Thomas Kahle
Ich frage mich, was es alles so für reelle Zahlen gibt und welche davon bei einem Spiel gewinnen, das ich für einen Partykracher halte. Die meisten Zahlen, mit denen wir so im täglichen Leben zu tun haben, gehören zu einer total kleinen Teilmenge der reellen Zahlen, nämlich den berechenbaren Zahlen. Logisch, wir rechnen ja die ganze Zeit damit. Trotzdem sind die meisten reellen Zahlen nicht berechenbar, was bedeutet, dass kein Computerprogramm alle ihre Stellen hinschreiben kann. Daher ist es ziemlich schwierig, überhaupt über diese „meisten reellen Zahlen“ zu reden. Ich versuchs trotzdem.
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Ja, hallo ihr lieben Leute da draußen. Hier ist wieder der Eigenraum und ihr seid mit drin.
Ich begrüße euch alle, die die zum ersten Mal zuhören und auch die zum achten Mal zuhören.
Und heute will ich euch mal wieder was erzählen über Zahlen.
Ist ja so ein wiederkehrendes Thema für mich als Mathematiker.
Da hat man ja viel mit Zahlen zu tun, auch wenn Mathe manchmal auch das Rechnen mit Buchstaben ist.
Und speziell rede ich heute über die reellen Zahlen.
Die kennt ihr vielleicht alle. Das sind halt diese Dezimalzahlen.
Also irgendwelche Kommazahlen und die können zwar unendlich viele Kommastellen haben,
aber irgendwie sind die ja doch recht reell. Die nennt man die reellen Zahlen.
Und ich halte die aber für so ziemlich das unrealistischste Zeug und davon soll es heute mal ein bisschen handeln.
Ich will meine Verschwörungstheorie verbreiten, dass die reellen Zahlen gar nicht so reell sind.
Und damit es nicht so langweilig wird, fangen wir gleich mal mit einem Spiel an.
Ich erzähle euch jetzt ein Spiel. Das könnt ihr dann mit euren Freundinnen mal spielen.
Das geht super auf Partys. Das macht ungefähr so süchtig wie Candy Crush, denke ich.
Und das Spiel geht so. Ihr nehmt eine Zahl und eure Spielpartnerin muss sie dann zu 0 reduzieren,
indem damit rumgerechnet wird.
Und bei dem Rumrechnen darf man addieren, subtrahieren, multiplizieren, teilen und Potenzen nehmen.
Also die Zahl hoch N nehmen für irgendein N.
Und man darf aber nur natürliche Zahlen in den Rechenoperationen verwenden
und die Zahlen, die man schon als Zwischenergebnisse hat.
Also ich kann meine Zahlen nehmen und dazu zum Beispiel eine natürliche Zahl dazu addieren,
eine natürliche Zahl abziehen, die mit einer natürlichen Zahl multiplizieren,
die durch eine natürliche Zahl teilen oder zu einer Potenz heben.
Das sind die Regeln.
Ach ja, es gibt noch eine Regel. Man darf nicht mit 0 multiplizieren,
weil dann wäre das Spiel ja ziemlich schnell zu Ende.
Ich will also meine Zahl zu 0 reduzieren und dabei soll ich sie natürlich nicht einfach direkt mit 0 multiplizieren.
Okay, habt ihr das Spiel verstanden?
Dann können wir es jetzt mal spielen. Fangen wir mal mit meiner Lieblingszahl an, 17.
Für 17 ist es ganz einfach. Ich subtrahiere einfach 17 und dann bin ich bei 0.
17 ist ja schon eine natürliche Zahl.
Also ist es ziemlich doof, natürliche Zahlen am Anfang zu nehmen.
Der zweite Versuch ist vielleicht eine Bruchzahl, sagen wir 17 Fünfte.
Aber das ist auch ganz einfach. Da multipliziere ich einfach mit 5.
Dann habe ich wieder 17 und dann ziehe ich 17 ab. Dann bin ich wieder bei 0.
Also man braucht irgendwie ein bisschen verrücktere Zahlen.
Versuchen wir mal Wurzel 2.
Wurzel 2 ist auch ganz einfach, weil ich darf ja auch die Potenzen nehmen von meinen Zahlen.
Also quadriere ich die Wurzel 2.
Wenn ich die Wurzel 2 quadriere, kriege ich 2 und dann kann ich wieder 2 abziehen und bin fertig.
Es geht nicht nur mit reellen Zahlen.
Man könnte sich auch diese imaginäre Einheit, die Wurzel aus minus 1, hernehmen.
Und die ist aber auch ganz einfach, weil die Wurzel aus minus 1, wenn ich die quadriere, kriege ich eben minus 1 raus.
So soll die ja definiert sein.
Und dann addiere ich einfach 1 und bin auch wieder fertig.
Also wir können das Spiel auch mit komplexen Zahlen spielen.
Okay, jetzt könnt ihr dieses Spiel mal so ein bisschen spielen.
Und dann muss man erst mal überlegen, wie man jetzt noch Zahlen angeben soll, mit denen man das vielleicht spielen will.
Und eine Idee, auf die man kommen könnte, ist man addiert mal 2 Wurzelzahlen.
Also sagen wir mal Wurzel 2 plus Wurzel 3.
Okay, das ist schon ein bisschen schwieriger.
Das heißt, es ist Knobelzeit.
Also Wurzel 2 mal Wurzel 3 ist einfach.
Das kann ich einfach quadrieren.
Aber Wurzel 2 plus Wurzel 3 ist nicht so einfach.
Aber auch das geht.
Ich wende einfach die binomische Formel an.
Also wenn ich Wurzel 2 plus Wurzel 3 quadriere, dann kriege ich nach der binomischen Formel Wurzel 2², was eine 2 ergibt, plus Wurzel 3², was eine 3 ergibt.
Und dann noch den Mischterm 2 mal Wurzel 2 mal Wurzel 3.
Und jetzt kann ich erst die 2 abziehen, dann die 3 abziehen und dann muss ich eben nochmal ein zweites Mal quadrieren.
Und weil Wurzel 2 mal Wurzel 3² eben 2 mal 3 ergibt, bin ich auch dann wieder fertig.
Das geht auch.
Jetzt machen wir mal eine kurze Pause mit unserem Spiel.
Ihr könnt es ja dann auf den Partys spielen.
Aber was machen wir hier eigentlich?
Wir berechnen die Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
So wie wir es vielleicht in der Schule mal gemacht haben.
Hier ist ein Polynom 3x² plus 7.
Denn ich nehme meine Zahl und die Rechenoperationen darauf anwenden, das sind genau die Dinge, die ich tun kann mit den Variablen in einem Polynom.
In einem Polynom kann ich Konstanten dazu addieren.
Und zwar ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
Das heißt, die Zahlen, die bei diesem Spiel zum Erfolg führen, also zum Erfolg beim Nullreduzieren,
die sind genau die Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Bei Polynomen kann ich Potenzen bilden, addieren, subtrahieren und ich will auf Null kommen.
Also ist sozusagen das rückwärts von meiner Zahl zur Null kommen.
Wenn ich diesen Prozess umdrehe, zeige ich, dass meine Zahl die Nullstelle von einem Polynom ist.
Man kann sich jetzt fragen, was sind diese Zahlen, die bei diesem Spiel zum Erfolg führen, also die sich auf Null reduzieren lassen.
Die nennen wir die algebraischen Zahlen.
Das sind nämlich genau die Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Jetzt kann man in so einer Algebra-Vorlesung oder so, das mache ich jetzt hier nicht im Podcast,
kann man auch zeigen, dass wenn man zwei solche Zahlen hat und man nimmt die Summe von denen,
dann kriegt man wieder so eine Zahl, die sich zu Null reduzieren lässt, so eine algebraische Zahl,
obwohl das ist ganz einfach mit der Summe.
Beim Produkt ist es nicht so einfach, stimmt aber auch.
Also auch wenn ich zwei Zahlen multipliziere, die sich reduzieren lassen,
ach, bei der Summe ist es vielleicht auch nicht so einfach.
Also der Beweis, den ich dafür kenne, der braucht mehr Theorie, kann man in der Algebra-Vorlesung sehen.
Und das Wurzel-2-plus-Wurzel-3-Problem lässt sich auch damit erschlagen.
Also die Summe und das Produkt von algebraischen Zahlen sind algebraisch.
Die alten Griechen, die haben sich ja gefragt, was man zum Beispiel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann
für geometrische Figuren.
Und stellt sich raus, dass wenn man sich fragt, welche Längen man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann,
also man hat irgendwie so eine Standardlänge, die nennt man dann 1.
Und jetzt kann man mit dem Zirkel zum Beispiel einen Kreis zeichnen, der den Radius 1 hat,
indem man einfach diese Länge abnimmt mit seinem Zirkel, irgendwo einsticht und diesen Kreis zeichnet.
Und dann kann man vielleicht noch einen zweiten Kreis zeichnen und dann kann man die schneiden
und dann kann man eine Gerade mit seinem Lineal durch zwei gegebene Punkte.
Und jetzt fragt man sich, was für Längen kann man da alle konstruieren.
Also ich starte mit nur meiner Länge 1 und mache dann so Kreise und bestimme irgendwie die Schnittpunkte.
Und stellt sich raus, dass man nicht mal alle algebraischen Zahlen als Längen konstruieren kann.
Nur eine echte Auswahl davon.
Also die algebraischen Zahlen sind schon relativ viele,
aber wir können jetzt mal wieder zu unserem Spiel zurückkommen.
Also der nächste Versuch wäre vielleicht irgendwie eine interessante Zahl wie E,
diese Eulersche Konstante, die bei der Zinsrechnung oder bei der Ausbreitung vom Coronavirus vorkommt,
oder Pi.
Und ich habe ja gerade über die Nullstellen von Polynomen geredet.
Also auf die Idee, die man kommen würde, ist vielleicht so diese Graphen, die man aus der Schule kennt.
Man hat ja so eine Kurvendiskussion oder so, hat manchmal so einen Graphen hin,
hat mal Polynomen x hoch 3 plus 17x minus 15 und dann bestimmt man die Nullstellen, die Maxima und die Minima.
Es kann eigentlich nicht so schwer sein, ein Polynom zu finden, das durch irgendeine reelle Zahl gilt.
Ich nehme mir auf meiner x-Achse irgendwie einen Punkt und ich will ein Polynom zeichnen,
was diesen Punkt als Nullstelle hat, also einfach da durchgeht.
Und das stimmt natürlich auch, ich kann zum Beispiel einfach eine Gerade zeichnen, die da durchgeht.
Aber das ist eben geschummelt, weil das kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist.
Also der Witz ist wirklich diese ganzzahligen Koeffizienten,
also dass unsere Rechenoperationen in unserem Spiel, dass ich da nur mit natürlichen Zahlen arbeite,
zum Beispiel nur natürliche Zahlen subtrahiere und addiere und durch die Teile und multipliziere.
Zum Beispiel, wenn ich jetzt durch Pi eine Gerade zeichne,
dann hat die irgendeine Gleichung, in der einfach Pi als Koeffizient vorkommt.
Zum Beispiel ein ganz einfaches lineares Polynom x minus Pi, das hat Pi als Nullstelle.
Wenn ich Pi einsetze, kriege ich Pi minus Pi ergibt das Null.
Aber das hat eben die konstante Pi schon eingebaut und es ist kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
Also die Schwierigkeit ist nicht, diese Aufgabe aus dem Abi umzukehren,
sondern die Schwierigkeit ist, das so algebraisch zu machen.
Und es stellt sich raus, dass die Eulersche Konstante E und auch Pi,
dass sie eben keine algebraischen Zahlen sind.
Aber das ist eine schwierige Errungenschaft der Mathematik.
Das ist ein Satz von Hermit.
Es gibt natürlich Formeln für E.
Eine bekannte Formel und auch die Definition, die man für diese Eulersche Konstante nimmt,
ist, man nimmt die inversen Fakultäten.
Wissen alle, was die Fakultät ist?
Also wenn ich die ersten n natürlichen Zahlen aufmultipliziere,
also 1 mal 2 mal 3 mal 4 mal 5 mal 6 und so weiter bis n,
dann nenne ich das n-Fakultät, also das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen.
6-Fakultät ist 1 mal 2 mal 3 mal 4 mal 5 mal 6.
So, jetzt nehme ich die ganzen Kehrwerte davon.
1 durch 1 plus 1 durch 2 plus 1 durch 3.
Ne, 3 nicht, sondern eine Fakultät.
1 durch 3-Fakultät, also 3 mal 2 mal 1 gleich 6.
Und dann 4-Fakultät ist 24.
Also ich nehme diese ganzen Kehrwerte und summiere die alle auf.
Aber als unendliche Summe.
Und dann kann man zeigen, da braucht man schon ein bisschen Mathematik,
dass das eine endliche Zahl ergibt.
Also obwohl es eine unendliche Summe ist,
wachsen diese Fakultäten so schnell,
dass die Kehrwerte davon so schnell kleiner werden,
dass man diese unendlichen vielen Beiträge,
dass die sich zu was Endlichem summieren.
Und das ist e, das ist diese Zahl.
Das heißt, meine Rechenvorschrift, wie ich das e berechne,
die ist unendlich.
Und deswegen könnte man vielleicht die Intuition bekommen,
dass es bei dem Spiel nicht möglich ist,
e zu 0 zu reduzieren mit so einer endlichen Vorschrift.
Und das ist auch richtig.
Und der Beweis ist wieder ein bisschen kompliziert.
Ich glaube, einer der ersten oder der erste war von Charles Hermit.
Und das ist so ein Widerspruchsbeweis.
Der zeigt irgendwie, wenn e algebraisch wäre,
also sich in dem Spiel auf 0 reduzieren lässt,
dann gibt es noch eine ganze Zahl zwischen 0 und 1.
Das ist eigentlich ein witziger Widerspruch.
Und da entstand, glaube ich, auch dieser Name für diese Zahlen.
Das sind die transzendenten Zahlen.
Die transzendieren irgendwie die Algebra.
Und das ist vielleicht auch eine gute Beschreibung
oder ein guter Name,
denn sie stehen irgendwie über den normalen Rechenoperationen.
Also man könnte sich auf den Standpunkt stellen,
dass alles, was wir in unserer echten Welt so machen,
mit natürlichen Zahlen anfängt
und der Multiplikation, der Exponentiation
und den Rechenoperationen.
Und mit so endlichen Rechenoperationen
kommen wir eben nie zu e.
Wir haben uns so einen Trick einfallen lassen,
wie zu definieren, was es bedeutet,
unendlich viele immer kleiner werdende Zahlen aufzusummieren.
Pi ist übrigens auch transzendent.
Wenn man schon weiß, dass e transzendent ist,
dann kann man so einen Satz von Lindemann benutzen
und die schönste Formel der Welt,
die angeblich schönste Formel der Welt,
e hoch i, Pi plus 1 gleich 0,
und die zeigt dann, dass Pi transzendent ist.
Das beweist übrigens auch,
dass man diese Quadratur des Kreises,
auf die die Griechen immer so scharf waren,
nicht lösen kann.
Also das ist eben so eine Zirkel- und Linealkonstruktion.
Also die Griechen haben sich gefragt,
wenn ich einen Kreis habe,
kann ich mit Zirkel und Lineal
einen Quadrat konstruieren,
was den gleichen Flächeninhalt hat.
Das nennt man die Quadratur des Kreises.
Und das war ein ungelöstes Problem für die Griechen
und das konnte dann durch Algebra gelöst werden.
Wenn der Kreis,
sagen wir mal, den Radius 1 hat,
hat er den Flächeninhalt Pi.
Also ist die Frage, kann ich mit Zirkel und Lineal
einen Quadrat konstruieren,
was den Flächeninhalt Pi,
also die Kantenlänge Wurzel Pi hat.
Dazu muss man also
Wurzel Pi mit Zirkel und Lineal konstruieren
und Wurzel Pi ist eben
mit Zirkel und Lineal konstruierbar,
genau dann, wenn Pi mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist.
Aber alle Zahlen, die mit Zirkel und Lineal
konstruierbar sind,
sind algebraische Zahlen.
Und deswegen geht das nicht.
Die Quadratur des Kreises
ist unmöglich, wie man sagt.
So, wenn ich noch auf dem
neuesten Stand bin, dann ist es aber so,
dass man von Pi hoch Pi
zum Beispiel überhaupt nicht weiß,
ob das transzendent oder algebraisch ist.
Aber jetzt sind wir schon wieder
bei diesen reellen Zahlen.
Was ist überhaupt Pi hoch Pi?
Also Pi hoch Pi soll irgendeine reelle Zahl sein
und ich habe das mal bei Google
eingeben, wenn man bei Google eingebt Pi hoch Pi,
dann haben wir auch irgendwelche Dezimalstellen von Pi hoch Pi.
Ist irgendwie so
36, irgendwas.
Aber was soll das überhaupt bedeuten?
Also Pi Quadrat kann ich mir vielleicht
noch vorstellen, wenn ich Pi habe
und Pi mit sich selbst multipliziere,
kriege ich eben Pi Quadrat.
Aber Pi hoch Pi heißt ja,
ich soll Pi mal mit sich selbst
multiplizieren, aber Pi ist so eine
Zahl, für die wir nicht mal so eine algebraische
Rechenvorschrift geben können.
Da muss man sich schon ein bisschen anstrengen.
Man kann das formal definieren und das
macht man auch.
Aber da muss man erst mal mit so Unendlichkeiten
klarkommen.
Also es gibt
diese transzendenten Zahlen
und da kann man sich ja fragen,
wie viele gibt es denn jetzt davon?
Also ist das jetzt ein Phänomen,
was häufig ist
oder sind das irgendwie Ausnahmen?
Und ich behaupte jetzt,
es gibt eigentlich ziemlich viele transzendente Zahlen.
Also bei dem Spiel
haben wir eigentlich gute Karten, wenn man
irgendeine reelle Zahl einfach sagt,
dann ist die Wahrscheinlichkeit ziemlich hoch,
dass es nicht möglich ist,
die mit den vorgegebenen
Spielregeln auf 0 zu reduzieren.
Und dazu hole ich mal kurz aus.
Wir wissen ja alle, es gibt unendlich viele
natürliche Zahlen, weil nach jeder natürlichen Zahl gibt es immer noch eine.
Und
so viele wie es natürliche Zahlen gibt, das nennt man
abzählbar viele.
Weil Dinge, die so viele sind,
wie die natürlichen Zahlen,
die kann man abzählen.
Man kann irgendwie eine Reihenfolge festlegen,
was ist das Erste, was das Zweite, was das Dritte,
also abzählbar.
Und dann gibt es diesen überraschenden Satz,
dass die rationalen Zahlen
auch abzählbar sind.
Das heißt, es gibt
genauso viele rationale Zahlen,
wie es natürliche Zahlen gibt.
Dazu schreibt man die sich
einfach so hin,
in der ersten Zeile die natürlichen Zahlen,
in der zweiten Zeile
alle halben Zahlen,
in der dritten Zeile alle Drittelzahlen
und dann geht man da so
schlangenförmig durch.
Man fängt an mit 1, dann geht man zur 2
und statt jetzt erstmal die natürlichen Zahlen
durchzunummerieren, geht man dann aber
schräg runter, das muss man sich jetzt mal hinmalen,
ich mache euch da so ein Bild in die Kapitelmarken,
geht man dann zur 1,5,
dann geht man zu 1,3
und dann geht man zu 2,5
und schlängelt sich da so durch und es gibt jedenfalls
eine Abzählung von den
rationalen Zahlen.
Also ein bisschen überraschendes Resultat,
aber wenn man sich mal ein bisschen mit Unendlichkeit beschäftigt hat,
dann ist es gar nicht mehr so schlimm.
Und die reellen Zahlen,
alle zusammen,
die sind viel mehr.
Die sind überabzählbar.
Da gibt es auch ein schönes Argument.
Das ist ein Widerspruchsbeweis.
Der geht so.
Knobelzeit.
Hört noch irgendwer zu?
Also ich will jetzt zeigen,
dass es mehr reelle Zahlen gibt,
als es natürliche Zahlen gibt.
Und ich mache das mit einem Widerspruch.
Das heißt, ich nehme erstmal an,
wir hätten die reellen Zahlen irgendwie abgezählt,
so als Dezimalzahlen.
Das heißt, wir könnten, angenommen,
wir könnten uns alle reellen Zahlen, wir könnten so eine Liste machen.
Also es gibt die erste reelle Zahl, die zweite reelle Zahl, die dritte reelle Zahl
und dann schreiben wir sie alle so als eine Liste hin.
Und die Listen in meiner Liste
schreibe ich einfach immer die Dezimalbruchzahl
dafür hin.
Also meine erste Zahl ist vielleicht 1,752
meine zweite Zahl ist 2,9
Also irgendwie hat jemand
Schlaues rausgefunden,
wie man die abzählen kann, wie man die in so eine Liste schreiben kann.
Die Liste ist natürlich unendlich lang,
aber es gibt erste, zweite, dritte und es gibt nur für jede
natürliche Zahl eine reelle Zahl.
Und das ist falsch,
aber ich nehme es jetzt an, um dann einen Widerspruch abzuleiten.
Und der Widerspruch ist so,
dass ich jetzt noch eine neue Zahl konstruiere,
die nicht in der Liste ist.
Und wie mache ich das?
Ich konstruiere die Dezimalbruchentwicklung
von der Zahl. Das ist auch eine reelle Zahl.
Und die mache ich so, die fängt an mit 0,
die Dezimalbruchentwicklung
und dann schaue ich in meiner ersten Zahl,
was die für eine erste Dezimalstelle hat.
Wenn die eine 1 hat,
dann schreibe ich da
in meine Zahl eine 7 hin.
Wenn die keine 1 hat,
an der ersten Stelle,
also irgendwas anderes, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5,
eine 6, eine 7, eine 8, eine 9 oder eine 0,
dann schreibe ich eine 1
in meine erste Stelle von meiner
neu zu konstruierenden Zahl.
So, jetzt habe ich die erste Stelle.
Also es ist entweder eine 1 oder eine 7.
Kann nur eine 1 oder eine 7 sein.
Und sie ist auf jeden Fall anders als die erste Stelle von der ersten
reellen Zahl.
Okay, jetzt mache ich mal der zweiten weiter
und mache das genauso.
Jetzt nehme ich die zweite Stelle,
schreibe ich in die zweite Stelle von der zweiten Zahl
und wenn die eine 1 ist,
schreibe ich eine 7 bei mir hin
und wenn die keine 1 ist, schreibe ich eine 1 hin.
Das heißt, ich mache das jetzt immer weiter.
Bei der dritten Stelle gucke ich auf die dritte
Stelle von der dritten Zahl und bei meiner
Zahl schreibe ich eine 7 hin,
wenn das eine 1 ist und eine 1 sonst.
Und jetzt mache ich das unendlich oft
für alle reellen Zahlen
und dann habe ich eine Zahl.
Die Deantizimalstellen
sind nur Einsen und Siebenen
und die stimmt mit keiner
von den reellen Zahlen
in meiner Liste überein, denn ich habe es ja so gemacht,
dass die erste Stelle anders ist als die von der
ersten Zahl, die zweite
anders als die von der zweiten Zahl und so weiter.
Das heißt, die war nicht dabei.
Das heißt, bei dieser Abzählung
war die neue Zahl nicht dabei
und deswegen
konnte das keine Abzählung gewesen sein
am Anfang. Also die Liste war
unvollständig. Wenn jemand irgendwie versucht, eine Liste
hinzuschreiben, ist die immer unvollständig.
So geht dieser Widerspruchsbeweis.
So, also das sind
die alle reellen Zahlen und jetzt kommt
die algebraischen Zahlen.
Die sind aber abzählbar.
Also von denen kann man eine Liste machen. Man kann eine Liste
machen, erste
algebraische Zahl, zweite algebraische
Zahl. Also die Zahlen, die
sich zu Null reduzieren lassen in unserem Spiel,
die kann man auflisten
mit so einer 1, 2,
3, 4 Liste.
Und unsere Denkweise
in der Mathematik ist, dass es also viel weniger
sind. Okay.
Jetzt könnte man natürlich irgendwie heranführen,
dass E
und Pi, diese Zahlen,
dass wir ja gut genug mit denen arbeiten können.
Wir
können die ja berechnen. Also wenn ich jetzt bei
Google eingebe E und ich möchte
1000 Stellen haben, dann sind die sofort da.
Wenn ich 10.000 Stellen haben will, sind die auch sofort da.
Und wenn ich so viele Stellen habe, dass mein
Papier ich fünfmal um die Erde wickeln kann, dann kann ich die auch noch
ausrechnen. Und die Leute suchen ja
auch in den Stellen von Pi nach ihrem
Namen und irgendwelchen Werken von William Shakespeare.
Und
es ist also kein Problem, Computerprogramme
zu schreiben, was nach und nach die ganzen Stellen von
Pi ausgibt.
Und deswegen gibt es noch eine
Kategorie von Zahlen, die
nennen wir die berechenbaren Zahlen.
Okay, eine berechenbare Zahl ist eine
Zahl, für die ich ein Computerprogramm
schreiben kann, das nach und nach alle Stellen
von der Zahl ausgibt.
Und was würdet
ihr jetzt denken?
Gibt es viele berechenbare Zahlen
oder wenige berechenbare Zahlen?
Tja,
nun ist es so, und das ist glaube
ich ein Resultat von Turing, dass
auch die berechenbaren Zahlen
abgezählt werden können.
Da kann man auch eine Liste machen von allen berechenbaren Zahlen.
Und das liegt daran, dass man eine Liste
von allen Computerprogrammen machen kann.
Also es gibt nur so viele Computerprogramme,
wie es natürliche Zahlen gibt.
Man kann einfach alle Computerprogramme
der Reihe nach auflisten. Viele von denen
kompilieren nicht und viele von denen haben Bugs.
Aber man kann sie zumindest der Reihe nach auflisten.
Das liegt daran, dass es nur endlich viele Buchstaben
gibt und dann geht man so durch,
macht man erstmal die Programme, die nur einen Buchstaben haben,
dann die Programme, die zwei Buchstaben haben,
und es gibt nur endlich viele Buchstaben.
Also kann man die so auflisten.
Und deswegen gibt es auch nur
abzählbar viele berechenbare Zahlen.
Es gibt aber überabzählbar
viele reelle Zahlen. Also es sind diese ganzen
reellen Zahlen
viel mehr
als die berechenbaren Zahlen.
Verrückt, oder?
Also die berechenbaren Zahlen umfassen natürlich
auch alle algebraischen Zahlen.
Also das heißt natürlich, die umfassen alle algebraischen Zahlen.
Und dann sind da draußen noch
diese ganzen anderen Zahlen.
Und es ist gar nicht so leicht,
sich eine davon zu verschaffen.
Also alle Zahlen, mit denen wir irgendwie so zu tun haben
in unserem täglichen Leben
sind
natürliche Zahlen,
berechenbare Zahlen,
algebraische Zahlen,
berechenbare Zahlen.
Also man muss sich richtig anstrengen,
um eine Zahl zu konstruieren,
die nicht berechenbar ist.
Also die irgendwo da draußen ist,
in dieser Art dunkler Materie
der Mathematik.
Und ich sage euch jetzt eine Zahl.
Eine so eine Zahl,
und das ist so ein typischer Informatiker-Trick.
Der benutzt diesen Fakt,
dass man kein Computerprogramm schreiben kann,
was überprüft,
ob ein Computerprogramm
anhält oder nicht.
Also man kann nicht
ein Computerprogramm schreiben,
weil es als Eingabe ein anderes Computerprogramm bekommt
und dann ausgibt,
ja, das andere Computerprogramm
wird nach endlicher Zeit fertig oder nicht.
Das nennt man das Halteproblem.
Und
mithilfe von diesem Halteproblem
kann man ganz leicht so eine Zahl konstruieren.
Und zwar konstruiere ich die auch wieder
in ihrer Dezimal-Darstellung.
Und die Dezimal-Darstellung geht so,
ich schreibe 0,
und jetzt liste ich alle Computerprogramme auf.
Okay,
erstes Computerprogramm, zweites Computerprogramm
und so weiter, das geht ja.
Und die
i-te Dezimalstelle
von meiner Zahl,
die soll 7 sein,
wenn das i-te Computerprogramm
anhält,
und 1,
wenn das i-te Computerprogramm nicht anhält.
Und wenn diese Zahl berechenbar wäre,
wenn es ein Computerprogramm gäbe, was diese Zahl berechnet,
also alle Stellen
von dieser Zahl nacheinander ausgeben kann,
dann wäre das ein Computerprogramm,
was für jedes Programm entscheiden kann,
ob es anhält oder nicht, indem es einfach in dieser Liste
der aller Programme nach meinem
Programm, für das ich es entscheiden will, sucht.
Also kann es sowas nicht geben,
weil es ja kein Programm gibt,
aber es entscheidet, ob ein gegebenes Programm hält.
Also ist diese Zahl nicht berechenbar
und es gibt also
eine nicht berechenbare Zahl.
Aber eigentlich wissen wir, dass es ganz viele nicht berechenbare Zahlen
gibt und das ist das Kuriose.
Für mich ist das das Kuriose, dass
die reellen Zahlen
eigentlich nur aus dieser dunklen Materie
bestehen. Das meiste
von den reellen Zahlen ist uns
völlig unzugänglich. Die einzige
Möglichkeit, sie hinzuschreiben,
diese dunklen Materiezahlen, sind
Dezimalbruchentwicklungen
hinzuschreiben, die unendlich
lang sind. Also eine Zahl
hat eine Dezimalbruchentwicklung
und wenn wir eine Zahl
hinschreiben, dann wenden wir
irgendeine Vorschrift an,
irgendeinen Algorithmus.
Irgendwie
schreiben wir die Dezimalbruchentwicklung hin.
Und wenn wir einfach nur Computerprogramme angeben können,
was die Dezimalbruchentwicklung hinschreibt,
dann haben wir schon wieder so eine ganz spezielle
berechenbare Zahl gefunden, also
nicht eine allgemeine reelle Zahl.
Also die Vorstellung von
einer allgemeinen reellen Zahl, ich nehme den
Sack der reellen Zahlen, greife rein
und nehme mir eine raus,
muss sein eine
Dezimalbruchentwicklung,
die nicht
durch ein Computerprogramm vorhersagbar ist.
Sodass die i-Stelle nicht
berechenbar ist. Ein
totales Chaos, oder?
Und das ist mein Argument, warum
die reellen Zahlen eigentlich die unreellen
Zahlen heißen sollten.
Ziemlich chaotisch, oder?
Ja, dann
soll es das hier gewesen sein.
Macht es mal gut und
ich hoffe, ihr könnt noch gut schlafen
und träumt nichts Schlimmes, nachdem ihr
diese schockierenden Fakten über die reellen Zahlen
jetzt gehört habt.
Bis zum nächsten Mal. Tschüss!