es da so gibt, außer dem ominösen X den Eigenraum
hier zu präsentieren, aber das bringt einfach kaum Traktion.
Also ich habe irgendwie das Gefühl, dass so für Instagram und Threads,
also diese ganzen Meta-Angebote, ist das einfach nicht das Richtige,
die wollen es einfach niemandem anzeigen.
Und wenn ihr einer von den vier Personen seid, die mir auf Blue Sky oder Instagram
gefolgt sind, dann, ja, Folgt mir lieber auf Mastodon.
Vielleicht könnt ihr das ja auch bald von Threads austun. So,
jetzt aber zum bulgarischen Solitär oder der bulgarischen Passions.
Also das ist ein Spiel, was man auch alleine spielt und das Gute ist daran,
man braucht gar kein bestimmtes Kartenblatt, man kann es mit jeder Art von Karten
spielen. Und die erste bekannte Referenz für dieses Spiel ist ein sowjetisches
Jugendmagazin aus den 80ern namens Quandt.
Manche werden das vielleicht noch kennen und da waren auch öfter mal Matheprobleme
drin oder vielleicht war es auch nur Mathe, so genau weiß ich es gar nicht.
Und da war 1980 dieses Problem drin.
Und woher diese Zuordnung des Begriffs bulgarisch kommt, ist irgendwie unbekannt.
Aber die Leute nennen es heutzutage so. Und 1981 war das übrigens schon größtenteils
erforscht und die Lösungen, die ich heute hier zum Teil ein bisschen berichte,
wurden auch in diesem Journal veröffentlicht.
Und in der Mathematik-Olympiade kam das natürlich dann auch mal vor und so weiter und so fort.
Also wie geht dieses Spiel jetzt? Also ihr nehmt eine beliebige Anzahl von Karten
und sagen wir mal, diese Anzahl ist n, zum Beispiel 8.
Und dann teilt ihr diese Karten in Stapel ein, die ihr ganz beliebig machen könnt.
Zum Beispiel könntet ihr eure 8 Karten in nur einen Stapel mit 8 Karten aufteilen.
Oder in 8 Stapel mit einer Karte. Oder in ein 4er Stapel und zwei 2er Stapel.
Oder eben noch andere Möglichkeiten. Und wenn man sich das ein bisschen überlegt,
kann man herausfinden, dass es genau 22 Möglichkeiten gibt, 8 Karten aufzuteilen.
Und wenn ihr das gemacht habt, dann ist die Regel für dieses bulgarische Solitär
so. Ihr habt eure Stapel vor euch.
Und jetzt nehmt ihr von jedem Stapel genau eine Karte runter.
Und die habt ihr in eurer Hand. Und aus diesem, den ihr in eurer Hand habt,
macht ihr einen neuen Stapel, den ihr wieder dazulegt.
Dann könnt ihr die Stapel von mir aus nach der Größe sortieren,
aber das ist nicht unendlich wichtig. Macht doch ein bisschen Ordnung.
Und dann macht ihr das wieder. Dann nehmt ihr wieder von jedem Stapel,
den ihr dann habt, eine Karte runter und macht aus den Karten,
die ihr genommen habt, einen neuen Stapel.
Und das Spiel ist, das einfach immer weiter zu machen und dann eben zu sehen, was passiert.
Ja, es ist eher so ein Spiel für die Einsamkeit. Es hat jetzt keine so großen
strategischen Elemente. Es ist vielleicht ein bisschen eine Beschäftigung für
die Hände und das Gehirn.
Also die Parameter dieses Spiels sind eigentlich nur die Anzahl der Karten und
wie man seine Stapel am Anfang hinlegt.
Okay? Machen wir mal ein Beispiel. Angenommen, ihr habt also wie eben schon
angedeutet acht Karten und sagen wir, die liegen in drei Stapeln vor euch.
Drei, drei, zwei. Macht zusammen acht.
Und dann müsst ihr nach meiner Regel drei runternehmen und dann habt ihr drei
Stapel, die haben jetzt zwei, zwei, eins Karten und drei Karten habt ihr in
der Hand. Aus denen macht ihr neun Stapel, ein Dreierstapel.
Also habt ihr jetzt vier Stapel nach der ersten Runde. Die sind drei Karten,
zwei Karten, zwei Karten, eine Karte.
Jetzt, weil ihr vier Stapel habt, müsst ihr vier Karten runternehmen.
Und die Anzahl der Stapel reduziert sich jetzt, weil eben gab es einen Einer-Stapel
und der ist jetzt einfach weg. Dafür kommt aber ein neuer Stapel dazu.
Also von den 3, 2, 2, 1 bleibt 2, 1, 1, 0 über. Und ein neuer Vierer-Stapel kommt dazu.
Also, wenn man alles sich ausrintelt, dann bleiben 4, 2, 1, 1 über.
Ein 4er Stapel, ein 2er Stapel und zwei 1er Stapel.
Von denen nehme ich jetzt wieder je eine runter, da verschwinden die zwei 1er
Stapel und ein neuer 4er kommt dazu.
Dann erhalte ich 4, 3, 1.
So, von 4, 3, 1 nehme ich jetzt 3 runter, dann erhalte ich 3, 3, 2.
Aber Moment mal, 3, 3, 2, das hatten wir doch schon.
Das ist das, was wir am Anfang hatten. Von 3, 3, 2 kommen wir zu 3,
2, 2, 1, dann zu 4, 2, 1, 1, dann 4, 3, 1 und wieder zu 3, 3, 2.
Aha, also wir sind in so einem Zyklus gelandet. Ein Zyklus der Länge 4, um genau zu sein.
Und da fragt man sich natürlich jetzt, muss das so sein?
Passiert das immer? Und man kann sich gleich mal am Anfang überlegen,
dass ja, es muss immer irgendwann eine Konfiguration erscheinen, die man schon mal hatte.
Das ist ganz klar, weil ich diesen Prozess, ich nehme einfach die obersten Karten
runter und mache einen neuen Stapel daraus, den kann ich ja unendlich oft wiederholen.
Aber es gibt nur endlich viele Möglichkeiten, meine Karten in diese verschiedenen Stapel anzuordnen.
Und deswegen muss ich irgendwann mal wieder bei einer Anordnung landen,
bei der ich schon einmal war.
Also es wird immer so passieren. Und wenn ich dann bei so einer Anordnung war,
wo ich schon einmal war, dann geht es natürlich, weil es ein deterministischer
Prozess ist, wieder genauso weiter wie beim letzten Mal und dann lande ich ja
wieder bei der Karte, wo ich schon mal war und dann laufe ich so im Kreis herum.
Bei den 8-Karten gibt es aber übrigens auch noch einen anderen Kreis.
Wenn die Karten am Anfang nämlich zum Beispiel ein 4er-Stapel,
ein 2er-Stapel und ein 2er-Stapel wären, dann nehme ich da drei Karten runter,
dann halte ich ein 3er-Stapel, ein 1er-Stapel und ein 1er-Stapel und den neuen 3er-Stapel.
Also bin ich bei 3, 3, 1, 1. Und wenn ich da jeweils eine runternehme,
bin ich bei 4, 2, 2. Und bei 4, 2, 2 habe ich angefangen.
Also das ist so ein Zykel der Länge 2.
Den gibt es bei 8 Karten auch noch.
Hm, interessant. Also wenn ihr es noch nicht getan habt, wollt ihr vielleicht
jetzt mal Pause drücken und damit ein bisschen rumprobieren.
Also ich würde euch empfehlen, mal mit 8 Karten und mit 10 Karten so ein bisschen rumzuprobieren.
Findet er zum Beispiel noch andere Zügel oder was für Eigenschaften haben die
Konfigurationen, die er da erreicht?
Wir können auch mal ein bisschen allgemeiner darüber nachdenken.
Also es gibt, wie wir schon eben gesehen haben, nur endlich viele verschiedene
Einteilungen der Karten in Stapel.
Wir nennen das auch Partitionen.
Partitionen, Partitionen, das war auch schon mal Thema hier im Eigenraum,
wahrscheinlich schon mehr als einmal. Also in Folge 16 auf jeden Fall,
die den schönen Titel 1 plus 1 plus 1 plus 1, nochmal plus 1,
ich weiß es nicht mehr, ich glaube 5 Einsen trägt.
Da ging es um Kombinatorik, die Nanotechnologie der Mathematik und auch um Partitionen.
Und genauso stelle ich mir das vor.
Also Partitionen sind die Schreibweisen einer natürlichen Zahl als Summe von
kleineren natürlichen Zahlen.
Und das ist genau die Möglichkeit, meine Endkarten in Stapel von weniger Karten
einzuteilen. Weil insgesamt habe ich ja meine Endkarten, also wenn ich diese
Stapel mache, dann schreibe ich meine Zahl eben als Summe.
Und so konnte ich auch vorhin wissen, dass es 22 Möglichkeiten gibt,
8 Karten in Stapel einzuteilen, weil ich nämlich weiß, dass es 22 solche Schreibweisen
der 8 als Summe von kleineren Zahlen gibt.
Naja, man kann auch gleich mal darüber nachdenken, ob es zum Beispiel möglich
ist, dass es ein 1-Zykel am Ende rauskommt.
Also eine Konfiguration, die einfach unter diesem Prozess gleich bleibt.
Wo ich dann meinen Schritt mache und danach habe ich wieder die gleiche Konfiguration.
Also wenn man das so haben will, dann muss es ja genau einen Stapel mit einer
Karte geben. Der verschwindet dann nämlich.
Und dann lege ich ja den Stapel, den ich von Karten nicht runtergenommen habe,
wieder hin. Und da kommt ein Stapel dazu.
Also es muss auf jeden Fall bei so einer stabilen Konfiguration genau einen
Stapel mit einer Karte geben.
Aber die Konfiguration ist sehr stabil. Also muss dieser eine Stapel,
der muss auch wieder produziert werden. Also muss es genau einen Zweierstapel geben.
Achso, aber der Zweierstapel muss auch produziert werden. Also muss es genau
ein Dreierstapel geben.
Und so sieht man schnell ein, dass wenn man eine stabile Konfiguration hat,
dass die eigentlich immer so aussieht. Es gibt einen Stapel mit einer Karte,
einen Stapel mit zwei Karten, einen Stapel mit drei Karten und dann hört es irgendwann auf.
Daraus folgt dann aber auch, dass die Anzahl Karten, wenn man so eine Konfiguration hat,
die beim bulgarischen Solitär stabil ist, also wenn man den Zug anwendet,
wieder in sich selbst überführt wird, dass dann die Anzahl der Karten so eine
Summe von natürlichen Zahlen sein muss.
1 plus 2 plus 3 plus 4 und dann hört es irgendwann auf.
Da nennt man eine Dreieckszahl. Eine Dreieckszahl ist eine Summe der ersten n Zahlen.
Kennt man vielleicht aus dieser Geschichte über den jungen Karl Friedrich Gauss,
der von seinem Lehrer die Aufgabe bekommen hat, er soll die Zahlen von 1 bis 100 addieren.
Der Lehrer dachte, das wird ganz schön lange dauern. Da habe ich den kleinen
Gauss jetzt mal ein bisschen beschäftigt. Aber er hat schnell herausgefunden,
dass man die Zahlen einfach paaren kann.
Indem man die 100 mit der 1 zusammentut, hat man die 101. Und indem man die
99 mit der 2 zusammentut, hat man auch 101.
Und so kommt man schnell auf die Formel, dass man dort einfach nur n mal n plus 1 halbe rechnen muss.
Also n halbe mal, 50 mal, 101.
Und dann kommt man darauf.
Und das sind die Dreieckszahlen. Übrigens Folge 217 in OEIS,
der Online-Enzyklopädie der ganzzahligen Folgen, also dieser ultimativen Webseite
für die Frage, wie geht die Zahlenfolge weiter.
Die Dreieckszahlen sind also die 1, dann die 3, was 1 plus 2 ist,
die 6, was 1 plus 2 plus 3 ist, dann die 10, 1 plus 2 plus 3 plus 4,
die 15, die 21 und so weiter.
In der OEIS findet man dann auch noch ganz viele andere Erklärungen für diese
Dreieckszahlen, die eben auch
damit zu tun haben, dass da dieser schöne Binomialkoeffizient herauskommt.
Zum Beispiel habe ich gerade gelesen, dass diese Dreieckszahl auch die Anzahl
der Möglichkeiten ist, in eine Zeichenkette der Länge n legal Klammern einzufügen.
Also mit legal meine ich, dass der Ausdruck wohlgeklammert ist,
dass zum Beispiel nicht mehr Klammern zugehen, als vorher aufgegangen sind.
Also auch hier gibt es wieder verschiedene Erklärungen. Und irgendwie sind wir
jetzt schon voll drin in der mathematischen Forschung.
Kaum eine Folge Eigenraum vergeht, in der wir nicht irgendwas mit der OEIS erforschen.
Hey, eigentlich wäre das doch mal eine Podcast-Idee. Man geht einfach die OEIS-Folgen
der Reihe nach durch und erzählt dann jeweils eine Geschichte dazu.
Also eine Folge pro Folge, sozusagen.
Also bei dem Podcast wäre ich auch gerne mal zu Gast. Das wäre eigentlich ein guter Name dafür.
Naja, könnt ihr mal überlegen und als Kommentare auf Mastodon schreiben.
So, aber zurück zu den Grenzzyklen. Also wir wissen, dass wenn man dieses bulgarische
Solitär mit Endkarten spielt, muss man immer am Ende in so einem Grenzzyklus
landen. Jede Einteilung der Stapel führt zwangsläufig zu einem zyklischen Stapel.
Und wenn es nur ein solches Grenzelement gibt, also wenn dieser Zykel nur aus
einem Element besteht, dann muss die Zahl eine Dreieckszahl sein.
Und bei allen anderen hat man Grenzzyklen größerer Länge.
Bei 8 haben wir schon zwei Zyklen beobachtet, ganz am Anfang.
Es gibt diesen Viererzyklus und einen Zweierzykel.
Und durch vollständiges Ausprobieren zum Beispiel kann man zeigen,
dass das alle 22 verschiedenen Möglichkeiten, die 8 Karten in Stapel aufzuteilen,
in einen von diesen beiden Grenzfällen führen.
Das sind die einzigen beiden Grenzfälle.
Und dann kann man sich auch noch ausprobieren, dass man für andere Zahlen wie
zum Beispiel 9, 11 oder 12 immer nur einen Grenzzyklus erreicht.
Für die Dreieckszahlen kann man sich überlegen, und das ist schon eine gute
Übungsaufgabe, dass man immer in diesem Grenzzyklus der Länge 1,
also in diesem Grenzelement 1, 2, 3, 4 und so weiter landet.
Und mit etwas Beschäftigung kann man auch einen Satz darüber beweisen und die
Anzahl dieser Grenzzyklen zum Beispiel bestimmen.
Und das ist eine ganz witzige Geschichte, die ich jetzt noch kurz erklären möchte.
Also nehmen wir mal an, dass die Anzahl der Karten, die eine Hand hat, dass die n ist.
Und dann kann ich ja wohl leicht die nächst kleinere Dreieckszahl bestimmen.
Es gibt also eine nächst kleinere Dreieckszahl und einen Abstand.
Sagen wir mal, den Abstand nennen wir r. Wenn also meine Anzahlkarten 7 ist,
dann ist die nächst kleinere Dreieckszahl die 6 und mein Abstand r ist 1.
Wenn meine Zahl 13 ist, dann ist die nächstkleinere Dreieckszahl 10 und der
Abstand 3 und so weiter. R wie Rest.
So, außerdem ist die Dreieckszahl, die man gewählt hat, die ist ja von der Form m mal m minus 1 halbe.
Also die ist ein Binomialkoeffizient der Form m über 2.
Das ist auch leicht überlegt, also man kennt diese Form mit dieser Binomialkoeffizienten.
Also die ist auf jeden Fall von der Form m mal m minus 1 halbe.
Diese Dreieckszahl für irgendein m.
Es gibt jetzt nur eine kleine Verschiebung, weil die m-te Dreieckszahl ist m
mal m plus 1 halbe, also der Binomialkoeffizient m plus 1 über 2.
Aber hier will ich jetzt die Dreieckszahl als m über 2 schreiben.
Also erhalte ich die m minus erste Dreieckszahl. Also es gibt diese kleine Verschiebung.
Ich bestimme die Dreieckszahl darunter und ich schreibe sie als m mal m minus 1 halbe oder m über 2.
Und diese m brauche ich auch noch. Also für die 6 ergibt sich zum Beispiel 6 ist 4 mal 3 durch 2.
Und 4 mal 3 durch 2 will ich schreiben als m mal m minus 1 halbe und ist in
diesem Fall m also gleich 4.
Also wenn ich meine Anzahl von Karten 7 war, dann ist die nächstkleinere Dreieckszahl
die 6. Die führt mich zu diesem m gleich 4.
Und der Rest, der noch fehlt zu der Dreieckszahl, ist eine 1. m gleich 4, r gleich 1.
Für die 13 erhält man dann zum Beispiel m gleich 5. Für die Dreieckszahl 10
und noch einen Rest von 3.
So, und jetzt haben wir also diese zwei Zahlen zu jeder Zahl n.
Das sind meine beiden Parameter. Und der kuriose Satz, der sagt jetzt,
man baut sich eine Halskette, eine Perlenkette, die ringförmig ist.
Also ich mache Perlen auf eine Kette und schließe die Kette am Ende,
sodass ich nicht mehr weiß, wo Anfang und Ende ist.
Also so eine ringförmige, eine Perlenkette eben, eine Halskette.
Und ich benutze dafür m Perlen, von denen r schwarz und die restlichen weiß
sind. Und das sind genau die beiden Parameter eben.
Also dieses m von der Dreieckszahl ist meine Anzahl Perlen und von denen sollen
genau r dieser Rest schwarz sein und die restlichen weiß.
Und jetzt ist die Anzahl der möglichen Grenzzyklen, ist die Anzahl dieser möglichen Perlenketten.
Kurios, oder? Also für sieben Karten ergab sich ja m gleich 4 von der Dreieckszahl 6 und ein Rest 1.
Nun, wenn ich eine Perlenkette mit vier Perlen bauen will und ich habe nur drei
weiße und eine schwarze Perle, dann habe ich nur eine Möglichkeit.
Ich mache die halt auf eine Kette und irgendwo ist die schwarze Perle und die
restlichen Perlen sind halt weiß.
Das ist ziemlich langweilig. Für die 8 habe ich aber immer noch das gleiche M gleich 4.
Ich mache also eine Perlenkette mit 4 Perlen.
Aber jetzt verwende ich 2 schwarze Perlen.
Und dann habe ich 2 Möglichkeiten.
Ich kann die Perlenkette entweder so bauen, dass 2 schwarze Perlen nebeneinander
sind und dann kommen 2 weiße Perlen.
Und denkt daran, das ist immer so ringförmig. Ich weiß nicht mehr,
wo der Anfang ist und wo das Ende ist, weil die Perlenkette dreht sich eben
auf diesem ringförmigen Band herum.
Aber eine Perlenkette mit zwei schwarzen Perlen nebeneinander und zwei weißen
Perlen nebeneinander ist immer noch eine andere Perlenkette,
als die, bei der die Farben abwechselnd kommen. Das ist nämlich die zweite Möglichkeit.
Erst eine schwarze, dann eine weiße, dann eine schwarze, dann eine weiße.
Und für diese sehr kurzen Perlenketten mit vier Perlen und zwei schwarzen und
zwei weißen Perlen gibt es eben zwei Möglichkeiten.
Und diese zwei Möglichkeiten korrespondieren zu den zwei Grenzzyklen im bulgarischen Solitär.
Tja, also der große Satz über die Anzahl der Zyklen im bulgarischen Solitär
ist eigentlich nur eine Reduktion auf diese Perlenketten-Geschichte.
Denn lustigerweise oder vielleicht auch nicht sehr überraschenderweise wurden
diese Perlenketten schon vor langer, langer Zeit betrachtet und wir wissen genau,
wie viele solche Ketten es gibt.
Die Formel sage ich euch jetzt nicht, da müsste ich noch mehr Sachen definieren.
So, also, das sind Rätsel, die man sich stellen kann, wenn man alleine ist und
nur Endspielkarten dabei hat und das bulgarische Solitär spielt.
So, nun ist das jetzt aber schon gelöst und ihr fragt euch, was könnt ihr jetzt
noch machen, außer damit herumprobieren und euch die Zeit vertreiben.
Ihr könntet zum Beispiel darüber nachdenken, was mit der Länge der Zykel ist.
Also ich habe gesprochen über die Anzahl der möglichen Zügel.
Oder was ist mit der Anzahl Züge, die ihr braucht, bis ihr in einem Zügel seid?
Wie verhält die sich denn, wenn ihr die Anzahl der Karten und die Anfangsaufteilung verändert?
Oder, oder, oder. Und mit diesen Forschungen seid ihr schon mittendrin in dem
wunderbaren Gebiet der Partitionen und der Kombinatorik.
Ja, und dann wünsche ich euch viel Spaß beim Kartenlegen und hoffe,
wir hören uns auch beim nächsten Mal. Bis dahin, tschüss!